chanhquocnghiem

Gọi $M$ là tập hợp các tập con ban đầu.

Ta chia $M$ thành $2$ tập : Tập $P=\{x | x\mod 2=0, x\in M \}$ và tập $Q=\{x | x\mod 2=1, x\in M \}$

Gọi số phần tử của $Q$ là $q$.

Dễ thấy là $q$ chẵn.

1)Nếu $q=0$ ta có các tập của $M$ đều có số phần tử là bội của 2.

2)Nếu $q=2k>0$ ta chọn 2 tập bất kỳ thuộc $Q$ và thực hiện phép chuyển.

$\quad$ a)Nếu 2 tập đó có số phần tử bằng nhau thì chúng sẽ hợp thành 1 tập có số phần tử là bội của 2

$\quad$ b)Nếu 2 tập đó có số phần tử là $2m+1$ và $2n+1;\; (m>n)$ thì sau phép chuyển ta có 2 tập có số p tử là $2(m-n)$ và $4n+2$ đều là bội của 2.

Như vậy sau $k$ phép chuyển $(k ge 0)$, ta nhận được các tập con có số phần tử đều là bội của 2.

Gọi $M_1$ là tập các tập con đó.

Ta lại chia $M_1$ thành 2 tập : Tập $P_1$ gồm các tập con có số p tử là bội của $2^2$; tập $Q_1$ gồm các tập con có số p tử là bội của $2^2$ cộng thêm 2.

Gọi $q_1$ là số p tử của $Q_1$.

Dễ thấy là $q_1$ chẵn. Giả sử $q_1=2k_1$.Ta chọn 2 tập bất kỳ thuộc $Q_1$ và thực hiện phép chuyển.

$\quad$ a)Nếu 2 tập đó có số p tử bằng nhau thì chúng sẽ hợp thành 1 tập có số p tử là bội của $2^2$.

$\quad$ b)Nếu 2 tập đó có số p tử là $4m_1 + 2$ và $4n_1 + 2$ thì sau phép chuyển ta có 2 tập có số p tử là $4(m_1-n_1)$ và $8n_1 + 4$ đều là bội của $2^2$. Vậy sau $k_1$ phép chuyển ta nhận đc các tập con có số p tử đều là bội của $2^2$.

Gọi $M_2$ là tập các tập con đó.

Tiếp tục chia $M_2$ thành 2 tập $P_2$ và $Q_2$, ...

Cứ làm mãi như thế, đến một lúc nào đó ta nhận đc các tập con có số p tử đều là bội của $2^{n-1}$. Dễ thấy rằng khi đó ta có đúng 2 tập con như thế, mỗi tập đều có đúng $2^{n-1}$ p tử. Thực hiện phép chuyển cuối cùng ta được tập $X$.

(Muốn viết các công thức dưới dạng LATEX nhưng sao khung soạn thảo ko hiện ra, bức xúc quá !)

Thì qua $M$ ta dựng tiếp tuyến $t$ với $(O)$ rồi sau đó ta lấy $B$ và $C$ trên $t$ thì cũng tức là $M\in BC$.

Và vì có vô số cách chọn $B,C$ nên cũng có vô số điểm $A$ sao cho $(O)$ là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Điều này đúng với mọi đường tròn $(O)$ và điểm $M$ ngoài $(O)$ chọn tùy ý nên nếu $(O)$ là đường tròn $(x-1)^2+(y-2)^2=5$ và $M$ là điểm $(\frac{7}{2};2)$ thì nó cũng đúng, nghĩa là khi đó cũng có vô số điểm $A$ sao cho $(O)$ là đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$.

Chứng minh rằng với một số tự nhiên bất kì tồn tại một số có dạng $\underbrace{111...000}_n$ mà chia hết cho $n$

Xét các số có dạng $M_{k}=\overline{111...000}$, $1\leqslant k\leqslant n$ (gồm $n$ chữ số, trong đó $k$ cs đầu đều là 1 và $n-k$ chữ số sau đều là 0).Tất cả có $n$ số có dạng như vậy.

