Nguyen Duc Phu

Mình nghĩ a,b,c không có vai trò như nhau đâu. Nếu giữ nguyên a, thay b bằng c, c bằng b thì ta có:

$a^2c(a-c)+c^2b(c-b)+b^2a(b-a)\geq 0$ hoàn toàn khác với đề bài.

Bác Khoa thử giả vờ $a \ge b \ge c$

 

đặt $a=c+x+y ; b= c+x$

 

$\sum a^2b(a-b)=c^2(x^2+xy+y^2)+c(x^3+y^3)+cxy(3x+4y)+xy(x+y)^2$

Cho các số thực dương x, y. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2}{2b}+\frac{2b^2}{a+b}\geq \frac{3}{2}\sqrt{\frac{a^3+2b^3}{a+2b}}$

(Dùng phương pháp biến đổi tương đương)

Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng $4(\sqrt{a^3b^3}+\sqrt{c^3b^3}+\sqrt{a^3c^3})\leq 4c^3+(a+b)^3$

Cho các số thực dương a, b ,c, d. Chứng minh:

$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\geq \sqrt{(x+y)^2+(a+b)^2}$

(Chỉ dùng phương pháp biến đổi tương đương)

Cho em hỏi là sao lại phân tích nhân tử được như thế kia ạ.Bí quyết là gì ??

Dùng phương pháp hệ số bất định: nếu đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng: $(ax+b)(cy+d)(ez+f)$

Đồng nhất $(ax+b)(cy+d)(ez+f)$

$=ace.xyz+acf.xy+ade.xz+adf.x+bce.yz+bcf.y+bde.z+bdf $

$=6xyz+30xy+21xz+2yz+105x+10y+7z+35$, ta có:

$ace=6$, $acf=30$, $ade=21$, $adf=105$, $bce=2$, $bcf=10$, $bde=7$, $bdf=35$

Từ đây có thể tìm được $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$.

Bài 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:

$(x-y)^2=\left [ 3x.\frac{1}{3} +y.(-1)\right ]^2\leq (9x^2+y^2)(\frac{1}{9}+1)=\frac{10}{9}$

$<=>\left | x-y \right |\leq \frac{\sqrt{10}}{3}$

Bài 3: Tương tự bài 2.

Cho các số thực x, y thỏa mãn $x\neq y$, $x\neq 0$, $y\neq 0$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{4}{xy}$

(Chỉ dùng phương pháp biến đổi tương đương)

Chỉ dùng phương pháp biến đổi tương đương. Chứng minh rằng

$x^4+y^4\geq \frac{(x+y)^4}{8}$ ($a$, $b$ là các số thực)

Cho các số thực a,b,c. Chứng minh rằng:

$3(a^4+b^4+c^4)+4(a^3b+b^3c+c^3a)\geq 0$

Làm thử câu 5 coi sao, sai thì sửa giùm nha.

$M=(x+y)^2+x^2+x^2+xy\geq 9+x^2+3x=(x+\frac{3}{2})^2+\frac{27}{4}$

Vậy GTNN của $M=\frac{27}{4}$ khi $x=-\frac{3}{2}$ và $y=\frac{9}{2}$

 Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} y^2-9x^2+27x-27=0\\ z^3-9y^2+27y-27=0 \\ x^3-9z^2+27z-27=0 \end{matrix}\right.$

a)Tìm các số tự nhiên n để $2^{n-1} \vdots 7$.

b)Chứng minh rằng $2^n+1$ không chia hết cho 7 với n là số tự nhiên.

Giải các phương trình và hệ phương trình sau;

a)$(x-1)^2+2\left | x-1 \right |-8=0$

b)$\left\{\begin{matrix} 3x^3+2y^2+6=0\\ 4x^3+3y^2+5=0 \end{matrix}\right.$

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:

$A=3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x}$

Tìm các số nguyên dương x,y,z thoả mãn hệ:

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{16}{y}+\frac{9}{z}=4\\ x+y+z\leq 16 \end{matrix}\right.$