PlanBbyFESN

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

a)  $3(ab^{3}+bc^{3}+ca^{3})\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

b)  $3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$

b) $3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\leq (\sum a^{2})3(\sum a^{2}b^{2})\leq (\sum a^{2})(\sum a^{2})^{2}\doteq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$

Áp dụng C-S ở đầu và $3\sum ab\leq \left ( a+b+c \right )^{2}$ ở sau.

(đpcm)

a) Chặt hơn: C/m: $3\sum a^{3}b\leq (\sum a^{2})^{2}$

Bất đẳng thức này rất hay và khó:

Cách 1: Đặt b= a+x ; c=a+y rồi sử dụng đạo hàm ( cách này khó hiểu nên mình không nêu, mình cũng không hiểu  )

Cách 2: Phân tích:

Ta có: $(\sum a^{2})^{2}-3(\sum a^{3}b)= \frac{1}{2}\sum (a^{2}-b^{2}+2bc-ab-ca)^{2}\geq 0$

Suy ra đpcm~~

.Cho các số dương thỏa mãn đẳng thức :$2.\left ( a^{4} +b^{4}+c^{4}\right )< \left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )^{2}$

      Cm tồn tại $\Delta ABC$ nhận  a,b,c là độ dài 3 cạnh

Ta có: $2(a^4+b^4+c^4)<(a^2+b^2+c^2)^2$

$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2<0$

$\Leftrightarrow (a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2<0$

$\Leftrightarrow a^2-b^2-c^2<2bc \Leftrightarrow a^2<(b+c)^2$

$\Leftrightarrow$ $a< b+c$ (BĐT trong tam giác)

=> ĐPCM

Thiếu nha T:

$(\sum a^{2})^{2}-4b^{2}c^{2}\doteq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)> 0$

Xét trường hợp rồi mới suy ra được bất đẳng thức trong tam giác (đpcm)

P/S: Thực ra bài này rút ra từ:

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn điều kiện: $a^{4}+b^{4}+c^{4}\leq 2\left ( a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} \right )$.Chứng minh rằng:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2\left ( a+bc+ca \right )$

Đóng góp:

1) Cho x,y,z dương thỏa mãn: $\sum x^{2}\doteq xyz.$ Hãy chứng minh:

a) $xyz\geq 27$

b) $x+y+z\geq 9$

c) $\sum xy\geq 2(\sum x) + 9$

2)Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác thỏa mãn: $\sum a=1$. C/M rằng:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+4abc\leq \frac{1}{2}$

Bài 2: Tìm a, b để G(x)= x²⁰¹⁰  + x³ + ax²  + x + b chia hết cho đa thức H(x)= x²  + x + 1

Ta có: 

G(x)= (x^3.670-1) + (x³-1)+ ax²+ x + b-2

Vế trong ngoặc luôn $\vdots H(x)$ theo khai triển

$\Rightarrow G(x)\vdots H(x)\Leftrightarrow ax^{2}+x+b-2\vdots x^{2}+x+1$

Mà hai đa thức này đồng bậc nên đồng nhất hệ số ta được a=1 và b=3.

Vậy a=1 và b=3

Bài 1: Chứng minh số M= 5¹⁹⁸⁴ - 1 chia hết cho 256.

Ta có: 

M=$5^{1984}-1\doteq (5^{992}+1)(5^{496}+1)(5^{248}+1)(5^{124}+1)(5^{62}+1)(5^{31}+1)(5^{31}-1)$

mà 5^x+1 luôn chẵn nên chia hết cho 2 (x $\in N$) 

và $5^{31}\equiv 1(mod 4) \Rightarrow 5^{31}-1\vdots 4$

$\Rightarrow M\vdots 2^{6}.4\doteq 256$

(đpcm)

Cho $x,y,z>0$ ;$x+2y+3z\geq 20$. Tìm GTNN của:

      $P=x+y+z+{3\over x}+{9\over2y}+\frac4z.$

Từ giả thiết ta dự đoán dấu "=" là x=2; y=3; z=4. Dựa vào đây Cô Si tách:

P=$(\frac{3}{x}+\frac{3x}{4})+(\frac{y}{2}+\frac{9}{2y})+(\frac{4}{z}+ \frac{z}{4})+\frac{x}{4}+\frac{y}{2}+\frac{3z}{4}$

Cô si từng vế trong ngoặc và có $\frac{x}{4}+\frac{y}{2}+\frac{3z}{4}\doteq \frac{1}{4}(x+2y+3z)\geq \frac{1}{4}.20=5$

$\Rightarrow P\geq 3+3+2+5\doteq 13$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=2, y=3, z=4$

Vậy P_min=13.