Gọi $r_{k}$ là số dư khi chia $M_{k}$ cho $n$ ---> $0\leqslant r_{k}\leqslant n-1$

Có 2 TH :

+ Nếu các số $r_{k}$ khác nhau từng đôi một thì theo nguyên lý Dirichlet phải có 1 số $r_{i}=0$ ---> $M_{i}$ là số chia hết cho $n$ cần tìm

+ Nếu có ít nhất 2 số bằng nhau ($r_{i}=r_{j}$ với $i> j$) ---> 2 số $M_{i}$ và $M_{j}$ có cùng số dư khi chia cho $n$

...---> số $P=M_{i}-M_{j}$ chia hết cho $n$

Dễ thấy số $P$ đó có dạng $P=\overline{111...000}$ (gồm $n-j$ chữ số, trong đó $i-j$ cs đầu đều là 1 và $n-i$ cs sau đều là 0)

---> số $M_{i-j}=P.10^{j}$ cũng chia hết cho $n$ và đó là số cần tìm.

Trên $Oxy$ cho $\Delta ABC$ biết đường tròn nội tiếp tam giác có phương trình là $(x-1)^2 +(y-2)^2=5$ đường thẳng $BC$ đi qua điểm $M$($\frac{7}{2}$:$2)$ tìm tọa độ điểm $A$

Em hãy vẽ ra đường tròn $(C)$ tùy ý và lấy điểm $M$ (tùy ý) ngoài đường tròn.

Dựng đường thẳng $t$ qua $M$ và tiếp xúc với $(C)$ tại $P$ (có 2 đt $t$ như vậy).Đường thẳng $t$ chính là đt chứa $B,C$

Trên $t$, lấy điểm $B$ tùy ý ($B\not\equiv P$) và qua $B$ dựng tiếp tuyến $Bu$ với $(C)$.

Dựng tiếp tuyến $Qv$ với $(C)$ sao cho $Qv//Bu$ ($Q\in t$)

Rõ ràng nếu chọn $C\in t$ sao cho $Q$ nằm giữa $B$ và $C$ thì tiếp tuyến với $(C)$ kẻ từ $C$ sẽ cắt $Bu$ tại $A$ sao cho $(C)$ là đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$.

Vì ứng với mỗi cách chọn $B$ có vô số cách chọn $C$ nên có vô số giao điểm $A$ ---> bài toán chưa đủ dữ kiện để giải.

Có 33 học sinh, trong đó 7 nữ, 26 nam, được chia làm 3 tổ. Tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 hoc sinh, tổ 3 có 12 học sinh. Có bao nhiêu cách chia mà mỗi tổ có ít nhất 1 nữ.

Gọi $M$ là số cách chia $33$ hs đó thành $3$ tổ : tổ 1 có 10 hs, tổ 2 có 11 hs, tổ 3 có 12 hs

---> $M=C_{33}^{10}.C_{23}^{11}$

Trong $M$ cách đó :

+ Số cách chia sao cho có $2$ tổ không có hs nữ là $N=C_{26}^{10}.C_{16}^{11}+C_{26}^{10}.C_{16}^{12}+C_{26}^{11}.C_{15}^{12}$

+ Số cách chia sao cho tổ $1$ không có hs nữ là $P=C_{26}^{10}.C_{23}^{11}$

+ Số cách chia sao cho tổ 2 không có hs nữ là $Q=C_{26}^{11}.C_{22}^{10}$

+ Số cách chia sao cho tổ 3 không có hs nữ là $R=C_{26}^{12}.C_{21}^{10}$

+ Số cách chia sao cho có đúng 1 tổ không có hs nữ là $S=P+Q+R-2N$

---> Số cách chia sao cho mỗi tổ có ít nhất 1 nữ là $T=M-N-S=M+N-P-Q-R$

vì sao $N\equiv N-1$ (mod $p$) vậy bạn.Mình không hiểu lắm

Vì khi $(N+1)\vdots p$ tức là $(N+1)\equiv 0(modp)$

Mà $1\equiv 1(modp)$ nên $N\equiv -1(modp)$ hay có thể viết là $N\equiv p-1(modp)$ cũng vậy (sorry, bài trên mình đánh nhầm $p$ thành $N$)

Giả sử $x_1,x_2,...,x_n$ là các phần tử của tập $X$. Kí hiệu $S_i$ là tập các tập $A_j$ mà chứa phần tử $x_i$.

Giả sử $n\geq 2^{m}$.

