PlanBbyFESN

Mở đầu: Bất đẳng thức là một phần rất quan trọng trong kiến thức của Trung học cơ sở. Hơn nữa, đây lại thường là phần chọn học sinh giỏi trong các kì thi THCS và lại được nhiều bạn đam mê yêu thích, bao gồm cả mình.

Cho nên mình làm bài viết này với mục đích vừa có thể đóng góp cho diễn đàn vừa có thể tìm hiểu và hoàn thiện thêm kỹ năng về bất đẳng thức và tham khảo được nhiều bài và dạng cũng như cách làm thú vị khác nhau.

 

Về phương pháp bất đẳng thức:

- Biến đổi tương đương

- Phương pháp phản chứng

- Phương pháp làm trội

- Phương pháp quy nạp

- Bất đẳng thức AM-GM, AM-GM ngược dấu, AM-GM suy rộng

- Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, dạng phân thức 

- Phương pháp Dirichle 

- Phương pháp bất đẳng thức phụ

........ Và nhiều bất đẳng thức khá mới so với đa số học sinh THCS như Honder, Schur, S.O.S, Jensen,... ( nhiều cái mình cũng mới tiếp xúc)

 

Trong mỗi phương pháp ta lại có nhiều hệ quả, những "liên quan" thú vị.... Nếu được hỏi về một số phương pháp bất đẳng thức thì có thể bạn sẽ kể một số phương pháp như trên, với mình thì mình cũng sẽ vậy. Sở dĩ mình chỉ nêu phương pháp mà không ghi rõ ra là vì đơn giản một là tài liệu về nó rất nhieuf và hai là mình nghĩ nó quá nhiều, nhưng không phải nhiều về "cái mình kể" đó mà đơn giản: Từ 3 số 1,2,3 nếu đặt riêng thì nó sẽ vẫn là 3 số; nhưng nếu kết hợp chúng lại ta sẽ có 1,2,3,12,13,123,132.... Bất đẳng thức cũng vậy, phương pháp gốc thì hữu hạn, giải được bài hay thì phải cần kết hợp nhiều phương pháp sẽ là vô hạn.... 

 

Mình sẽ không đi riêng một hướng về bất đẳng thức trong bài viết này, sẽ cũng như bạn gặp bài nào đó trong vị trí cô lập không có một dẫn đường nào cho bạn để giải nó và việc bạn phải làm là vận dụng kết hợp kiến thức của bạn để giải. 

 

Sau đây là các bài bất đẳng thức mang tính tổng hợp của mình, dù bài khó hay dễ cũng mong các bạn giải rõ ý tưởng, hạn chế dùng kí hiệu và cách giải càng hay càn thú vị càng tốt.

 

Bài tập:

 

Bài 1: Cho $z,y,z>0;x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$

CM: $xy+yz+zx\geq 2(x+y+z)+9$

 

Bài 2: Cho $a,b,c>0; a+b+c=1$

CM: $\frac{a}{9a^{3}+3b^{2}+c}+\frac{b}{9b^{3}+3c^{2}+a}+\frac{c}{9c^{3}+3a^{2}+b}\leq 1$

 

Bài 3: Cho $a,b,c>0;a+b+c=3$

Tìm min: $A=\frac{a^{k+1}+k}{b^{2}+1}+\frac{b^{k+1}+k}{c^{2}+1}+\frac{c^{k+1}+k}{a^{2}+1}$  $k\in \mathbb{N}$

 

Bài 4: Cho $a,b,c\in \left [ 1;2 \right ]$

CM: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc$

 

Bài 5: Cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

Tìm max: $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$

 

Bài 6:  Cho $a,b,c>0$ 

CM: $\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{ab+bc+ca}+\frac{3abc}{a+b+c}\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Bài 4: Cho $x\geq 2;x+y\geq 3.$ Tìm min: 

 $x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}$

AM-GM:

$x^{2}+4\geq 4x$

$y^{2}+1\geq 2y$

$\Rightarrow S\geq 4x+2y+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}-5$

Cô si tách:

$2(x+y)+\frac{18}{x+y}-\frac{17}{x+y}\geq 2\sqrt{36}-\frac{17}{3}=\frac{19}{3}$           ($x+y\geq 3$)

