chanhquocnghiem

Cho các số ${0;1;2;3;4;5;6;7}$ Từ các chữ số trên lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 10

p/s: cho mình hỏi là số có 4 chữ số đôi một khác nhau với số có 4 chữ số khác nhau là một à? 

Các số thỏa mãn ĐK đề bài có dạng $\overline{abc0}$

+ Chọn $3$ chữ số khác nhau từng đôi một từ $\left \{ 1;2;3;4;5;6;7 \right \}$ và xếp vào $3$ vị trí ---> có $A_{7}^{3}=210$ cách

---> Có $210$ số thỏa mãn ĐK đề bài.

" 4 cs khác nhau " là 1 cách nói không chuẩn, không chính xác, không nên sử dụng trong toán học, đặc biệt là trong Tổ hợp và Xác suất thống kê.Cách nói chuẩn là " 4 cs khác nhau từng đôi một " hoặc " 4 cs đôi một khác nhau "

Cho Đại lượng ngẫu nhiên X có phân bố đều trên đoạn[-1,3].Tính P(X² <7)

Bài này em giải ra là 0.9114.Nhưng không biết có đúng không.

Mong các bác giúp em giải và tìm ra đáp án đúng.Em xin cám ơn.

$X^2< 7\Leftrightarrow X\in (-\sqrt{7};\sqrt{7})$

$P(X^2< 7)=P(-\sqrt{7}< X<\sqrt{7})=\int_{-\sqrt{7}}^{-1}0.dx+\int_{-1}^{\sqrt{7}}\frac{dx}{3-(-1)}=\frac{\sqrt{7}+1}{4}\approx 0,9114$

Tìm các nghiệm nguyên dương x,y,z thỏa mãn điều kiện $x+y+z> 11$  và  8X+9y+10z=100 .

Vì $x,y,z\in N^{+}\Rightarrow 8x+8y+8z< 8x+9y+10z=100$ ---> $x+y+z< \frac{100}{8}=12,5$ (1)

Mà $x+y+z> 11$ (2) 

(1),(2) ---> $x+y+z=12$ (3) ---> $8x+8y+8z=96$ (4)

Theo đề bài $8x+9y+10z=100$ (5)

(4),(5) ---> $y+2z=4$ ---> $y=2;z=1$ (vì $y,z\in N^+$).Thay y = 2; z = 1 vào (3) ---> $x=9$

Trả lời : Bài toán có nghiệm nguyên dương duy nhất : $x=9;y=2;z=1$

Chết, nhìn nhầm, đề đúng phải là $36^x+4^x=9^x$

$36^x+4^x=9^x$ (1)

Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của (1).Xét 2 trường hợp :

$a)$ $x> 0$.Khi đó ta có $36^x> 9^x$ và $4^x> 0\Rightarrow 36^x+4^x> 9^x$ ---> (1) vô nghiệm.

$b)$ $x< 0$.Khi đó ta có $4^x> 9^x$ và $36^x> 0\Rightarrow 36^x+4^x> 9^x$ ---> (1) vô nghiệm.

Vậy pt đã cho vô nghiệm.

Bài này em có cách suy nghĩ khác anh.
Vì chọn có trả lại sau mỗi lần nên có $9^3$ cách chọn được $3$ lần quả trắng, $8^2$ cách chọn được $2$ lần quả đỏ và $6^1$ cách chọn được $1$ lần quả đen.
Còn tổng số cách chọn $6$ lần có hoàn lại là $(9+8+6)^6$ cách.
Như vậy xác suất cần tính phải là: $$P=\dfrac{9^3.8^2.6^1}{23^6}=\dfrac{279936}{148035889}\approx 0,001891$$

À, cái này là tại anh em mình hiểu đề khác nhau.Mình cứ tưởng mỗi phép thử là chọn luôn một lượt 6 quả rồi sau đó hoàn lại.Nhưng có lẽ bạn có lý 

Mấy anh và mấy bác giải giúp em câu này nha.

Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x)=$ \left\{\begin{matrix} \frac{x^2}{9},x\in (0,3 )\\0,x\notin (0,3)\\ \end{matrix}\right.$.Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong  khoảng (1,2)

Em xin chân thành cám ơn ạ

XS để X nhận giá trị trong khoảng (1;2) là $\int_{1}^{2}\frac{x^2}{9}dx=\frac{7}{27}$

XS cần tính là $P=C_{3}^{2}.(\frac{7}{27})^2.(1-\frac{7}{27})^1=\frac{980}{6561}$

1/Một chiếc hộp có 9 quả cầu trắng,8 quả cầu đỏ,6 quả cầu đen.Chọn ngẫu nhiên 6 quả cầu,có hoàn lại sau mỗi lần lấy.Tính xác suất để chọn được 3 quả trắng,2 quả đỏ và 1 quả đen.
2/Một lô hàng có 24 sản phẩm trong đó có 18 phế phẩm,lô hàng đó được chia thành 3 phần bằng nhau.Tính xác suất để mỗi phần đều có 6 phế phẩm
3/Cho 1 hộp bi gồm 4 bi xanh,7 bi trắng,9 bi đỏ.Từ hộp rút ngẫu nhiên,lần lượt không hoàn lại từng bi cho đến khi được 5 bi đỏ thì dừng lại.Tính xác suất để có 2 bi trắng và 3 bi xanh được rút ra.

Help me.Minh xin cam on truoc

$1)$ XS cần tính là $P=\frac{C_{9}^{3}.C_{8}^{2}.C_{6}^{1}}{C_{23}^{6}}=\frac{672}{4807}$

$2)$ Số cách chia lô hàng đó thành 3 phần, mỗi phần 8 sp là $M=\frac{C_{24}^{8}.C_{16}^{8}}{3!}=1577585295$

...Số cách chia thành 3 phần bằng nhau, mỗi phần có 6 phế phẩm là :

...$N=\frac{C_{18}^{6}.C_{6}^{2}.C_{12}^{6}.C_{4}^{2}}{3!}=257297040$

...XS cần tính là $P=\frac{N}{M}\approx 0,1631$

$3)$ Gọi $Q$ là bc có 2T, 3X được rút ra.$R$ là bc có 5Đ được rút ra.XS biến cố cần tính là $P(Q/R)$.Biến cố đó chỉ xảy ra khi

...Rút tất cả 10 lần, trong 9 lần đầu được 2T,3X,4Đ; lần cuối được Đ

...---> $P(Q/R)=\frac{C_{7}^{2}.C_{4}^{3}.C_{9}^{4}}{C_{20}^{9}}.\frac{5}{11}=\frac{1323}{46189}$

 

1. 9 thẻ được đánh số từ 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Một người rút ra 3 thẻ. Tính xác suất để tích 3 thẻ là một số chẵn

2. Có 2 hộp, hộp 1 có 3 bi xanh, 4 bi đỏ, 5 bi vàng. Hộp 2 có 4 bi xanh, 5 bi đỏ, 6 bi vàng. Lấy đồng thời ở cả 2 hộp sao cho tổng số bi bằng 3. Tính xác suất để:

a. Lấy ở hộp 1 một viên đỏ, hộp 2 hai viên không phải màu đỏ

b. 3 bi đều màu đỏ

c. 3 bi không cùng màu đỏ

 

$1)$ Gọi $M$ là biến cố tích 3 thẻ là số chẵn; $N$ là biến cố tích 3 thẻ là số lẻ.

...Trước tiên, ta tính $P(N)$.

...$N$ chỉ xảy ra khi cả $3$ thẻ đều mang số lẻ.

...Có tất cả $5$ thẻ mang số lẻ ---> $P(N)=\frac{C_{5}^{3}}{C_{9}^{3}}=\frac{5}{42}$

...---> $P(M)=1-\frac{5}{42}=\frac{37}{42}$

$2)$ Bài này đề chưa rõ ràng : 

..." Lấy đồng thời ở cả 2 hộp sao cho tổng số bi bằng 3 ". Vậy :

...Nếu lấy $0$ bi ở hộp l, $3$ bi ở hộp ll hoặc $3$ bi ở hộp l, $0$ bi ở hộp ll thì có được không ?