Ta có tất cả $n$ tập $S_i$, mỗi tập $S_i$ là một cách chọn ra một bộ $A_j_1,A_j_2,...A_j_k$ nên tối đa ta có $2^{m}-1$ cách chọn tập $S_i$   (là số các tập con của tập có $m$ phần tử)

Mà ta có $n\geq 2^{m}$ tập $S_i$, nên theo nguyên tắc Dirichle tồn tại hai tập $S_i$ và $S_t$ trùng nhau, hay khi đó các phần tử $x_i$ và $x_t$ là các phần tử chung của cùng một số tập trong các tập $A_i$.

Khi đó $2$ phần tử này không thỏa mãn điều kiện của bài toán nên ta có mâu thuẫn.

Vậy $n<2^{m}$.

$n$ có thể bằng $2^m$.

Chẳng hạn tập $X$ có $4$ phần tử $X=\left \{ 2;3;6;7 \right \}$ ($n=4$)

$A_{1}=\left \{ 2;6 \right \};A_{2}=\left \{ 3;6 \right \}$ là 2 tập thỏa mãn ĐK đề bài ($m=2$)

Khi đó $n=2^m$

Vậy xin sửa lại lời giải như sau :

Giả sử $X=\left \{ x_{1};x_{2};...;x_{n} \right \}$, $Y=\left \{ A_{1};A_{2};...;A_{m} \right \}$

Gọi $Y_{i}$ là tập các tập hợp thuộc $Y$ có chứa phần tử $x_{i}$

Giả sử $n> 2^m$

Mỗi tập $Y_{i}$ là một tập con của $Y$ (lưu ý rằng $Y_{i}$ có thể là tập rỗng) và tập $Y$ có $m$ phần tử ---> có tối đa $2^m$ tập $Y_{i}$ khác nhau từng đôi một.

Vì có tất cả $n$ tập $Y_{i}$ (ứng với $n$ phần tử thuộc $X$) và $n> 2^m$ nên có ít nhất $2$ tập $Y_{j}$ (ứng với $x_{j}$) và $Y_{k}$ (ứng với $x_{k}$) trùng nhau ---> Không tồn tại tập nào thuộc $Y$ có chứa $x_{j}$ mà không chứa $x_{k}$ hoặc có chứa $x_{k}$ mà không chứa $x_{j}$.Điều này mâu thuẫn với giả thiết.

Vậy $n\leqslant 2^m$.

cho em hỏi cách đánh kí hiệu tổ hợp trên VMF là gì ạ,cái C ấy ạ

Ví dụ em muốn đánh ký hiệu $C_{12}^{10}$.

Đầu tiên đánh chữ $C$

Tiếp theo rà mũi tên vào ô $x^{a}$ rồi chọn $x_{a}^{b}$

Đánh số $12$ vào dấu $\left \{ \right \}$ thứ nhất, số $10$ vào dấu $\left \{ \right \}$ thứ hai.Thế là xong.

Cách khác :

Làm tương tự như trên ta có :

$BM:(27-7X)x-(21-X)y=-5X-15;BC:(X-21)x-(27-7X)y=15X-75;BN:(7X-27)x-(X+19)y=5X-65$

Gọi $t$ là đt $x=0$; $M'=t\cap BM;N'=t\cap BN;C'=t\cap BC$ ---> $BN'$ là phân giác của $\Delta BM'C'$ và $M'(0;\frac{5X+15}{21-X});N'(0;\frac{65-5X}{X+19});C'(0;\frac{15X-75}{7X-27})$

$BM'^2=1+(\frac{7X-27}{21-X})^2=\frac{(X-21)^2+(7X-27)^2}{(X-21)^2}$

$BC'^2=1+(\frac{X-21}{7X-27})^2=\frac{(X-21)^2+(7X-27)^2}{(7X-27)^2}$

Dễ thấy $M,D,C$ là 3 điểm phân biệt ---> $BM'> 1;BC'> 1$ ---> $X\neq \frac{27}{7}$ và $X\neq 21$

$\overline{M'N'}=y_{N'}-y_{M'}=\frac{280X-1080}{(X-21)(X+19)}=\frac{40(7X-27)}{(X-21)(X+19)}$

$\overline{N'C'}=y_{C'}-y_{N'}=\frac{50X^2-380X+330}{(X+19)(7X-27)}=\frac{10(X-1)(5X-33)}{(X+19)(7X-27)}$

$\frac{BM'}{BC'}=\frac{\overline{M'N'}}{N'C'}$ ---> $\left | \frac{7X-27}{X-21} \right |=\frac{40(7X-27)(X+19)(7X-27)}{(X-21)(X+19).10(X-1)(5X-33)}$

