Từ CT truy hồi ta có :
$$S_{n+1}=S_{n}+\frac{1}{S_{n}}-\sqrt{2}$$
$$S_{1}=1$$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có $S_{n+1}\geq 2-\sqrt{2}$
Ta có $S_{2}=2-\sqrt{2} <1$
Giả sử $S_{n} <1 \forall n \geq 2$
Xét $f(t)=t+\frac{1}{t} -\sqrt{2},2-\sqrt{2} \leq t < 1$
$$f'(t)=1-\frac{1}{t^2} <0 \rightarrow f(t)<f(2-\sqrt{2})<1$$
$$S_{n+1}=f(S_{n})<1$$
Vậy $S_{n}<1 \forall n\geq 2$
Ta có:
$$S_{n+1}-\frac{1}{\sqrt{2}}=(S_{n}-\sqrt{2})(1-\frac{1}{S_{n}\sqrt{2}})$$
$S_{n}-\sqrt{2}<0 \rightarrow S_{n}>\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì $S_{n+1}<\frac{1}{\sqrt{2}}$ và ngược lại.
Nên $S_{n}>\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì $S_{n+2}>\frac{1}{\sqrt{2}}$ và ngược lại.
$S_{1}>\frac{1}{\sqrt{2}},S_{2}<\frac{1}{\sqrt{2}} \rightarrow S_{2k+1}>\frac{1}{\sqrt{2}},S_{2k}<\frac{1}{\sqrt{2}} k \in\mathbb{N}$
Ta có $S_{n+1}-S_{n}=\frac{1}{S_{n}}-\sqrt{2}>0 \leftrightarrow S_{n}<\frac{1}{\sqrt{2}}$ và ngược lại.
Vậy dãy $(S_{2k})$ tăng bị chặn trên bởi $\frac{1}{\sqrt{2}}$ và dãy $(S_{2k+1})$ giảm bị chặn dưới bởi $\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên hai dãy hội tụ .
Tồn tại giới hạn hữu hạn L của hai dãy .L là nghiệm của phương trình:$x=x+\frac{1}{x}-\sqrt{2} \rightarrow L=\frac{1}{\sqrt{2}}$(đpcm).
- gianglqd và Yamigatoanh thích