Làm sao tìm được n=24 vậy anh?

Dự đoán sẽ có $\frac{n}{6};\frac{n+1}{6};\frac{2n+1}{6};\frac{n}{2};\frac{n}{3}....$là số chính phương và hai số còn lại cũng là số chính phương thì A mới là scp.

Tử đó rút hết các trường hợp thử tí là ra n=24 là min n để A là scp.

tìm min A = $\frac{3a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{5c}{a+b}$ biết a,b,c>0

$\frac{3a}{b+c}+3= (a+b+c)\left ( \frac{3}{b+c} \right )$ 

tt:...+4; ...+5

$\Rightarrow A= (a+b+c)(\frac{3}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{5}{a+b})-12\geq \frac{1}{2}(\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5})^{2}-12$  (C-S)

Dấu '=' dựa vào dấu '=' của C-S mà tìm nhé

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n>1 sao cho: $A=1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2$ là số chính phương.

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}\doteq \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$  >>> c/m theo quy nạp (hoặc theo cách lớp 6)

Dựa vào công thức trên ta được n nhỏ nhất để A là scp là n=24.

thế nếu 2 số trong 3 số >1, số còn lại <1 thì sao chẳng hạn a=b=$\frac{4}{3}$, c=$\frac{12}{25}$. Tích trên sẽ <0

Bổ sung: Giả sử a,b> và c>1

$\Rightarrow (a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow a+b\geq ab+1$

và $\Rightarrow c(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow abc+c\geq ac+bc$

$\Rightarrow a+b+c+abc\geq ab+bc+ca+1$

$abc\leq 1$ thì có đpcm còn $abc\geq 1$ thì dùng Cauchy như trên.

Bài toán chứng minh xong.

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Tìm max $P=a^{4}+b^{4}+c^{4}+3(ab+bc+ca)$

$P=(\sum a^{2})^{2}-2\sum a^{2}b^{2}+3\sum ab= 9+\frac{27}{8}-\frac{1}{2}\sum\left ( ab-\frac{3}{4} \right ) ^{2}$$\Rightarrow P\leq \frac{99}{8}$

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c+abc=4. Chứng minh rằng: a+b+c$\geq$ab+bc+ca.

a+b+c+abc=4 $\Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\geq 0$           

                      $\Rightarrow a+b+c\geq ab+bc+ca+1-abc$

Nếu: 1-abc$\geq 0$ $\Rightarrow$ đpcm

Nếu: 1-abc$\leq 0$ $\Rightarrow abc\geq 1\Rightarrow a+b+c\leq 3$

mà ab+bc+ca$\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}$ $\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c).3}{3}= a+b+c$   (đpcm)

Baaif toán c/m xong. Dấu bằng xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Đề không sai, bài này mình đọc cho dấu = là x=$\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{5+4\sqrt{2}}}$ và y = $\frac{1}{\sqrt{5+4\sqrt{2}}}$

và không cho cách giải nên mình ms hỏi

Bài này có nhầm chút,không làm trội như me làm lúc đầu, để vậy qui đồng sẽ ra nghiệm trên 

Hướng vậy: đưa về $y.[ \left ( 1+2\sqrt{2} \right )y-x ]^{2}$ luôn đúng thay vào ra nghiệm.

p/s: học cách like khi ng` khác giải giúp (đúng)

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện:

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 2$

Chứng minh $abc \leq \frac{1}{8}$

$\sum \frac{1}{1+a}\geq 2\Rightarrow \frac{1}{1+a}\geq \frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\geq 2\sqrt{\frac{bc}{(1+b)(1+c)}}$

tt: $\frac{1}{1+b}\geq 2\sqrt{\frac{ca}{(1+a)(1+c)}}$

    $\frac{1}{1+c}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{(1+a)(1+b)}}$

Nhân các vế lại ta có $abc\leq \frac{1}{8}$ (đpcm)

Cho 0$\leq a,b,c,d\leq 1$

Tìm max: A=$\frac{a}{bcd+1}+\frac{b}{cda+1}+\frac{c}{dab+1}+\frac{d}{abc+1}$

(Bài dành cho mem lớp 8 trở xuống)

ta thấy a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) và điều cần cm là 1$\geq$a²-ab+b² và giả thiết thì giúp ta gơi đến bunhia