+ Nếu $X\in (\frac{27}{7};21)$ ---> $\left | \frac{7X-27}{X-21} \right |=-\frac{7X-27}{X-21}$

...---> $-\frac{4(7X-27)}{(X-1)(5X-33)}=1\rightarrow 5X^2-10X+75=0\rightarrow X=-3$ (loại) và $X=5$ (nhận)

+ Nếu $0< X< \frac{27}{7}$ hoặc $X> 21$ ---> $\left | \frac{7X-27}{X-21} \right |=\frac{7X-27}{X-21}$

...---> $\frac{4(7X-27)}{(X-1)(5X-33)}=1\rightarrow 5X^2-66X+141=0\rightarrow X=\frac{33+\sqrt{384}}{5}$ (loại)

...và $X=\frac{33-\sqrt{384}}{5}$ (nhận)

Trường hợp hệ số góc của $DA$ là $-1$ cũng làm tương tự.

Trên $Oxy$ cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $D$ có $AB$=$AD$$<$$CD$ điểm $B(1:2)$ đường thẳng $BD$ : $y=2$.Biết rằng đường thẳng $d$:$7x-y-25=0$ cắt $AD$ và $CD$ tại $M$ và $N$ sao cho $BM$$\perp$ $BC$ và tia $BN$ là tia phân giác góc $\angle MBC$.Tìm tọa độ điểm $D$ biết $x_{D}> 0$

Gọi tọa độ của $D$ là $D(X;2)$.Ta cần tìm $X(X> 0)$

Chú ý rằng $BD:y=2\Rightarrow BD$ // $Ox$

$\Delta DAB$ cân tại $A$ ---> $\widehat{ADB}=45^{o}$ ---> hệ số góc đt $DA$ là $1$ hoặc $-1$.

$1.$ TH 1 : Hệ số góc của $DA$ là $1$ ---> $DA:x-y-X+2=0$ và $DC:x+y-X-2=0$

$M=d\cap DA\Rightarrow M(\frac{27-X}{6};\frac{39-7X}{6})$

---> $BM:(27-7X)x-(21-X)y+5X+15=0$

Gọi $E=BM\cap CD\Rightarrow E(\frac{-X^2+14X+27}{48-8X};\frac{-7X^2+18X+69}{48-8X})$

$N=d\cap DC\Rightarrow N(\frac{X+27}{8};\frac{7X-11}{8})$

$BC$ _|_ $BM\Rightarrow BC:(X-21)x-(27-7X)y-15X+75=0$

$C=BC\cap DC\Rightarrow C(\frac{7X-21}{6};\frac{33-X}{6})$

Biết được tọa độ của $E,N,C$ có thể tính được $BE,BC,NE,NC$ (theo $X$) rồi lập pt $\frac{BE}{BC}=\frac{NE}{NC}$; giải ra tìm X

(Nguyên tắc là vậy nhưng các tọa độ lẻ quá nên tính toán khá vất vả)

$2.$ TH 2 : Hệ số góc của $DA$ là $-1\Rightarrow DA:x+y-X-2=0$ và $DC:x-y-X+2=0$ (làm tương tự phần trên)

(Không biết có cách nào hay hơn không ?)

Một bài toán về phép đếm - Lời giải nào sai? Đề bài và lời giải xem tại đây http://t.co/1h1430CyIM

Các bạn cho ý kiến nhé.

Cách thứ 3 đúng

Vì 3 cặp song ca cần chọn không phân biệt thứ tự (không phân biệt cặp nào là cặp thứ nhất, cặp nào là cặp thứ hai, ...) nên số cách chọn là :

$N=C_{10}^{3}.C_{31}^{3}.3!=3236400$

hoặc $N=\frac{A_{10}^{3}.A_{31}^{3}}{3!}=3236400$

hoặc $N=\frac{10.31.9.30.8.29}{6}=3236400$

Nếu làm theo cách 1 hoặc cách 2 thì có nhiều cách chọn trùng nhau.

