Supermath98

Bạn cho mình dạng tổng quát và cách chứng minh bđt minkowski đk k?

$\large \sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+...+\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\geq \sqrt{\left ( a_{1}+...+a_{2} \right )^{2}+\left ( b_{1}+...+b_{n} \right )^{2}}$

CM thì chỉ cần bình phương thôi bạn!

Với x,y là số dương và $xyz\geq 1$. CMR: 

$\large \sum \frac{x}{\sqrt{x+\sqrt{yz}}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất: $\left\{\begin{matrix} 2x+z+a-1=x^{2}+y^{2} & & \\ \left | x-1 \right |-2ay+z+2=0 & & \end{matrix}\right.$

Một viên bi được treo  ở trần toa xe, xe tắt máy chuyển động xuống dốc, dốc nghiêng một  góc alpha so với mp ngạng giữa xe và mp nghiêng có hệ số ma sát là mỵ Con lắc cân bằng trong toa xẹ tính góc hợp bởi sợi dây treo với phương ngang

$\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA}=\dfrac{1}{4}BC^2\Leftrightarrow MH^2+MA^2-AH^2=\dfrac{1}{2}BC^2\Rightarrow ...$

Chú ý là sử dụng công thức : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}(AB^2+AC^2-BC^2)$

cm công thúc hộ mình

Cho ta giác ABC có H là trực tâm và M là trung điểm của BC. CMR: vectoMA*vectoMH= $\frac{1}{4}BC^{2}$

Cho pt $\large x^{4}-2mx^{2}+3m-2=0$.  Tìm m để pt có nghiệm phân biệt thỏa mãn $\large x_{1}< x_{2}< x_{3}< x_{4}$ sao cho: 

1.                 $\large x_{2}- x_{1}= x_{3}- x_{2}=x_{4}-x_{3}$

2                  $\large \left | x_{1} \right |+\left | x_{2} \right |+\left | x_{3} \right |+\left | x_{4} \right |=4$

Tìm GTLN của biểu thức:    $\frac{x}{\left ( x^{2}+1 \right )\sqrt{x^{2}+1}}$

Cho hàm số $\large f\left ( x \right )=2\left ( m-1 \right )x+\frac{m\left ( x-2 \right )}{\left | x-2 \right |}$ với tham số m

1. Tìm các giá trị của m sao cho $\large f\left ( x \right )< 0$ với mọi x thuộc đoạn $\large \left [ 0;1 \right ]$

2. Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt Ox tai một điểm thuộc khoảng $\large \left ( 1;2 \right )$

3. Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số căt  Ox tại một điểm thuộc khoảng $\large \left ( 2;3 \right )$

P/s: Mọi người làm theo phương pháp đồ thị giúp mình nha! Minh so sánh xem đúng không?

Giải PT:

a. $1+4x^2+(4x-3)\sqrt{x-1}=5x$      (1) 

 

Ta có: $\large \left ( 1 \right )\Leftrightarrow 4x^{2}-5x+1+\left ( 4x-3 \right )\sqrt{x-1}=0\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )\left ( 4x-1 \right )+\left ( 4x-3 \right )\sqrt{x-1}=0$

Hay $\large \sqrt{x-1}\left [ \left ( 4x-1 \right )\sqrt{x-1}+4x-3 \right ]=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1 & & \\ \left ( 4x-1 \right )\sqrt{x-1}=3-4x & & \end{bmatrix}$

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

$\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{(1+x)(8-x)}=m$

(sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ)

Đặt $\large \sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}=a\Rightarrow \sqrt{\left ( 1+x \right )\left ( 8-x \right )}=\frac{a^{2}-9}{2}$

Khi đó pt trở thành: $\large a+\frac{a^{2}-9}{2}=m\Leftrightarrow a^{2}+2a-9-2m=0$

Ta có: $\large \Delta '=2m+10$

Để pt có nghiệm thì $\large \Delta '\geq 0\Leftrightarrow m\geq -5$

Cho các số không âm $\large a;b;c;d$ thỏa mãn không có hai số nào đồng thời bằng không. CMR: 

$\large \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{a^{2}+c^{2}}+\frac{1}{a^{2}+d^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{b^{2}+d^{2}}+\frac{1}{c^{2}+d^{2}}\geq \frac{81}{2\left ( a+b+c+d \right )^{2}}$

cho a,b, c,không âm . CM (a+b−c)(a−b+c)(b+c−a)  ≤ abc

Đặt $\large \left\{\begin{matrix} a+b-c=2x & & & \\ a-b+c=2y & & & \\ b+c-a=2z & & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=x+y & & & \\ b=x+z & & & \\ c=y+z & & & \end{matrix}\right.$

Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành: $\large 8xyz\leq \left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( x+z \right )$   (đúng theo AM-GM) 

Giải hệ phương trình : 

$\left\{\begin{matrix} a^{3}+3a^{2}b=2014 & & \\ b^{3}+3b^{2}a=2015 & & \end{matrix}\right.$

Nhận thấy $\large \left ( a;b \right )=\left ( 0;0 \right )$ không phải nghiệm của hệ

Do đó $\large a\neq 0;b\neq 0$

Đặt $\large a=xb$ với $\large x\neq 0$

Khi đó hệ trở thành: 

$\large \left\{\begin{matrix} \left ( xb \right )^{3}+3\left ( xb \right )^{2}b=2014 & & \\ b^{3}+3b^{2}xb=2015 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b^{3}\left ( x^{3}+3x^{2} \right )=2014 & & \\ b^{3}\left ( 1+3x \right )=2015 & & \end{matrix}\right.$

Chia theo vế ta được: $\large \frac{x^{3}+3x^{2}}{1+3x}=\frac{2014}{2015}$

Giải ra tìm x và tìm được a và b

Cho a,,b,c >0 , a+b+c=6 CMR:

$\frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^{3}+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^{3}+1}}\geqslant 2$

Ta có: $\large \sqrt{b^{3}+1}=\sqrt{\left ( b+1 \right )\left ( b^{2}-a+1 \right )}\leq \frac{b^{2}+2}{2}$

Do đó: $\large \frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}\geq \frac{2a}{b^{2}+2}$

Thiết lập các BĐT tương tự ta có: $\large VT\geq \sum \frac{2a}{b^{2}+2}$

Ta cần chứng minh $\large \sum \frac{2a}{b^{2}+2}\geq 2\Leftrightarrow \sum \frac{ab^{2}}{b^{2}+2}\leq 4$     (1)

Ta có: $\large VT_{\left ( 1 \right )}\leq \sum \frac{ab^{2}}{\sqrt[3]{\frac{b^{2}}{2}.\frac{b^{2}}{2}.2}}\leq \frac{1}{9}\left ( 2\sum a+2\sum ab \right )\leq 4$

Từ đó suy ra đpcm