...Còn nếu mỗi hộp phải lấy ít nhất 1 bi thì giải như sau :

...Gọi $M$ là bc lấy 1 bi ở l, 2 bi ở ll ; $N$ là bc lấy 2 bi ở l, 1 bi ở ll ---> $P(M)=P(N)=\frac{1}{2}$

$a)$ Gọi $Q$ là bc lấy ở l 1 bi đỏ, ở ll 2 bi không đỏ ---> $P(Q)=P(M).P(Q/M)+P(N).P(Q/N)$

...$P(Q/M)=\frac{C_{4}^{1}}{C_{12}^{1}}.\frac{C_{10}^{2}}{C_{15}^{2}}=\frac{1}{7}$ ; $P(Q/N)=0$

...---> $P(Q)=\frac{1}{2}.\frac{1}{7}+\frac{1}{2}.0=\frac{1}{14}$

$b)$ Gọi $R$ là bc 3 bi đều màu đỏ ---> $P(R)=P(M).P(R/M)+P(N).P(R/N)$

...$P(R/M)=\frac{C_{4}^{1}}{C_{12}^{1}}.\frac{C_{5}^{2}}{C_{15}^{2}}=\frac{2}{63}$

...$P(R/N)=\frac{C_{4}^{2}}{C_{12}^{2}}.\frac{C_{5}^{1}}{C_{15}^{1}}=\frac{1}{33}$

...---> $P(R)=\frac{1}{2}.\frac{2}{63}+\frac{1}{2}.\frac{1}{33}=\frac{43}{1386}$

$c)$ Gọi $S$ là bc 3 bi không cùng màu đỏ ---> $P(S)=1-P(R)=\frac{1343}{1386}$

1/Có 30 sản phẩm trong kiện hàng,trong đó có 26 chính phẩm,4 phế phẩm.Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại các sản phẩm trong kiện đến khi lấy được chính phẩm hoặc lấy đủ 3 sản phẩm thì dừng lại.Tính xác suất dừng lại ở lần thứ 3
2/Hai đấu thủ A và B thi đấu cờ.Xác suất thắng của A là 0.3 trong mỗi ván(không có hòa).Ai thắng mỗi ván sẽ được 1 điểm ,nếu thua sẽ không được điểm nào.Trận đấu sẽ kết thúc khi hoặc A giành được 5 điểm trước(khi đó A là người thắng) hoặc B giành được 8 điểm trước (khi đó B là người thắng).Tính xác suất thắng trận đấu của A?
3/Một túi chứa 9 quả cầu trắng và 6 quả cầu đen .2 người chơi A và B lần lượt rút 1 quả cầu trong túi (rút không trả lại vào túi). Trò chơi kết thúc khi có người rút được quả cầu đen.Người đó xem như thua cuộc .Tính xác suất người rút trước thắng?
Bác nào pro xác suất giải giùm em 3 câu, phong là sư phụ xác suất luôn.Help me

Cần chú ý cách đặt tiêu đề nhé ! (Chỉ cần chọn tiêu đề, chẳng hạn " Hai đấu thủ thi đấu cờ ..." là được.

$1)$ Đề bài này có sai sót : Lấy ngẫu nhiên $có$ hoàn lại (mỗi lần 1 sp) thì làm sao lấy đủ $3$ sp

...Vậy nên sửa lại : " ... đến khi lấy được chính phẩm hoặc lấy đủ $3$ lần thì dừng lại "

...Sau khi sửa lại như thế thì giải như sau :

...Gọi $M$ là biến cố " dừng lại ở lần thứ 3 "

...$M$ chỉ xảy ra khi lần l và lần ll đều lấy được phế phẩm ---> $P(M)=(\frac{4}{30}).(\frac{4}{30})=\frac{4}{225}$

$2)$ Gọi $N$ là biến cố $B$ thắng trận đấu.$N$ chỉ xảy ra khi 1 trong 5 biến cố sau xảy ra.

...$N_{1}$ : Trận đấu có 8 ván và B thắng cả 8 ván

...$N_{2}$ : Trận đấu có 9 ván, B thắng 7 trong 8 ván đầu và thắng ván sau cùng.

...$N_{3}$ : Trận đấu có 10 ván, B thắng 7 trong 9 ván đầu và thắng ván sau cùng.