Ví dụ hãy xét cách chọn sau :

Bước 1 : Chọn cặp thứ nhất là anh A, chị X

Bước 2 : Chọn cặp thứ ll là anh B, chị Y

Bước 3 : Chọn cặp thứ lll là anh C, chị Z

Ta ký hiệu cách chọn trên là $(AX,BY,CZ)$

Bây giờ hãy xét các cách chọn : $(AX,CZ,BY);(BY,AX,CZ);(BY,CZ,AX);(CZ,AX,BY);(CZ,BY,AX)$

$6$ cách chọn trên thực chất chỉ là một (vì các cặp song ca không phân biệt thứ tự)

Do đó đáp án đúng nhỏ hơn $6$ lần so với đáp án tính theo cách 1 hoặc cách 2 (ở cách 2, kết quả tính sai, lẽ ra kết quả tính theo cách 1 và cách 2 phải bằng nhau).Tóm lại kết quả đúng là :

$N=\frac{19418400}{6}=3236400$ cách.

a, Tìm số các số xe $\bar{xy}$ thỏa mãn: x + y = k . k là số nguyên cho trước và k $\leqslant$ 9.

b, Tìm số các số xe $\bar{xy}$ thỏa mãn: x + y = k . k là số nguyên cho trước và k $\leqslant$ 18.

c, Tìm số các số xe $\bar{abcd}$ thỏa mãn: a + b = c + d.

( số xe là biển số xe .!)

a)

$x$ có $k+1$ cách chọn (từ 0 đến k)

Với mỗi cách chọn $x$, chỉ có duy nhất $1$ cách chọn $y$ sao cho $x+y=k$

---> Số biển số xe thỏa mãn ĐK bài toán là $(k+1).1=k+1$

b)

+ Nếu $0\leqslant k\leqslant 9$ thì giải như câu $a$, đáp án là $k+1$

+ Nếu $10\leqslant k\leqslant 18$ thì giải như sau :

$x$ có $10-(k-9)=19-k$ cách chọn (từ k-9 đến 9)

Với mỗi cách chọn $x$ chỉ có $1$ cách chọn $y$

---> Đáp án là $19-k$

c)

Đặt $a+b=c+d=k$.Xét 2 TH :

+ $0\leqslant k\leqslant 9$

...Có $k+1$ cách chọn $\overline{ab}$ ; $k+1$ cách chọn $\overline{cd}$

+ $10\leqslant k\leqslant 18$

...Có $19-k$ cách chọn $\overline{ab}$ ; $19-k$ cách chọn $\overline{cd}$

---> Đáp án là $\sum_{k=0}^{9}(k+1)^2+\sum_{k=10}^{18}(19-k)^2=2\sum_{k=1}^{9}k^2+10^2=2.\frac{9.(9+1).(2.9+1)}{6}+100=670$

Cho tam giác vuông cố định $\triangle ABC$ vuông tại $C$. Trên đường vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại $A$, lấy một điểm di động $S$. Hạ $AD\perp SB$  và hạ $AF \perp SC$.

 

a) Tìm quỹ tích của $D$ và $F$ khi $S$ di chuyển.

b) Chứng tỏ rằng: năm điểm $A, B, C, D, F$ nằm trên một hình cầu. Xác định tâm hình cầu đó.
c) Chứng minh rằng $DF$ đi qua một điểm cố định trên $BC$
 

a)

Gọi $t$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $(ABC)$

$\alpha$ là mp chứa $t$ và $AB$ ; $\beta$ là mp chứa $t$ và $AC$

$D\in SB\subset \alpha ;\widehat{ADB}=90$ độ ---> quỹ tích của $D$ là đường tròn đường kính $AB$ trong mp $\alpha$

$F\in SC\subset \beta ;\widehat{AFC}=90$ độ ---> quỹ tích của $F$ là đường tròn đường kính $AC$ trong mp $\beta$

b)

Gọi $I$ là trung điểm $AB$.Các tam giác $ADB,ACB$ vuông tại $D$ và $C$ ---> $IA=IB=IC=ID$ (1)

Gọi $J$ là trung điểm $AC$ ---> $IJ$ // BC ---> IJ _|_ AC (2)

t _|_ (ABC) ---> t _|_ IJ (3)

(2),(3) ---> $IJ$ _|_ $\beta$ ---> IJ _|_ (AFC) (4)

$\Delta AFC$ vuông tại F ---> $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của $\Delta AFC$ (5)

(4),(5) ---> $IA=IF=IC$ (6)

(1),(6) ---> $IA=IB=IC=ID=IF$ ---> $A,B,C,D,F$ cùng nằm trên một mặt cầu tâm $I$ (trung điểm $AB$)

c)

