NAGATOPain

Ta có :

$(x+y+z)^3 = (x+y)^3 + 3(x+y)z(x+y+z) + z^3$

$= x^3+y^3+z^3+3xy(x+y)+3(x+y)(xz+yz+z^2)= x^3+y^3+z^3 + 3(x+y)(y+z)(x+z)$

Suy ra :

$x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)^3 - 3(x+y)(y+z)(x+z) - 3xyz$

mà $(x+y)(y+z)(x+z) - xyz = (x+y+z)(xy+yz+zx)$

nên $x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)^3 - 3(x+y+z)(xy+yz+xz) = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz)$

Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 

$x^3 = 4y^3 + x^2y+y+13$

bạn cho mình hỏi cái bdt đó ở đâu vậy, chứng minh được không?

Cái đó là bất đẳng thức cơ bản mà bạn ... có thể chứng minh trực tiếp hoặc dùng AM - GM,...

Ta có : $x+y+z = a \Leftrightarrow (x+y+z)^2 = a^2$

Áp dụng bất đẳng thức : $xy+yz+xz \leq \frac{(x+y+z)^2}{3} = \frac{a^2}{3}$

Vậy GTLN của xy + yz + xz là $\frac{a^2}{3}$ khi x = y = z = $\frac{a}{3}$

Ta có : 

$VT^2 = \left ( \frac{ab}{c} + \frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right )^2 \geq 3\left ( \frac{ab}{c}.\frac{bc}{a} + \frac{bc}{a}.\frac{ca}{b} + \frac{ca}{b}.\frac{ab}{c}\right )$

$= 3(a^2+b^2+c^2) = 9$

$\Rightarrow VT \geq 3$ (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

mình vẫn chưa hiểu ý của bạn, pt đã cho có vế phải là $(1+x+x^2+x^3+x^4)$ và vế trái là$y$.PT nghiệm đúng khi hai vế này bằng nhau chứ đâu có ép buộc chúng bằng nhau và bằng $0$.

Nếu đề bài cho pt thế này mà phải đi tìm các cặp nghiệm nguyên$(x,y)$ thì đương nhiên sẽ có vô số nghiệm nguyên vì mỗi giá trị nguyên của $x$ sẽ có một giá trị nguyên của $y$ tương ứng.Hay là mình hiểu sai đề nhỉ?

Chắc do mình đọc nhanh quá ấy bạn, mình cứ tưởng y chỉ là cái hàm số của x thôi. Còn nếu tìm nghiệm nguyên của x và y thì vô số nghiệm rồi còn đâu.

ĐK: $y \neq -2x$ và $y \neq 3x$

Ta phân tích phương trình (2) của hệ trên, được :

$\frac{4x+12y}{(2x+y)(3x-y)} = 7\Leftrightarrow \frac{-4}{2x+y}+\frac{8}{3x-y}=7$

Đặt $\frac{1}{2x+y} = a ; \frac{1}{3x-y}=b$ (a,b khác 0)

được $\left\{\begin{matrix}4a+b=2 & \\ -4a+8b=7 & \end{matrix}\right.$ => a = 0,25; b = 1

=> $\frac{1}{2x+y} = 0,25 \Leftrightarrow 2x+y=4$

và $\frac{1}{3x-y} = 1 \Leftrightarrow 3x-y=1$

Giải hệ 2 phương trình trên ta được x = 1 ; y = 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (1;2)

a. Ta thấy : $m\neq \frac{-1}{m}$ nên hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

b. Vì $x+y=5\Leftrightarrow x=5-y$ . Thế x vào hệ trên ta được hệ mới : $$\left\{\begin{matrix} m(5-y) - y = 2 (1)& \\ 5-y+my=5 (2)& \end{matrix}\right.$$

Xét (1), ta được $y=\frac{5m-2}{m+1}$ (*). Xét (2), ta được $(m-1)y=0$ ta được m = 1 hoặc y = 0 

Khi $y = 0 \Rightarrow m = \frac{2}{5}$ theo (*)

Vậy với m = 1 hoặc m = 0,4 thì hệ phương trình trên có x+y=5

Không mất tính tổng quát ta giả sử : $a\geq b\geq c$

Vì $a^2+b^2+c^2=1$ nên $\left | a \right |,\left | b \right |,\left | c \right | \leq 1$

Từ đó ta có : 

$a^2 \geq a^3 ; b^2 \geq b^3;c^2\geq c^3$

mà $a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3 = 1$ 

nên: 

$a^2 = a^3 ; b^2 = b^3;c^2= c^3$

mà $a\geq b\geq c$ 

$\Rightarrow a = 1 ; b = c = 0$

Vậy $S = a^{2014}+b^{2014}+c^{2014} = 1+0+0=1$

Ta có :

$2y^2x+x+y+1=x^2+2y^2+xy \Leftrightarrow 2y^2(x-1) + x(1-x)+y(1-x)=-1$

$\Leftrightarrow (2y^2-x-y)(x-1)=-1=-1.1=1.(-1)$

Từ đây ta được nghiệm nguyên của phương trình trình trên là : $(x;y)=(0;1);(2;1)$

Câu 1: (5 điểm)

1. Rút gọn biểu thức : $F=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}} + \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}$

2. Cho hàm số bậc nhất y = mx - 2m - 1. Gọi A,B lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số với các trục Ox, Oy. Tìm m để diện tích $\Delta AOB$ bằng $4cm^2$ (đơn vị đo trên các trục tọa độ là cm).

Câu 2: (5,5 điểm)

1. Cho $x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2} = 1$ . Tính giá trị biểu thức $M = x^2 + y^2$

2. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM, AM = AC. Chứng minh rằng : $tg\widehat{ABC} = \frac{1}{3}tg\widehat{ACB}$

Câu 3 : (5 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A. Hai điểm D, E theo thứ tự thay đổi trên 2 cạnh AB, BC. Gọi F,H lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ D,A xuống BC. Giả sử $EF = \frac{1}{2}BC$

a. Chứng minh CE = FH

b. Chứng minh đường thẳng qua E và vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định

Câu 4 : (4,5 điểm)

1. Tìm các cặp số (x;y) thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix}(x+y)(x^2+y^2)=15 & \\ (x-y)(x^2-y^2)=3 & \end{matrix}\right.$

2. Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn :

$x^6+3x^3+1=y^4$

Câu 1:Tìm các hệ số $a,b$ để đa thức: $f(x)=3x^4+ax^3+9x^2+bx+16$ chia hết cho đa thức: $g(x)=x^2-5x+2$.

Câu 2: Tìm nghiệm của phương trình: $(x^2-9)^2=12x+1$

Câu 2: ĐKXĐ : $12x + 1> 0\Leftrightarrow x>\frac{-1}{12}$

Ta có :

$\Leftrightarrow x^4 - 18x^2 + 81 = 12x + 1$

$\Leftrightarrow x^4 +18x^2 + 81 -36x^2 - 12x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow (x^2+9)^2-(6x+1)^2 = 0$

$\Leftrightarrow (x^2+6x+10)(x^2-6x+8) = 0$

Từ đó ta được x = 4 và x = 2 là nghiệm của phương trình trên.