Minhnguyenthe333

Tìm ngiệm nguyên dương của phương trình sau $\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}$

$PT\Leftrightarrow x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}$.Vì $x,y,z \in N^*\Rightarrow 2\sqrt{3}=2\sqrt{yz}$
mà $3$ là số nguyên tố$\Rightarrow y=1,z=3$ và hoán vị$,x=4$

1. Cho phương trình $x^2-2mx + 10 = 0$. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm mà 1 nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia .
2. Cho phương trình $x^2-2x+m = 0$. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm $x_1,x_2$ : $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = 1 $

1.Xét 2 trường hợp $x_{1}=2x_{2}$ và $x_{2}=2x_{1}$ rồi thay công thức tính nghiệm ta suy ra được được $m=\pm \frac{3\sqrt{5}}{2}$
2.ĐKXĐ:$m<1$
$PT\Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}=(x_{1}x_{2})^2$
Áp dụng hệ thức Viet ta suy ra $m=-1-\sqrt{5}$

1.Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác
a. $P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< 2$
2. Cho a₁+a₂+...+a_n=K
CMR: a₁²+a₂²+...+a_n²$\geq \frac{K^{2}}{n}$

1/
a.Ta có:$\frac{a}{b+c}<\frac{2a}{a+b+c}.$CMTT ta được $P<\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$
2.Ta có:$\sum_{k=1}^{n} a_{k}^2\geq \frac{(\sum a_{1})^2}{n}=\frac{K^2}{n}$ (BĐT Cauchy-Schwarz)
Dấu "=" xảy ra khi $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$

Tìm Max, Min: $B=\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}$

Ta có:
$B-\frac{1}{3}=\frac{2(x^2-2x+1)}{x^2+x+1}\geq 0\Rightarrow B\geq \frac{1}{3}$
$3-B=\frac{2(x^2+2x+1)}{x^2+x+1}\geq 0\Rightarrow B\leq 3$

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực sao cho với mọi $a,b,c$ thỏa $a+b+c=0$
thì $P(a^{3})+P(b^{3})+P(c^{3})=3P(abc)$

Ta có:$(a+b+c)^3+3abc=\sum a^3+3(a+b+c)(ab+bc+ca)$
Lại có:
$a+b+c=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$$ (1)$
$P(x)+P(x)+P(x)=3P(x)$$ (2)$
Từ $(1),(2)$:
$\Rightarrow P(x)=x$ hoặc $P(x)=k$ $(k\in R)$

Cho $a,b,c > 0$ , $a+b+c=3$ . Tìm GTNN 
  $P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

$P\geq \frac{9}{a+b+c}=3$(BĐT Cauchy-Schwarz.Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

a) A = $2x^{2}$ + 16x - 17

b) B = 4x - $x^{2}$

c) C = $x^{2}$ + 4xy + $5y^{2}$ - 6y + 17

a)$A=2(x^2+2.x.4+16)-49\geq -49$.Dấu "=" xảy ra khi $x=-4$
b)$B-4=-(x^2-4x+4)\leq 0\Rightarrow B\leq 4$.Dấu "=" xảy ra khi $x=2$
c)$C=(x+2y)^2+(y-3)^2+8\geq 8$.Dấu "=" xảy ra khi $y=3,x=-2y=-6$

Chứng minh : 
$0 \leq \frac{\sqrt{x}}{x - \sqrt{x}+1} \leq 1$
Vế trái làm được rồi nhưng vế phải thì ..

Giả sử $VP$ đúng:$\Leftrightarrow x+1\geq 2\sqrt{x}\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^2\geq 0$ (đúng)
Vậy ta có đpcm

Anh ơi, anh có thể chứng minh hộ e cái bđt $\left | a \right | + \left | b \right | \geq \left | a+b \right |$ không?

Giả sử bđt đúng$\Leftrightarrow a^2+b^2+2|a|.|b|\geq a^2+b^2+2ab\Leftrightarrow |a|.|b|\geq ab$
Vì $|a|\geq a,|b|\geq b$ nên ta có đpcm

Bài 3: cho a,b,c >0 Cmr : $\frac{-a+b+c}{2a} + \frac{a-b+c}{2b} + \frac{a+b-c}{2c} \geq \frac{3}{2}$
GIÚP EM VỚI NHÉ !!

BĐT$\Leftrightarrow -\frac{3}{2}+\frac{a}{2b}+\frac{a}{2c}+\frac{b}{2a}+\frac{b}{2c}+\frac{c}{2a}+\frac{c}{2b}\geq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow( \frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geq 6$
Áp dụng bđt Cauchy, ta suy ra đpcm.Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

2. Cho x,y,z >0 và xyz=1. Tìm Min : $P=\frac{x}{1+\frac{2}{x}}+\frac{y}{1+\frac{2}{y}}+\frac{z}{1+\frac{2}{z}}$

Ta có:$P=\sum \frac{x^2}{2+x}\geq \frac{(x+y+z)^2}{6+x+y+z}$
Lại có:$\frac{1}{P}=\frac{6}{(x+y+z)^2}+\frac{1}{\sum x}\leq \frac{6}{9}+\frac{1}{3}=1$
$\Rightarrow P\geq 1$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

Cmr : $\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+.... + \frac{n-1}{n!} <1$

Ta có:$ \frac{n-1}{n!}=\frac{n}{n!}-\frac{1}{n!}=\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}$
$\Rightarrow \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+.... + \frac{n-1}{n!}=\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}=1-\frac{1}{n!}<1$
Vậy ta có đpcm

Cho mình hỏi $AB^2+CD^2$ có bằng $\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{CD}^2$

Mình nghĩ là bằng vì $\vec{AB}^2=AB^2,\vec{CD}^2=CD^2$ nên $AB^2+CD^2=\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{CD}^2$

cho A=3+$3^{2}$+$3^{3}$.....+$3^{100}$
tìm số tự nhiên n để 2A+3=$3^{n}$

Ta có:$3A=3^{2}+3^{3}+.....+3^{100}+3^{101}$
$\Rightarrow 2A=3A-A=3^{101}-3\Rightarrow n=101$

 cho ba số a, b, c dương sao cho a+b+c =3. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=\frac{a^2}{\sqrt{b(3c+a})}+\frac{b^2}{\sqrt{c(3a+b})}+\frac{c^2}{\sqrt{a(3b+c})}$ 

Ta có:$P\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum \sqrt{b(3c+a)}}$
Lại có:$(\sum \sqrt{b(3c+a)})^2\leq 12(ab+bc+ca)\leq 4(a+b+c)^2=36$
$\Rightarrow P\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$