Gọi $E=DF\cap BC$

AC _|_ BC ---> SC _|_ BC

Kẻ DK // BC ($K\in SC$) ---> $\frac{DK}{BC}=\frac{SD}{SB}=\frac{SA^2}{SB^2}$ (vì $SD.SB=SA^2$)

---> $DK=\frac{SA^2}{SB^2}.BC$ (7)

$FC.SC=AC^2\Rightarrow \frac{FC}{SC}=\frac{AC^2}{SC^2}$ (8)

$\frac{KF}{SC}=\frac{SF}{SC}-\frac{SK}{SC}=\frac{SA^2}{SC^2}-\frac{SA^2}{SB^2}=SA^2.\frac{SB^2-SC^2}{SB^2.SC^2}=\frac{SA^2.BC^2}{SB^2.SC^2}$ (9)

(8),(9) ---> $\frac{FC}{KF}=\frac{AC^2.SB^2}{SA^2.BC^2}$ (10)

Hai tam giác $FDK,FEC$ đồng dạng ---> $CE=DK.\frac{FC}{KF}=\frac{SA^2}{SB^2}.BC.\frac{AC^2.SB^2}{SA^2.BC^2}=\frac{AC^2}{BC}$ = số không đổi.

Vậy $DF$ luôn đi qua điểm $E$ cố định trên $BC$ cách $C$ một khoảng $CE=\frac{AC^2}{BC}$ không đổi (C nằm giữa B và E) hay nói cách khác $E$ là điểm thuộc $BC$ sao cho $\Delta ABE$ vuông tại $A$

Chứng minh rằng: Tồn tại vô số số chính phương gồm $2n+1$ chữ số $(n>1)$, có đúng một chữ số $1$ trong biễu diễn thập phân và chữ số đứng thứ $n+1$ là $1$.

" Chứng minh rằng tồn tại vô số số chính phương gồm $2n+1$ chữ số ... "

Suy nghĩ kỹ thì thấy đề này không ổn !

Nếu hiểu rằng " Cm rằng $\forall n> 1$, tồn tại vô số số chính phương gồm $2n+1$ chữ số ... " thì rất vô lý vì $\forall n$, số số chính phương có $2n+1$ chữ số dù có nhiều đến đâu cũng là số hữu hạn, không thể là VÔ SỐ được

Vậy cần hiểu đề như sau :

" Chứng minh rằng có vô số số chính phương có đúng một số lẻ chữ số, trong đó có đúng $1$ chữ số $1$ và chữ số $1$ đó nằm ở vị trí chính giữa "

Đây mới đúng là cách hiểu chính xác !

Chứng minh :

Xét các số $A_{k}$ có dạng :

$A_{k}=\overline{4000...004000...001000...00}$ (giữa 2 cs 4 có $k$ cs 0, giữa cs 4 và cs 1 có $k$ cs 0, sau cs 1 có $2k+2$ cs 0, $k\in N$)

---> $A_{k}=4.10^{4k+4}+4.10^{3k+3}+10^{2k+2}=(2.10^{2k+2}+10^{k+1})^2$

Rõ ràng $A_{k}$ là số chính phương có đúng $4k+5$ chữ số, trong đó chỉ có đúng $1$ cs $1$ và cs $1$ đó nằm ở vị trí chính giữa.

Vì $k$ có thể lấy bất cứ giá trị nào thuộc $N$ nên có VÔ SỐ số chính phương $A_{k}$ thỏa mãn ĐK đề bài (đpcm)

Ví dụ : $A_{0}=44100;A_{1}=404010000;A_{2}=4004001000000;...$

----------------------------------------------------

Thay vì các số $A_{k}$, ta cũng có thể xét các số $B_{k}$ có dạng :

$B_{k}=\overline{9000...006000...001000...00}$ (giữa cs 9 và cs 6 có $k$ cs 0, giữa cs 6 và cs 1 có $k$ cs 0, sau cs 1 có $2k+2$ cs 0, $k\in N$)

(Cách làm hoàn toàn tương tự)

Bài 1 phải là: $9^5-A_9^5=43929$

Gọi $A$ là tập hợp các số có $5$ chữ số lập được từ $9$ chữ số đã cho.Số phần tử của $A$ là $M=9^5$

Gọi $B$ là tập hợp các phần tử của $A$ không thỏa mãn ĐK bài toán.$B$ chỉ có đúng $N=9$ phần tử là $11111;22222;33333;...;99999$

Vậy có $Q=M-N=59040$ số lập được thỏa mãn ĐK bài toán.