Minhnguyenthe333

Cho $\alpha,\beta \in \left ( \frac{\pi}{2};\pi \right )$ và $sin \alpha=\frac{2}{3}$ ; $\cos \beta=\frac{-3}{4}$
Tính $sin(\alpha+\beta)$ , $cos(\alpha+\beta)$ , $\sin(\alpha-\beta)$ , $ cos(\alpha-\beta)$

Ta có:
$cos\alpha=\sqrt{1-sin^2\alpha}=\frac{\sqrt{5}}{3}$
$sin\beta=\sqrt{1-cos^2\beta}=\frac{\sqrt{7}}{4}$
Từ đó tính được còn lại

Chứng minh bất đẳng thức:
$$A=\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{2015!}<1,72$$

Áp dụng dãy Taylor, ta có:
$S=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+...=e^x$
Thay $x=1$, ta có: $S=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...=e$
$\Rightarrow A<S-1=e-1<1,72$

Bạn mới chỉ ra có 1 trường hợp sai sao có thể kết luận không tồn tại được

Cho n là số nguyên lớn hơn 1
CMR: Không có n số nguyên dương $x_{1};x_{2};...x_{n}$ phân biệt mà $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(x_{i})^{2}}=1$

Mình bổ sung thêm phần bài làm:
Xét trường hợp $x_{1}>x_{2}>...>x_{n}>1$ , ta cần chứng minh $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(x_{i})^{2}}<1$
Ta có:$\frac{1}{k^2}<\frac{1}{(k-1)k}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$
$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(x_{i})^{2}}<1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}<1$
Vậy ta có đpcm

$Tim Min:E=\frac{x+8}{\sqrt{x}+1}$

Ta có:$E-4=\frac{x-4\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+1}\geq 0$
$\Rightarrow E\geq 4$. Dấu "=" xảy ra khi $x=4$

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $BC=a$ ,$AB=3a$. Lấy $M$ đối xứng với $B$ qua $C$. Từ $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $DM$ tại $N$ cắt $CD$ tại $I$
a,Chứng minh tam giác $ANC$ vuông tại $N$
b,Tính $BN$ theo $a$ và tính tỉ số diện tích tam giác $MCN$ với tam giác $MDB$

a)Ta có:$\Delta DCM$~$\Delta BNM\Rightarrow \frac{BN}{NM}=\frac{DC}{CM}=\frac{AB}{CM}=3$
Lại có:$\widehat M+ \widehat {NBM}=90^0, \widehat {ABN}+\widehat {NBM}=90^0$
$\Rightarrow \Delta ABN$~$\Delta CMN\Leftrightarrow \widehat {NAB}=\widehat {NCM}$
$\Rightarrow ABCN$ nội tiếp$\Rightarrow \widehat {ANC}=90^0$
b)Có:$\Delta BCI$~$\Delta DCM\Rightarrow CI=\frac{a}{3}\Leftrightarrow BI=\frac{\sqrt{10}a}{3}$
$\Delta BCI$~$\Delta DCM\Rightarrow BN=BM.\frac{BC}{BI}=...$
Ta có:$S_{MDB}=3a^2$.Tính được $BN$ suy ra được $S_{MCN}$

tìm điều kiện xác định của $y=\sqrt{2-3x}-\frac{1}{\sqrt{1-2x}}$
mình giải ra là $x\leq \frac{2}{3}$ và $x<\frac{1}{2}$
Vậy chọn cái nào? tại sao?

$x<\frac{1}{2}$ vì thoả cả điều kiện $x\leq\frac{2}{3}$

Cho $x> y> 0$ và $x^{5}+y^{5}=x-y$
c/m :  $x^{4}-y^{4}< 1$

Giả sử:$x^{4}-y^{4}< 1$
$\Leftrightarrow (x-y)(x^4-y^4)<x^5+y^5\Leftrightarrow -(xy^4+yx^4)<0$
Vì $x>y>0$ nên ta có đpcm

cho a,b,c>0 và a+b+c=1
tìm min M=$\sqrt{a^2-ab+b^2} +\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ac+a^2}$