$2x+\frac{8}{x}-\frac{7}{x}\geq 2\sqrt{16}-\frac{7}{2}=\frac{9}{2}$                              ($x\geq 2$)

$\Rightarrow P\geq \frac{19}{3}+\frac{9}{2}-5=\frac{35}{6}$

Dấu"=" xảy ra $\Leftrightarrow$ x=2 và y=1

Vậy S_min=$\frac{35}{6}$

Bài 5: Cho $x,y,z>0$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$ 

CMR: $xy+yz+zx\geq 2(x+y+z)+9$

Bài 6: $x,y,z>0; \sum x^{2}=3$

CMR:  $\sum \frac{xy}{3+z^{2}}\geq \frac{3}{4}$

Bài 7:  Cho $x,y>0$;x²+y²=1

Tìm max: $P=xy^{2}$

P/s: Dễ nhai thì cố cắn nha các bạn

giải phương trình:$\sqrt{x^2-\frac{1}{4}+\sqrt{x^2+x+\frac{1}{4}}}=\frac{1}{2}(2x^3+x^2+2x+1)$

$VT=\sqrt{x-\frac{1}{4}+\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}}}=\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}}=x+\frac{1}{2}$

$\Rightarrow x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(2x^{3}+x^{2}+2x+1)$

$\Leftrightarrow x^{2}(2x+1)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x=0 & \\ x=\frac{-1}{2} & \end{bmatrix}$  (TM)

Vậy $x=0 ; x=\frac{-1}{2}$

Bài 3:Cho $a,b,c>0$.Chứng minh $\sum \frac{a^{3}+b^{3}}{2ab}\geq a+b+c$

Nhân tiện cho chúc mừng sinh nhật VMF ké nhé 

Vận dụng kết quả quen thuộc:

$x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)\Leftrightarrow (x-y)^{2}(x+y)\geq 0$ luôn đúng .

Thay vào ta có: $\frac{a^{3}+b^{3}}{2ab}\geq \frac{a}{2}+\frac{b}{2}$

Tương tự các vế còn lại ta có đpcm

Bài 4: Cho $x\geq 2;x+y\geq 3.$ Tìm min: 

 $x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}$

Bài 1. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x\leq y\leq z$.Chứng minh rằng $xy^{4}+yz^{4}+zx^{4}\leq yx^{4}+zy^{4}+xz^{4}$

 

$x\geq y\geq z$: bạn ấy viết nhầm

Cho $0< b< a\leq 4$ và $2ab \leq 3a+4b$

Tìm giá trị lớn nhất của $a^{2}+b^{2}$

 

$2ab\leq 3a+4b\Rightarrow b\leq \frac{3a}{2a-4}$            (mấu khác 0)

$\Rightarrow P=a^{2}+b^{2}\leq (\frac{3a}{2a-4})^{2}+a^{2}.$

Xét:

$P-25\leq (\frac{3a}{2a-4})^{2}+a^{2}-25$

Dự đoán P_max=25 nên ta CMR $P\leq 25\Leftrightarrow P-25\leq 0$

Thật vậy:

$P-25\leq 0\Leftrightarrow (\frac{3a}{2a-4})^{2}+a^{2}-25=\frac{4a^{4}-16a^{3}-75a^{2}+400a-400}{(2a-4)^{2}}\leq 0$

$\Leftrightarrow 4a^{4}-16a^{3}-75a^{2}+400a-400\leq 0 \Leftrightarrow (a-4)(4a^{3}-75a+100)\leq 0\Leftrightarrow 4a^{3}-75a+100> 0$   (*)

(Do $a\leq 4$)

Điều (*) sẽ là hiển nhiên nếu $\frac{5\sqrt{2}}{2}\leq a\leq 4$ 

Còn nếu  $0< b< a\leq \frac{5\sqrt{2}}{2}\Rightarrow P< 2a^{2}\leq 25$   

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=4,b=3$

Vậy P_max=25

Cho các số $a,b,c \in [1;2]$. Tìm Max, Min của biểu thức : $P=\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}$

MIN: 

Dự đoán dấu "=" sẽ là bộ (2,1,1) nên ta sẽ chứng minh thẳng bằng cách: (tuy không tự nhiên lắm)

