Best Friend

Cách khác : Ta có : $\overline{abcde}=\overline{ab}^{3}$ vì $10000\leq \overline{ab}^{3}<10000\Rightarrow 22\leq \overline{ab}<47$

$\overline{abcde}=\overline{ab}^{3}\Rightarrow \overline{cde}=\overline{ab}(\overline{ab}^{2}-1000) \Rightarrow \overline{ab}^{2}-1000=\frac{\overline{cde}}{\overline{ab}}\Rightarrow \overline{ab}^{2}=1000+\frac{\overline{cde}}{\overline{ab}}<1046$

Vì $\frac{\overline{cde}}{\overline{ab}}\leq \frac{999}{22}<46$

$\Rightarrow 1000<\overline{ab}^{2}<1046\Rightarrow \overline{ab}=32$

$\Rightarrow q.e.d$

$\Leftrightarrow \overline{ab}^{3}=\overline{abcde}$$\Leftrightarrow \overline{ab}^{3}=\overline{abcde}$$\Leftrightarrow $Đặt$\overline{ab}=x,\overline{cde}=y (10\leq x\leq 99),100\leq y\leq 999$

Ta có :$x^{3}=1000x+y,y\geq 0\rightarrow x^{3}\geq 1000x\rightarrow x(x^{2})-1000)>0\rightarrow x^{2}> 1000\rightarrow x> 31$

Ta có: $ y< 1000\rightarrow x^{3}< 1000x+1000\rightarrow x^{3}-1000x< 1000\rightarrow x(x^{2}-1000)< 1000$.

Nếu $x\geq 33\rightarrow x(x^{2}-1000)\geq 1000\rightarrow x< 33\rightarrow x=32$

VẬy $\overline{ab}=32,\overline{abcde}=32768$

mik sửa lại hộ rồi đấy. Bạn ngoctruong nên học $\LaTex\$ http://diendantoanho...-trên-diễn-đàn/

tại sao lại ko đc

thế dấu = xảy ra khi nào hả bạn     

Mik chỉ nghĩ ra cách làm thôi. chứ chưa làm đc 1 đầy đủ.

Đây là HD của mình:

Ta sẽ cm bài toán phụ sau : Với mọi $a,b,c$ thực luôn có :  $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ac)$(*)

Trang 65 trong sách Sáng tạo Bất Đẳng Thức của Phạm Kim Hùng

Ta có : $(abc)^{2}+1+2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-1\geq 1+2abc+a^{2}+b^{2}+c^{2}+(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2\geq 2(ab+bc+ac)+a^{2}+b^{2}+c^{2}-2=(a+b+c)^{2}-2=7$

 

b) Tìm chữ số x,y sao cko

$\overline{xx}^{y}=\overline{xyyx}$

Ta có: $1000\leq \overline{xx}^{y}\leq 9999$

Vì $\overline{xx}$  là số có 2 chữ số thì $2\leq y\leq 3$

Nếu $y=2\Rightarrow \overline{xx}^{2}=\overline{x22x}$

Vì $\overline{xx}\vdots 11\Rightarrow \overline{xx}^{2}\vdots 121\Rightarrow \overline{x22x}\vdots 121$

Ta thay các giá trị của $x$ từ 1 đến 9 thì thấy có $8228\vdots 121\Rightarrow x=8$ vô lý

Nếu $x=3\Rightarrow \overline{x33x}=\overline{xx}^{3}$

Vì $\overline{xx}\vdots 11\Rightarrow \overline{xx}^{3}\vdots 1331\Rightarrow \overline{x33x}\vdots 1331$

Ta thay các giá trị của $x$ từ 1 đến 9 thì thấy có $1331\vdots 1331\Rightarrow x=1$ thỏa mãn

Vậy $x=1,y=3$

$\boxed{1}$ a) Giải phương trình nghiệm nguyên

$$(31xyzt+xy+xt+zt+1)=40(yzt+y+t)$$

 

 

1) Ta có :

$(31xyzt+xy+xt+zt+1)=40(yzt+y+t)$

$\Rightarrow \frac{40}{31}=\frac{xyzt+xy+xt+zt+1}{yzt+y+t}$

mà $\frac{xyzt+xy+xt+zt+1}{yzt+y+t}=x+\frac{zt+1}{yzt+y+t}$

$=x+\frac{1}{\frac{yzt+y+t}{zt+1}}$

$=x+\frac{1}{y+\frac{1}{\frac{zt+1}{t}}}$

$=x+\frac{1}{y+\frac{1}{z+\frac{1}{t}}}$

$\frac{40}{31}=1+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{4}}}$

Vậy $\Rightarrow x=1,y=3,z=2,t=4$

3) Ta có:

$x=1\Rightarrow y^{2}=1$

$x=2\Rightarrow y^{2}=3(L)$

$x=3\Rightarrow y^{2}=9$

$x=4\Rightarrow y^{2}=33(L)$

Nếu $x\geq 5\Rightarrow y^{2}\equiv 3(mod10)(L)$

Vậy $x=1;3$

Giải phương trình 

 

$$(\frac{1}{101}+\frac{1}{2.102}+....+\frac{1}{10.110}).x=\frac{1}{11}+\frac{1}{2.12}+..+\frac{1}{100.110}$$

