supermember

Trong Topic này ; tổng hợp các bức ảnh có liên quan đến ngày 8/3 của bạn . Có thể là ảnh chụp lúc tặng hoa cô giáo; ảnh lúc hát tặng cô gíao ; ảnh tặng quà cho mẹ ; em gái ..........

Mọi người hưởng ứng cho vui

Chúc toàn thể anh em VMF một năm mới sức khoẻ và thật nhiều thành công

Người ta có câu hát :

" Rồi đây trong đám xuân xanh ấy - có kẻ theo chồng ; bỏ cuộc chơi "

Nhưng supermember tin rằng ; 1 khi đã mang trong mình dòng máu VMF cao quý thì tinh thần yêu Toán là bất diệt và trong trái tim mọi người : dù là già hay trẻ ; dù ốm đau hay khoẻ mạnh ; dù giàu có hay nghèo khó thì cũng đều 1 lòng hướng về tình yêu Toán.

Hảy nhớ là Supermember yêu mọi người và dù ở đâu thì supermember luôn là thành viên VMF và luôn nhìn theo mọi thăng trầm của VMF:)

Tặng mỗi người một cái ôm hun nào :*

cuộc thi hay quá

OK ; bài 34 nhé :

Phương trình đã cho tương đương với :

$x+\left ( y-2 \right )+\sqrt{2x\left ( y-2 \right )+2x+m}=0$

Nên đề toán thực chất là đi tìm tham số $m$ để phương trình :

$x+y+\sqrt{2xy+2x+m}=0 \ \ (*)$ có nghiệm

Mà dùng các biến đổi đại số cơ bản ; ta thấy $(*)$ tương đương hệ :

$\left\{\begin{matrix} x+y \le 0 & \\ & (x+y)^2 = 2xy+2x+m \end{matrix}\right.$

$\iff\left\{\begin{matrix}
\left ( x-1 \right )^2+y^2=m+1 & \\\left ( x-1 \right )+y\le -1
&
\end{matrix}\right..$

Tiếp tục sử dụng phép đặt ẩn ; ta thấy ; ta chỉ cần tìm tham số $m$ để hệ :
$\left\{\begin{matrix}
a^2+b^2=m+1 & \\a+b\le -1 (2)
&
\end{matrix}\right.. (1)$

có nghiệm

Đến đây thì mọi chuyện khá đơn giản ; ta linh cảm có gì đó " liên quan " đến phương trình đường tròn ; thực ra lý luận dựa vào phương trình đường tròn hay tiếp tục dùng đại số đều không quá khó để đi đến kết quả .

Thực ra ; ta có 1 để ý nho nhỏ là điểm $M\left ( a;b \right )$ nằm trên đường tròn $C\left ( 0;\sqrt{m+1} \right )$ có tổng $a+b$ đạt giá trị nhỏ nhất nếu nó nằm ở góc phần tư thứ 4 ; tương ứng góc $\frac{-3 \pi}{4}$
. Điều này định hướng cho ta trong phần còn lại....

Đi ăn đã ; đói quá ; tối tiếp

OK ; sắp tết đến nơi rồi ; tranh thủ làm nốt cho khỏi tồn đọng :

Dễ thấy là chỉ cần xét các giá trị : $m>-1$

Đặt : $ a = \sqrt{m+1} \sin \varphi ; b = \sqrt{m+1} \cos \varphi \ \ ( - \pi \le \varphi \le \pi)$
$(2) \iff \sin \varphi + \cos \varphi \le \frac{-1}{ \sqrt{m+1}}$

Nhận xét : Hệ $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi :

$ \min ( \sin \varphi + \cos \varphi ) \le \frac{-1}{ \sqrt{m+1}}$

Ta có : $ | \sin \varphi + \cos \varphi | \le \sqrt{ (1+1)( \sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi )}$