...$N_{4}$: Trận đấu có 11 ván, B thắng 7 trong 10 ván đầu và thắng ván sau cùng.

...$N_{5}$: Trận đấu có 12 ván, B thắng 7 trong 11 ván đầu và thắng ván sau cùng.

...$P(N_{1})=(\frac{7}{10})^8=\frac{7^8}{10^8}$ ; 

...$P(N_{2})=C_{8}^{7}.(\frac{7}{10})^7.(\frac{3}{10})^1.(\frac{7}{10})=\frac{24.7^8}{10^{9}}$ ;

...$P(N_{3})=C_{9}^{7}.(\frac{7}{10})^7.(\frac{3}{10})^2.(\frac{7}{10})=\frac{324.7^8}{10^{10}}$ ;

...$P(N_{4})=C_{10}^{7}.(\frac{7}{10})^7.(\frac{3}{10})^3.(\frac{7}{10})=\frac{3240.7^8}{10^{11}}$ ;

...$P(N_{5})=C_{11}^{7}.(\frac{7}{10})^7.(\frac{3}{10})^4.(\frac{7}{10})=\frac{26730.7^8}{10^{12}}$.

...---> $P(N)=P(N_{1})+P(N_{2})+...+P(N_{5})=\frac{125530.7^8}{10^{12}}\approx 0,723655$

...---> XS $A$ thắng trận đấu là $1-P(N)\approx 0,276345$

$3)$ Gọi $Q$ là biến cố người rút trước thắng.$Q$ xảy ra khi 1 trong 5 biến cố sau xảy ra

...$Q_{1}$ : Kết quả rút là T - Đ

...$Q_{2}$ : Kết quả rút là T - T / T - Đ

...$Q_{3}$ : Kết quả rút là T - T / T - T / T - Đ

...$Q_{4}$ : Kết quả rút là T - T / T - T / T - T / T - Đ

...$Q_{5}$ : Kết quả rút là T - T / T - T / T - T / T - T / T - Đ

...$P(Q_{1})=\frac{9}{15}.\frac{6}{14}=\frac{9}{35}$

...$P(Q_{2})=\frac{9}{15}.\frac{8}{14}.\frac{7}{13}.\frac{6}{12}=\frac{6}{65}$

...$P(Q_{3})=\frac{9}{15}.\frac{8}{14}.\frac{7}{13}.\frac{6}{12}.\frac{5}{11}.\frac{6}{10}=\frac{18}{715}$

...$P(Q_{4})=\frac{9}{15}.\frac{8}{14}.\frac{7}{13}.\frac{6}{12}.\frac{5}{11}.\frac{4}{10}.\frac{3}{9}.\frac{6}{8}=\frac{3}{715}$

...$P(Q_{5})=\frac{9}{15}.\frac{8}{14}.\frac{7}{13}.\frac{6}{12}.\frac{5}{11}.\frac{4}{10}.\frac{3}{9}.\frac{2}{8}.\frac{1}{7}=\frac{1}{5005}$

...---> $P(Q)=\frac{271}{715}$

sao 2. 7ⁿ  thì đồng dư với 2 vậy, 2 chia 3 dư 2, 7 chia 3 dư 1 thì thành dư 3 chứ?

$2\equiv 2(mod3)$ ; $7^n\equiv 1(mod3)$ ---> $2.7^n\equiv 2.1\equiv 2(mod3)$

Cái này là tính chất của đồng dư : $a\equiv m$ (mod $c$) ; $b\equiv n$ (mod $c$) ---> $a.b\equiv m.n$ (mod $c$)

bạn ơi sao ađồng dư vs 2 thì có a^2 đồng dư với 2 đồng dư với 1 vậy

$a\equiv 2(mod3)\Rightarrow a^2\equiv 2^2(mod3)\Rightarrow a^2\equiv 4(mod3)\Rightarrow a^2\equiv 1(mod3)$

(vì $4\equiv 1(mod3)$

bài 1 có the giai v dc hok

1)ta lấy 2007 dồng dư voi 7 (mod 1000)

             $29^{7}$ đồng dư với 309 (mod1000)

       vậy chữ số hang trăm cua $29^{2007}$ la 3 

Cách giải này cho kết quả đúng chỉ nhờ may mắn là $29^{1000}\equiv 1(mod1000)$, chứ nếu $29^{1000}\equiv a(mod1000)$ ($a\neq 1$) thì khả năng cho kết quả sai là rất cao !