C/m: $\frac{abc}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geq \frac{1}{5}\Leftrightarrow 5abc\geq \sum a^{3}$  (1)

Đặt: x+1=a, y+1=b , z+1=c

$1\leq a,b,c\leq 2\Rightarrow 0\leq x,y,z\leq 1$

Khai triển(1) ra ta được:

$\Rightarrow (1)\Leftrightarrow \sum x^{3}+3\sum x^{2}+3\sum x+3\leq 5xyz+5\sum xy+5\sum x+5$

$\Leftrightarrow 2(x+y+z)+5xyz+5\sum xy+2\geq \sum x^{3}+3\sum x^{2}$   (*)

Do $0\leq x,y,z\leq 1$

nên ta có: $(1-x)(1-y)(1-z)\geq 0\Rightarrow 1+\sum xy\geq xyz+\sum x$

                $\Rightarrow 2+2\sum xy\geq 2xyz+2\sum x$  (**)

Từ (*) và (**) ta sẽ có điều cần chứng minh nếu:

$ 4(x+y+z)+7xyz+3\sum xy\geq x^{3}+y^{3}+z^{3}+3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Đến đây thì dễ chém rồi: Do $0\leq x,y,z\leq 1$ nên hiển nhiên:

$\sum x\geq \sum x^{2};\sum x\geq \sum x^{3};\sum xy\geq 0;xyz\geq 0 $

cộng lại ta có ĐPCM.

$\Rightarrow P\geq \frac{1}{5}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow (x;y;z)=(1,0,0)\Leftrightarrow (a,b,c)=(2,1,1)$

Vậy P_min=$\frac{1}{5}$

MAX:

Max thì không còn gì để nói rồi:

$\sum a^{3}\geq 3abc>0\Rightarrow P\leq \frac{1}{3}$ 

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $1\leq a=b=c\leq 2$

Vậy P_max= $\frac{1}{3}$

P/S: Bài anh ra rất hay.

Cho biểu thức: P=x\sqrt{5-x}+\left ( 3-x \right )\sqrt{2+x}. Tìm GTNN và GTLN của P với 0\leq x\leq 3.

Max thì đơn giản rồi:

$P^{2}=x^{2}-3x+18+2x(3-x)\sqrt{(5-x)(2+x)}=(x-\frac{3}{2})^{2}+\frac{63}{4}+2x(3-x)\sqrt{(5-x)(2+x)}\leq \frac{63}{4}+2\frac{(x+3-x)^{2}}{4}\sqrt{\frac{(5-x+2+x)^{2}}{4}}=\frac{63}{2}$   (do $0\leq x\leq 3$)

$\Rightarrow P\leq 3\sqrt{\frac{7}{2}}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$

Cho biểu thức: P=x\sqrt{5-x}+\left ( 3-x \right )\sqrt{2+x}. Tìm GTNN và GTLN của P với 0\leq x\leq 3.

$P=x\sqrt{5-x}+(3-x)\sqrt{2+x}$     $0\leq x\leq 3$

Min:

$P^{2}=x^{2}(5-x)+(3-x)^{2}(2-x)+2x(3-x)\sqrt{(5-x)(2+x)}=x(x-3)+18+2x(3-x)\sqrt{(5-x)(2+x)}\geq 18$ Do $0\leq x\leq 3$

$\Rightarrow P\geq 3\sqrt{2}$ 

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=3$ hoặc x=0

 

Em là thành viên mới, chưa có kinh nghiệm. Mong anh chị và các bạn giúp đõ, ủng hộ ạ . 

 

1/   $\sqrt{x+x^{2}}+\sqrt{x-x^{2}}= x+1$

2/   $\sqrt{2x^{2}+16x+18}+\sqrt{x^{2}+1}=2x+4$

3/   $\sqrt{4-3\sqrt{10-3x}}=x-2$

4/   $x^{2}+3x+1=(x+3)\sqrt{x^{2}+1}$

5/   $\sqrt{2059-x}+\sqrt{2053-x}+\sqrt{2154-x}=24$

 

1/ và 2/ đặt ẩn phụ có mối liên quan giữa VP-VT

3/ Dùng máy bấm nghiệm đối vs x. Nhận thấy x tăng thì VP tăng còn VT giảm nên dùng đồng biến nghịch biến là cho nghiệm duy nhất của x

Tương tự đối với

5/ Chỉ cần chỉ ra nghiệm của x (nghiệm duy nhất) và xét x=x₀ tăng hay x=x₀ giảm thì không thỏa mãn.

