tunglamlqddb

Bài toán mở rộng nếu vế trái là căn bậc 3

CON YÊU BA MẸ NHIỀU LẮM!

bạn nói rõ hơn đc không?

bài 3 chứng minh a^{5}+b^{5}\geq a^{2}b^{2}(a+b) bằng cách biến đổi tương đương

Bài toán 2:
Bất đẳng thức đầu tương đương với: $a^2b+b^2c+c^2a+abc\leqslant \dfrac{4}{27}(a+b+c)^3$
Hướng 1: Đặt $(x,y,z)=(a+t,b+t,c+t)$ với $t\geqslant -c=-\text{min}\{a,b,c\}\leqslant 0$ $f(t)=F(x,y,z)=27(x^2y+y^2z+z^2x+xyz)-4(x+y+z)^3$
$f'(t)=9(xy+yz+zx-x^2-y^2-z^2)\leqslant 0\Rightarrow f(0)\leqslant f(-c)\Leftrightarrow F(a,b,c)\leqslant F(a-c,b-c,0)$
Do đó ta cần chứng minh khi $c=0$ hay là chứng minh $27a^2b\geqslant 4(a+b)^2$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $27a^2b \leqslant \dfrac{27}{2}.\dfrac{(a+a+2b)^3}{27}=4(a+b)^3$
Hướng 2: Giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$ thì $a^2b+b^2c+c^2a+abc\leqslant b(a^2+2ac+c^2)=b(a+c)^2 \leqslant \dfrac{1}{2}.\dfrac{(2b+a+c+a+c)^3}{27}=\dfrac{4}{27}(a+b+c)^3$

Bạh có thể giải thích hộ mình b nằm giữa a và c la như nào ko? Và khi nào mình đc giả sử như thế? Nếu đc bạn lấy vd cho mình luôn nhé!

cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với B,C cố định, A thay đổi trên đường tròn. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC, CA ở C', A', B'. Gọi M,N,K,L là trung điểm của C'A, B'A, A'C, B'C. Đường thẳng A'C' MN, KL ở E, F; A'B' cắt MN ở P; B'C' cắt KL ở Q. Gọi (O') và (O'') là các đường tròn ngoại tiếp tam giác EAP, FCQ.

 1)   (O') cắt (O'') ở X,Y. Chứng minh XY đi qua điểm cố định ( mình vẽ hình thấy nó đi qua B).

 2)    CM: hai tiếp tuyến chung của (O') và (O") cùng với EF, PQ đồng quy.

đây là cách trong sách của mình
vì $a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow a\in \left [ -1;1 \right ]$
không mất tính tổng quát giả sử $a\leq b\leq c$
$*$với $a=-1$ thì $b=c=0\Rightarrow A=-3$
$*$với $-1<a<0 A=3(a+b+c)-33abc\leq 3[a+\sqrt{2(b^2+c^2)}]-11a(b^2+c^2)=11a^3-8a+3\sqrt{2(1-a^2)}=f(a)$
vì $f'(a)=33a^2-8-\frac{3\sqrt{2}a}{\sqrt{1-a^2}}$ nghịch biến trên $\left ( -1;0 \right )$
với $f'(a)=0\Rightarrow a=-\sqrt{\frac{2}{11}}\Rightarrow f(a)\leq f(-\sqrt{\frac{2}{11}})=15\sqrt{\frac{2}{11}}$
$*$với $a\geq 0\Rightarrow b\geq 0;c\geq 0$
$A\leq 3(a+b+c)\leq 3\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}< 15\sqrt{\frac{2}{11}}$
vậy $maxA=15\sqrt{\frac{2}{11}}\Leftrightarrow (a;b;c)=(-\sqrt{\frac{2}{11}};\frac{3}{\sqrt{22}};\frac{3}{\sqrt{22}})$ và các hoán vị

. baạn giải thích dòng 5 hộ mình với!