Ta có: $-ab\geq -\frac{a^2+b^2}{2}$.Cm tương tự cho $bc,ca$
$\Rightarrow M=\sum \sqrt{a^2-ab+b^2} \geq \frac{2(a+b+c)}{2}=1$
Dấu "="xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc=1$. Chứng minh $\sqrt{\frac{a^4+b^4}{1+ab}}+\sqrt{\frac{b^4+c^4
{1+bc}}+\sqrt{\frac{c^4+a^4}{1+ac}}\geq 3$

Đặt $k=\sum \sqrt{\frac{a^4+b^4}{1+ab}}$,ta có:
$k \geq \frac{2(a+b+c)^2}{\sum \sqrt{2(1+ab)}}$ (bđt Cauchy-Schwarz)
Đặt $i^2=\frac{2(a+b+c)^2}{(\sum \sqrt{2(1+ab)})^2}$
Lại có $(\sum \sqrt{2(1+ab)})^2\leq 18+2(a+b+c)^2\Rightarrow i^2\geq \frac{2(a+b+c)^2}{18+2(a+b+c)^2}$
Ta có:
$\frac{1}{i^2}\leq \frac{9}{(a+b+c)^2}+1\leq \frac{9}{9}+1=2$
$\Rightarrow i\geq \frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow k=i.\sqrt{2}(a+b+c)\geq 3$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Tính tích phân của  $$\int_{1}^{e}\frac{ln^3 x}{x^3}dx$$

 

2)Phân tích đa thức thành nhân tử (bằng phương pháp thêm bớt cùng một số hạng)

a)$4x^4 +81$

b)$x^4+1$

c)$64x^4+y^4$

d)$x^5+x^4+1$ 

3)Phân tích đa thức thành nhân tử (bằng phương pháp đổi biến)

a)$(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12$

b)$x(x+4)(x+6)(x+10)+128$

4)Tìm tất cả các giá trị của $x,y,z$ sao cho:

a)$xy+1=x+y$

b)$(x-y+z)^2=x^2-y^2+z^2$

 

Thêm bài nè:

Bài 6: Cho a+b+c=1. CMR: $\sum a^{2}\geq \frac{1}{3}$

Bài 8: Cho x,y,z>0 thỏa mãn xy+yz+xz=4

CMR $x^{4}+y^{4}+z^{4}\geq \frac{16}{3}$

Bài 11: Cho a,b là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}$=1

CMR $a\sqrt{b+1}+b\sqrt{a+1}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$

Bài 13: Cho a,b,c thuộc R thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}$=1

CMR $a+b+c+(ab+bc+ca)\leq 1+\sqrt{3}$

Bài 1:Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=1

CMR $t=\sum \frac{a(b+c)}{1-a^{2}}\geq 3$

Bài 2: Cho a,b,c >0 thỏa mã a+b+c=9

Tìm max  $p=\sum \sqrt{a+1}$

Bài 3: Cho a,b >0 thỏa mã $a+b\leq 2$. CMR

$\sum \sqrt[3]{a(b+7)}\leq 4$

Bài 4:Cho a,b,c >0 thỏa $\sum a^{2}\leq 3$

CMR: P= $\sum \sqrt{a(b+3c)}\leq 6$

Bài 5:

Cho $a^{2}+b^{2}$ =4(a>b>0). Tìm Max:

P=$\frac{ab}{a+b+2}$

Còn mấy bài khác cứ làm đi mình post thêm

2/$p^2\leq 3(a+b+c+3)=36\Rightarrow p\leq 6$

Cho tam giác ABC biết $BC=9cm ; \widehat{B}=60^{\circ} ; \widehat{C}=40^{\circ} ; AH\perp BC$ . Tính AH;AB;AC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất )

cúp C2 có 4 đội lọt vào vòng bán kết : Việt Nam, Singapor,Thái Lan và Inđônêxia. Trước khi vào đấu vòng bán kết ba bạn Dũng,Quang, Tuấn dự đoán như sau Dũng : Singapor nhì, còn Thái Lan ba.Quang : Việt Nam nhì, còn Thái Lan tư.Tuấn : Singapor nhất và Inđônêxia nhì.Kết quả mỗi bạm dự đoán đúng một đội và sai một đội. Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy ? 

Xét từng trường hợp của ba bạn Dũng, Quang, Tuấn, ta suy ra được :

Singapore đứng nhất

Việt Nam đứng thứ hai

Thái Lan thứ ba

Indonesia thứ tư