4/ Đặt $\sqrt{x^{2}+1}=t$  (t>0) ta có pt mới: $t^{2}+3x=(x+3)t\Rightarrow (t-3)(t-x)=0$ .......

Ai giải gấp giúp em:

Với mọi số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

$\frac{8(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{3(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\geq 48$

Để ý rằng: $\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{24abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ Thay vào Cô si.

 

Bài 2:

Với a,b,c >0; n ∈ N*.CMR:

$\frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{a+c}+\frac{c^{n}}{a+b}\geq \frac{3}{2}\left ( \frac{a^{n}+b^{n}+c^{n}}{a+b+c} \right )$

Lời giải:

$\sum \frac{a^{n}}{b+c}\geq \frac{1}{3}(\sum a^{n})(\sum \frac{1}{a+b})\geq \frac{1}{3}(\sum a^{n})(\frac{9}{2(a+b+c)})=\frac{3}{2}(\frac{\sum a^{n}}{\sum a})$

Ai giai thich dc khong

 

Tham khảo bất đẳng thức Chebyshev, bài trên áp dụng thẳng bđt này.

 

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.Tìm minP biết  $P=\frac{1}{a^{3}+2}+\frac{1}{b^{3}+2}+\frac{1}{c^{3}+2}$

Dùng phương pháp Cô si ngược:

Ta có:

$\frac{1}{2}-\frac{1}{a^{3}+2}\doteq \frac{a^{3}}{2(a^{3}+1+1)}\leq \frac{a^{3}}{2.3\sqrt[3]{a^{3}.1.1}}\doteq \frac{a^{2}}{6}$

Tương tự...

$\Rightarrow \frac{3}{2} -\sum \frac{1}{a^{3}+2}\leq \frac{\sum a^{2}}{6}\doteq \frac{1}{2}\Rightarrow \sum \frac{1}{a^{3}+2}\geq 1$

$\Rightarrow Min\doteq 1$

Cho mình hỏi ở cách 2 làm sao bạn có thể nghĩ đến tổng 3 bình phương như thế này

Còn đề gốc của nó làm thế nào bạn?

@ đề gốc là hệ quả yếu hơn của đề trên, nghĩ thành tổng các bình phương cho $\geq 0$ và cả cách đạo hàm là tham khảo thôi, bài này khó lắm.

 

Cho $abc=1$ và a,b,c dương. Chứng minh:

$\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}\geq \frac{1}{a+b+c}$

Schwarz thẳng 1 bước là ra:

$(\sum a)(\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}})\geq (\sum \frac{1}{ab+a+1})\doteq 1$ (do abc=1 nên chú ý rằng $\sum \frac{1}{ab+a+1}\doteq 1$)

suy ra đpcm.

 

Cho a>8.Tìm min$\sqrt{a^{2}+(\frac{a}{a-8})^{2}}$

Đặt a-8=x và đk: x>0.

Thay vào được:

$\sqrt{a^{2}+(\frac{a}{a-8})^{2}}\doteq \sqrt{x^{2}+\frac{64}{x^{2}}+16x+\frac{16}{x}+65}$

Có thể tách Cô si vì có x>0 và bình phương dựa vào dấu = nhường cho bạn

 

giải hộ em với

cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+xyz=z

tìm max của P=$\frac{2x}{\sqrt{(x^2+1)^3}}+\frac{x^2(1+\sqrt{yz})^2}{(y+z)(x^2+1)}$

Vế đầu:

$\frac{2x}{\sqrt{(x^{2}+1)^{3}}}\doteq \frac{2}{\sqrt{\frac{(x^{2}+1)^{3}}{x^{3}}}}\doteq \frac{2}{\sqrt{x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3x+\frac{3}{x}}}\leq \frac{\sqrt{2}}{2}$   (Cô si dưới mẫu)

Vế sau:

$\frac{x^{2}(1+\sqrt{yz})^{2}}{(y+z)(x^{2}+1)}\doteq \frac{x^{2}+x^{2}yz+2x^{2}\sqrt{yz}}{(y+z)x^{2}+y+z}$

