Melodyy

Có khá nhiều cách đó : 

Cách $1$ ( cổ điển , $2$ vế BP ) : $PT\Leftrightarrow (x-\frac{1}{2})^{2}=(\sqrt{2x-1}-\frac{1}{2})^{2}$

Cách $2$ ( Liên hợp nhé) : $PT\Leftrightarrow (x-1)(x-2+\frac{2}{\sqrt{2x-1}+1})=0$

Cách $3$ ( dùng hàm đồng biến , nghịch biến ) : $PT\Leftrightarrow -(1-x)^{2}+(1-x)=-(2x-1)+\sqrt{2x-1}$ . Xét $3$ TH là OK

Bổ sung thêm cho phong phú:

Cách $4$

ĐK:

PT đã cho $\Leftrightarrow x^{2}-3x+1=-\sqrt{2x-1}$

                $\Leftrightarrow 4x^{2}-12x+4=-4\sqrt{2x-1}$

                $\Leftrightarrow (2x-1)^{2}=(2\sqrt{2x-1}-1)^{2}$

Xét $2$ TH là xong

Cách $5$

ĐK

Đặt $\sqrt{2x-1}=2y+1$

Ta có hpt $\left\{\begin{matrix}  -x^{2}+3x-1=2y+1& \\ 4y^{2}+4y+1=2x-1& \end{matrix}\right.$

               $\left\{\begin{matrix}  -x^{2}+3x-2y=2& \\ 4y^{2}+4y-2x=-2& \end{matrix}\right.$

Cộng theo vế rồi ptnt ta được $(2y-x)(2y+x+1)=0$

Xét các TH nữa là xong

Cho $f\in \mathbb{R}[x]$ , $deg$ $f=n$, $f(i)=2^i$ với $i=\overline{1,n+1}$

Tính $f(n+2)$

Bài này VMO 1986

Ta cm bằng quy nạp được $f(n+2)=2^{n+2}-2$

(Trong nhiều tài liệu đã có cm cái này )

Bài 1: Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $u_{1}=\frac{1}{2}, u_{n}=u_{n-1}+2n $, với mọi $n\geq 2$.Tìm CTTQ của dãy.

Bài 2:Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $u_{1}=-1,u_{n}=2n.u_{n-1}$, với mọi $n\geq 2$.Tìm CTTQ của dãy.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 1

$u_{n}=u_{n-1}+2n=u_{n-2}+4n = u_{n-3}+6n=...= u_{1}+2n(n-1)=2n^2-2n+\frac{1}{2}$

Bài 2

$u_{n}=2n.u_{n-1}=(2n)^{2}.u_{n-2}=...=(2n)^{n-1}.u_{1}=(-1).(2n)^{n-1}$

$x\leqslant x(1-k^2)$ với $x$ dương? làm sao có thể 

Uh ,làm sai bét bè nhe roi!

Cách khác

Trưoc hết cm cái BĐT phụ

$\sum a^{2}b+abc\leq 4$

Không mất tính tổng quát giả sử $b$ nằm giữa $a,c$ thì

$(b-a)(b-c)\leq 0\Rightarrow b^{2}+ac\leq ab+bc\Rightarrow b^{2}c+c^{2}a\leq abc+c^{2}b\Rightarrow \sum a^{2}b+abc\leq a^{2}b+2abc+bc^{2}=b(a+c)^{2}\leq \frac{1}{2}(\frac{2b+a+c+a+c}{3})^{3}= \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}=4$

Nhân 2 vế của BĐT trên cho $a+b+c+1$ ta được

$\sum a^{2}b+abc(\sum \frac{a}{b+c+1})\leq 4$

Ta đi cm $\sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1$

Quy đồng ta lạii nhận đc BĐT phụ cm trên

 suy ra đpcm

 Ta cần CM: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+4xyz\geq \frac{13}{27}$

$CM: \sum a^{2}+4abc\geq \frac{13}{27}$

Các bạn ak, làm sao biết cực trị tại tâm mà cm kiểu đó chứ?

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$

Tìm GTNN của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+4abc$

Cho tam giác $ABC$ đều và $M$ là một điểm thuộc miền trong của tam giác

Từ $M$ hạ các đường vuông góc $MA_{1};MB_{1};MC_{1}$ xuống $BC,AC,AB$

Tìm GTNN của $P=\frac{MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}}{(MA_{1}+MB_{1}+MC_{1})^{2}}$

Gọi cạnh tam giác là $a$ thì

$MA_{1}+MB_{1}+MC_{1}=AH=\frac{3\sqrt{3}}{2}a$

Lại có $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}\geq \frac{(MA+MB+MC)^{2}}{3}$

Nhớ lại về điểm Torricelly trong tam giác thì $MA+MB+MC$ đạt GTNN khi $M$ nhìn các cạnh dưới cùng một góc $120$ độ

nên dễ dàng đưa các yếu tố về cùng đơn vị với độ dài cạnh

Từ đó giải quyết đc bài toán

Tìm các hàm $f:N\rightarrow N$ thoả mãn

$f(f(n))+f^{3}(n)=n^{3}-6n^{2}+13n-12$