 

 

3) Ta có :

$A=\frac{1}{11}+\frac{1}{2.12}+..+\frac{1}{100.110}=\frac{1}{1.11}+\frac{1}{2.12}+..+\frac{1}{100.110}=\frac{1}{10}\left (\frac{10}{1.11}+\frac{10}{2.12}+..+\frac{10}{100.110} \right )=\frac{1}{10}\left (1-\frac{1}{11}+\frac{1}{2}-\frac{1}{12}+...+\frac{1}{100}-\frac{1}{110} \right )=\frac{1}{10}\left ( 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{10}-\frac{1}{101}-...-\frac{1}{110} \right )$

$B=\frac{1}{101}+\frac{1}{2.102}+....+\frac{1}{10.110}=\frac{1}{100}\left (\frac{1}{1.101}+\frac{1}{2.102}+....+\frac{1}{10.110} \right )=\Rightarrow A=Bx\Leftrightarrow \frac{x}{100}\left ( 1-\frac{1}{101}+\frac{1}{2}-\frac{1}{102}+...+\frac{1}{10}-\frac{1}{110} \right )=\frac{1}{10}\left ( 1-\frac{1}{101}+\frac{1}{2}-\frac{1}{102}+...+\frac{1}{10}-\frac{1}{110} \right )\Rightarrow x=10$

ta dùng  bđt $\left | a \right |\geq a$ chứ cần j xét âm dương

mik hiu rồi cảm ơn bạn, bạn chỉ nhầm chỗ đặt thôi $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t$ chứ ko phải giá trị tuyệt đối.

Sr bạn nhé

bạn ơi nó là giá trị tuyệt đối mà bạn ??    

nhưng $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ đã là số dương đâu bạn đề chi cho là  $3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$ thoi mà nên xét giá trị âm nữa bạn chỉ xét giá trị dương

đặt $\left |\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right |=t$

ta có $t\geq 2$

ta có

$t^{2}+2\geq 3t\Leftrightarrow (t-1)(t-2)\geq 0$(đúng) nên $t^{2}+2\geq 3t\geq \left (\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )$

suy ra đpcm

Bạn giả sử $t>0$

Nên thiếu TH $t^{2}+2\geq -3t$

Chứng minh BĐT:

$\frac{2013}{\sqrt{2014}}+\frac{2014}{\sqrt{2013}}>\sqrt{2013}+\sqrt{2014}$

Làm theo cách phổ thông nhé ;   

$\frac{2013}{\sqrt{2014}}+\frac{2014}{\sqrt{2013}}=\frac{2014}{\sqrt{2014}}+\frac{2013}{\sqrt{2013}}+\left ( \frac{1}{\sqrt{2013}}-\frac{1}{\sqrt{2014}} \right )=\sqrt{2013}+\sqrt{2014}++\left ( \frac{1}{\sqrt{2013}}-\frac{1}{\sqrt{2014}} \right)> \sqrt{2013}+\sqrt{2014}$

Cho 3 số dương x,y,z thoà x+y+z=6. chứng minh rằng:

$x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz+xyz \geq8$

Áp dụng BĐT Cô si:

$xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)=(6-2x)(6-2y)(6-2z)=216-72(x+y+z)+24(xy+yz+zx)-8xyz=24(xy+yz+xz)-8xyz-216$

$ \Rightarrow 9xyz\geq 24(xy+yz+xz)-216$

$ \Rightarrow xyz\geq \frac{8}{3}(xy+yz+xz)-24$

$\Rightarrow \sum x^{2}-\sum xy+xyz\geq \sum x^{2}+\frac{5}{3}\sum xy-24=(x+y+z)^{2}-\frac{1}{3}(\sum xy)-24\geq (x+y+z)^{2}-24-\frac{1}{9}(x+y+z)^{2}=8$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z=2$

 

Đề Số 3

 

 

$b/$ Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+2(x+y)=11& \\ x^{2}y^{2}+2xy(x+y)+4xy=24 & \end{matrix}\right.$

 

 

Mình làm câu HPT ko pik đúng ko   

Ta có HPT $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+1)^{2}+(y+1)^{2}=13 & & \\ (xy+x+y+1)^{2}+2xy=25+(x+y)^{2}+2x+2y & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+1)^{2}+(y+1)^{2}=13 & & \\ (xy+x+y+1)^{2}=2(x+1)+2(y+1)+x^{2}+y^{2} +21& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+1)^{2}+(y+1)^{2}=13 & & \\ (xy+x+y+1)^{2}=(x+1)^{2}+(y+1)^{2} +23& & \end{matrix}\right.$

Đặt $x+1=a,y+1=b \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=13 & & \\ (ab)^{2}=(a)^{2}+b^{2}+23 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=13 & & \\ (ab)^{2}=36 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x=2,y=1$ hoặc $x=1,y=2$

mik làm hơi tắt mong mọi ng thông cảm. 

Áp dụng BĐT Bunhia vào 2 dãy :

$\frac{a}{\sqrt{a+b}},\frac{b}{\sqrt{b+c}},\frac{c}{\sqrt{a+c}}vs\sqrt{a+b},\sqrt{b+c},\sqrt{a+c}$