Đến đây có thể thay $x=\frac{z-y}{yz+1}$ để tính hoặc bạn đánh giá $y+z\geq 2\sqrt{yz}$ thay vô.....

p/s: kiếm đâu ra bài rườm rà zzz

 

b) *Câu này hướng 2 nghĩ tới dùng bổ đề: $2\sum \frac{a}{b}\geq \sum \frac{b}{a}+3$ rồi áp dụng vào bài. (Tự thử xem được không nhá, mình nghĩ có thể)

Thử c/m cái này xem nào Tran Thanh Truong

Cho x+y=15. Tìm Min, Max của B=$\sqrt{x-4}+\sqrt{y-3}$

Cách 1:

Max: $\left ( \sqrt{x-4}+\sqrt{y-3} \right )^{2}\leq (x-4+y-3)(1+1)\doteq 16\Rightarrow B\leq 4$ 

Dấu = là x=8, y=7

Min: $B^{2}\doteq x+y-7+2\sqrt{(x-4)(y-3)}\geq 8\Rightarrow B\geq 2\sqrt{2}$

Dấu = là $\begin{bmatrix} x=4;y=11 & \\ x=12;y=3 & \end{bmatrix}$

Cách 2: Vẽ đồ thị ra rồi suy ra max min

Cho các số thực dương a,b,c. CMR:

a)  $(ab+c^{2})(bc+a^{2})(ca+b^{2})\geq abc(a+b)(b+c)(c+a)$

Cách dễ nhất có thể nghĩ khi nhìn đề:

$(ab+c^{2})(bc+a^{2})(ca+b^{2})\geq abc(a+b)(b+c)(c+a)\Leftrightarrow abc(\sum a^{3})+\sum a^{3}b^{3}\geq abc\left ( \sum ab(a+b) \right )$

Chia 2 vế cho abc >0 ta có:

BĐT$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+\sum \frac{a^{2}b^{2}}{c}\geq \sum ab(a+b)$

Ta có: Áp dụng bđt Cô si: $\sum \frac{a^{2}b^{2}}{c}\geq 3\sqrt[3]{a^{3}b^{3}c^{3}}=3abc$ nên

BĐT trở thành: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

Schur bậc 3 nên hiển nhiên đúng $\Rightarrow$ ĐPCM

Bài toán cm xong.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$ 

Cho các số thực dương a,b,c. CMR:

b)  $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$

 

Hình như đề câu b phải là $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}$ chứ bạn

 

Đề này mình lấy trên Toán học tuổi trẻ đó bạn. Làm sao nhầm được. Đề này là bài tập tự luyện không có đáp án

b) Hướng 1 :

Giải: 

Ta có:

$\sum \frac{a}{b}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1\Leftrightarrow \frac{\sum ab^{2}}{abc}\geq \frac{a^{2}+3ab+3b^{2}+3bc+c^{2}+ac}{\sum ab+b^{2}}$

Nhân lên với nhau rồi rút gọn ta đưa về dạng đơn giản:

$a^{3}c^{2}+a^{2}b^{3}+ab^{4}+c^{2}b^{3}+c^{3}b^{2}\geq 2ab^{3}c+2ab^{2}c^{2}+a^{2}b^{2}c$

Chia 2 vế cho abc>0 cho dễ nhìn:

$\Leftrightarrow (\frac{a^{2}c}{b}+\frac{b^{3}}{c})+(\frac{ab^{2}}{c}+\frac{cb^{2}}{a})+\frac{c^{2}b}{a}\geq 2b^{2}+2bc+ab$

Cô si các vế trong ngoặc ta đưa bđt về c/m:

$2b^{2}+2ab+\frac{c^{2}b}{a}\geq 2b^{2}+2bc+ab\Leftrightarrow ab+\frac{c^{2}b}{a}\geq 2bc$

Điều này hiển nhiên đúng (cô si 2 số ) nên ta có ĐPCM. 

Bài toán chứng minh xong.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

*Câu này hướng 2 nghĩ tới dùng bổ đề: $2\sum \frac{a}{b}\geq \sum \frac{b}{a}+3$ rồi áp dụng vào bài. (Tự thử xem được không nhá, mình nghĩ có thể)