Cách giải đúng là thế này :

$29^2\equiv 841(mod1000)$ (1)

$29^5\equiv 149(mod1000)$ (2)

---> $29^{10}\equiv 149^2\equiv 201(mod1000)$

---> $29^{20}\equiv 201^2\equiv 401(mod1000)$

---> $29^{50}\equiv 401^2.201\equiv 1(mod1000)$ (3)

(1),(2),(3) ---> $29^{2007}\equiv (29^{50})^{40}.29^5.29^2\equiv 1^{40}.149.841\equiv 309(mod1000)$

---> Chữ số hàng trăm của $29^{2007}$ là $3$

bạn ơi sao a đồng dư vs 1 và 2 rồi => a^2 đồng dư vs 1 vậy và còn a^2 -13=0 nữa?????? mình k hiểu lắm bước này

+ Nếu $a\equiv 1(mod3)\Rightarrow a^2\equiv 1^2\equiv 1(mod3)$

+ Nếu $a\equiv 2(mod3)\Rightarrow a^2\equiv 2^2\equiv 1(mod3)$

Mà ta có $13\equiv 1(mod3)$ nên nếu $a^2\equiv 1(mod3)$ thì $a^2-13\equiv 1-1\equiv 0(mod3)$

Đây là những tính chất của đồng dư, ai đã học qua đều biết.

Nếu ko biết về đồng dư thì có thể làm thế này :

+ a chia 3 dư 1 ---> $a^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1$ ---> $a^2$ chia 3 dư $1$

+ a chia 3 dư 2 ---> $a^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4$ ---> $a^2$ chia 3 dư $1$

$a^2$ chia 3 dư 1 ---> $a^2=3m+1$ ($m\in N$

---> $a^2-13=3m+1-13=3m-12=3(m-4)$ ---> $a^2-13$ chia hết cho $3$ ---> $A$ chia hết cho $3$

CMR với mọi số tự nhiên n ta có 2.7ⁿ+1 là bội của 3 
( Mình đã làm bài này = hđt thứ 6 mở rộng rồi nhưng làm = nhị thức Newton thì mình không biết)

Ái chà, mới lớp 8 mà cũng có đề này sao ?

Bài này mà làm bằng nhị thức Newton thì dài dòng mà không hay, nhưng nếu muốn biết thì xem thử (lớp 11 mới học) :

$7^n=(6+1)^n=6^n+C_{n}^{1}.6^{n-1}.1^{1}+C_{n}^{2}.6^{n-2}.1^2+C_{n}^{3}.6^{n-3}.1^3+...+C_{n}^{n}.6^0.1^n$

Trong đó $C_{n}^{k}$ nghĩa là $\frac{n.(n-1).(n-2)...(n-k+1)}{1.2.3...k}$.Ví dụ $C_{7}^{3}=\frac{7.6.5}{1.2.3}=35$

Dễ thấy mọi số hạng vế phải đều chia hết cho $3$ (trừ số hạng cuối bằng $1$, ko chia hết cho $3$

---> $7^n\equiv 1(mod3)$ ---> $2.7^n\equiv 2(mod3)$ ---> $2.7^n+1\equiv 0(mod3)$, $\forall n\in N$

Nói cách khác $2.7^n+1$ là bội của $3$, $\forall n\in N$ (đpcm)

bạn ơi, cho mình hỏi mấy chỗ Mod 3 là gì vậy? với lại 3 dấu = nữa, mình không hiểu lắm

Ủa, học chuyên Toán về tính chia hết mà không biết mấy cái ký hiệu đó sao ?

Đó là ký hiệu đồng dư.

$a\equiv 1(mod3)$ có nghĩa là $a$ và $1$ có cùng số dư khi chia cho $3$

Ví dụ $123\equiv 48\equiv 8\equiv 3(mod5)$ nghĩa là những số đó có cùng số dư khi chia cho $5$