Oral1020

a) Ta có : $x^3+y^3 \ge 0$

$\Rightarrow x-y \ge 0$ hay $x \ge y$

Mặt khác $x^3+y^3 \le x-y $

$\Leftrightarrow x-x^3 \ge y^3+y \ge 0$

$\Rightarrow x \ge x^3$

$\Rightarrow 1 \ge x^2$

Mà $x \ge 0$

$\Rightarrow x \le 1$

Từ đó ta suy ra đpcm

b)Do $x;y \in [0;1]$

$\Rightarrow x^3+y^3 \le x^2+y^2$

Ta có:

$ x- y \ge x^3+y^3 \ge x^3-y^3$

$\Leftrightarrow 1 \ge x^2+y^2+xy$

$\Leftrightarrow 1 \ge x^2+y^2$

Bất đẳng thức này tương đương với :

$(b+c-a)(a+b-c)(a+c-b) >0$
Luôn đúng với a;b;c là các cạnh của một tam giác

Do mình vẽ hình trên máy nên các điểm không giống như trong đề nha  (Có hai điểm H )

a)Trước hết ta có:
$\widehat {KBC}+\widehat{KCB}=\widehat{KBD}+\widehat{KCE}+\widehat{DEC}+\widehat{HCB}$
Dễ thấy:

$\widehat{KBD}+\widehat{KCE}=\dfrac{\widehat{ABD}}{2}+\dfrac{\widehat{ACE}}{2}=\widehat{ABD}$

$\widehat{HBC}=\widehat{HAD}$

$\widehat{HCB}=\widehat{EAH}$

$\Rightarrow \widehat{KBD}+\widehat{KCE}=\widehat{ABD}+\widehat{BAD}=90$

$\Rightarrow$ K;D;C;B;E cùng nằm trên một đường tròn tâm I
Suy ra $\widehat{KIE}=\widehat{EBK}=\widehat{KCD}=\widehat{KID}$

Do đó hai cung EK và cung KD bằng nhau $\Rightarrow KE=KD$
b)Ta thấy H;K;I thẳng hàng do cùng nằm trên đường trung trực của ED.

Ta có bất đẳng thức $\sqrt{a}+\sqrt{b} \ge \sqrt{a+b}$.Sử dụng liên tiếp là ra thôi

Giải phương trình:

 $\sqrt[8]{1-x}$ + $\sqrt[8]{x}$ =1

Mình làm câu d) nhá
Gọi I là giao điểm của EF và AM $\Longrightarrow I$ là trung điểm của AM và $E;I;F$ thẳng hàng

Do đó,ta sẽ đy chứng minh $I;F;P$ thẳng hàng.

Ta có $IF //AC$ và $IP //AC$ do IP là đường trung bình của tam giác MAC$

$\oplus$ Ta có các công thức sau đây:
$r^2 = \dfrac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}$

$AC'=AB'=p-a$

$BC'=BA'=p-b$

$CB'=CA'=p-c$

$\oplus$.Ta có: $IA^2.IB^2.IC^2=[(r^2+(p-a)^2][r^2+(p-b)^2][r^2+(p-c)^2]=\prod [\dfrac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}+(p-a)^2] = \dfrac{\prod bc(p-a)}{p^3}=\dfrac{a^2b^2c^2(p-a)(p-c)(p-b)}{p^3} \le \dfrac{a^2b^2c^2}{27}$

Do $(p-a)(p-b)(p-c) \le \dfrac{(3p-a-b-c)^3}{27}=\dfrac{p^3}{27}$ (AM-GM)

$\Longrightarrow IA.IB.IC \le \dfrac{abc}{3\sqrt{3}}$

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I.Gọi E là điểm tiếp xúc của đường tròn với BC,kẻ đường kính EF.Đường thẳng AF cắt BC tại M.Chứng minh rằng M là điểm tiếp xúc giữa đường tròn bàng tiếp ứng với góc A với BC

Áp dụng bất đẳng thức C-S,ta được:

$\sum \dfrac{ab}{a+3b+2c} = \sum \dfrac{ab}{(a+c)+(b+c)+2b} \le \sum \dfrac{ab}{9(a+c)}+\sum \dfrac{ab}{9(b+c)}+\sum \dfrac{a}{18} = \dfrac{a+b+c}{6}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM,ta có:

$\dfrac{x^4}{x^2(y+z)}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{y+z}{4} \ge 2x$

$\Longrightarrow \dfrac{x^4}{x^2(y+z)} \ge 2x-x-\dfrac{y+z}{4}$

Lấy $\sum$ hai vế,ta có đpcm

Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn $a^{5}+b^{5}=4\left ( c^{5}+d^{5} \right )$

Chứng minh rằng  $a+b+c+d$ chia hết cho 5

Ta có:

$a^5+b^5=4(c^5+d^5)$

$\Longleftrightarrow a^5+b^5+c^5+d^5=5(c^5+d^5)$

$\Longrightarrow a^5+b^5+c^5+d^5 \vdots 5$

Mà $n^5-n \vdots 5$ (bạn tự chứng minh nhé )
$\Longrightarrow a^5+b^5+c^5+d^5 - (a+b+c+d)=5(c^5+d^5)-(a+b+c+d)$

$\Longleftrightarrow (a^5-a)+(b^5-b)+(c^5-c)+(d^5-d)=5(c^5+d^5)-(a+b+c+d)$

$\Longrightarrow a+b+c+d \vdots 5$

bất đẳng thức C-S

 cho tớ cái công thức của bđt này dc ko?

Là:

$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{c^2}{d} \ge \dfrac{(a+c)^2}{b+d}$

Lời giải:

Ta luôn có $sin^2{x}+cos^2{x}=1$

$tan{x}.cot{x}=1$

1)
Áp dụng bất đẳng thức C-S,ta có:
$sin^4{x}+cos^4{x} \ge \dfrac{(sin^2{x}+cos^2{x})^2}{2}=\dfrac{1}{2}$

Vậy GTNN của $sin^4{x}+cos^4{x}$ là $1/2$ tại $x=45$

2)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM,ta có:

$cot^2{x}+tan^2{x} \ge 2cot{x}.tan{x}=2$

Vậy GTNN của $cot^2{x}+tan^2{x}$ là 2 tại $x=45$

3)

Do $0<sin{x};cos{x} <1$ với $0 \le x \le 90$

$\Longrightarrow sin^{2007}B < sin^2{B}=1-cos^2{B}$

$\Longrightarrow sin^{2007}B+ cosB < 1-cos^2{B}+cos{B} $

Mặt khác $1-cos^2{B}+cos{B} < \dfrac{5}{4}$

Bạn có thể chứng minh bằng cách đưa về HĐT

4)

Ta có: $sin^{2007}B+cos{2008}B < sin^2{B}+cos^2{B}=1$

Bạn tham khảo bài 2 tại đây. (Chịu khó dịch nghen )

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM,ta có:

$\sqrt{x+yz}=\sqrt{x(x+y+z)+yz}=\sqrt{x^2+x(y+z)+yz} \ge \sqrt{x^2+2x\sqrt{yz}+yz} =\sqrt{(x+\sqrt{yz})^2}=x+\sqrt{yz}$

Thiết lập hai bất đẳng tương tự và cộng lại ta có đpcm

Nguồn:mathscope