$ \implies | \sin \varphi + \cos \varphi | \le \sqrt{ 2}$

$ \implies -\sqrt{ 2} \le \sin \varphi + \cos \varphi $

Và có dấu đẳng thức xảy ra khi $ \varphi = \frac{-3 \pi}{4}$

$ \implies \min ( \sin \varphi + \cos \varphi )= -\sqrt{ 2}$

Vậy ; yêu cầu bài toán tương đương với : $ -\sqrt{ 2} \le \frac{-1}{ \sqrt{m+1}}$

$ \iff m \ge \frac{-1}{2}$

Anh rất cảm ơn Hoàng ; Việt và Lâm đã giúp anh tiếp tục chuyên đề này . Quả thật là nếu VMF chọn mục tiêu trước mắt là nơi đào tạo về thi ĐH thì điều ta cần làm là xây dựng những mô hình chuyên đề với sự tham gia của đông đảo mod như thế này . Tuy các bài Toán đưa ra trong chuyên đề này chưa có bài nào làm anh thật sự thích thú và nhiều khả năng được chọn thi ĐH nhưng nếu các mod đều nỗi lực thì chắc chắn sẽ thu hút đông đảo các thành viên khác và nên nhớ là diễn đàn xây dựng ra không phải là nơi học tập của riêng các mod. Mod đóng vai trò quan trọng ; nhưng chỉ nên là " chất xúc tác" thôi.

Chúc chuyên đề tiếp tục phát triển ; anh hứa ; tuy không lên VMF thường xuyên nhưng anh cũng ghóp thêm ít nhất 20 bài cho chuyên đề này

Em nghĩ thì đây là Topic hướng đến Olympiad nên em sẽ bổ sung 1 bài khó để tăng tính " thử thách " và khuyến khích các cao thủ :

Bài 7 :

Cho $ k_1 ; k_2 ; ... ; k_n $ là các số nguyên lớn hơn hoặc bằng 2

Chứng minh đẳng thức tổ hợp :

$\sum\limits_{1 \le i< j \le n} \binom{k_i}{2}\binom{k_j}{2} + 3\sum\limits_{i=1}^{n}\binom{k_i+1}{4} = \binom{\sum\limits_{i=1}^{n}\binom{k_i}{2}}{2}$

Tôi mới tìm được bài báo này nên post lên cho mọi người cùng xem để bình luận:
Năm 2012, nhiều trường đại học thi theo đề riêng


– Sẽ tiến tới bỏ thi ĐH 3 chung như hiện nay. Từ 2012 có thể sẽ có trường tốp trên thi theo đề riêng.
Năm 2012, nhiều trường đại học thi theo đề riêng

Thi 3 chung mới gây tốn kém

Kỹ sư Công nghệ thông tin Nguyễn Thắng đang làm cho công ty FPT, là người từng "cày" rất nhiều Toán, Lý, Hóa để thi đỗ ĐH. Nhưng khi học chuyên ngành và sau này đi làm, gần như anh không đụng gì đến kiến thức Hóa học. Anh cho rằng, nếu ngày xưa không thi Hóa thì anh đã có thể dành nhiều thời gian để học Ngoại ngữ, là công cụ dùng đến nhiều sau này.

Còn Nguyễn Nam, nhân viên Quảng cáo của một công ty truyền thông ở Hà Nội, tốt nghiệp ĐH Kinh tế Quốc dân, cho hay, anh và nhiều người bạn học cùng trường đều thi vào khối A nhưng sau này đi làm, họ chẳng bao giờ dùng đến Lý hay Hóa, mà cần nhiều kiến thức về ngoại ngữ và xã hội hơn.

Nhưng cái lãng phí nhất, khi thi chung đề, theo Phó Hiệu trưởng ĐH FPT, ông Nguyễn Xuân Phong, là chúng ta không chọn được người phù hợp nhất với nghề.

ìNếu lỡ theo ngành không hợp thì giá phải trả để đổi ngành quá lớn, vì đề thi hiện nay, phải ôn lại nhiều tháng, thậm chí cả năm mới đỗ. Nhưng nếu cứ nhắm mắt đi tiếp, rất dễ sau này phải làm trái ngành, gây lãng phí cho người học và cả xã hội. Nên nếu phải chi phí cho một vài kỳ thi, nhưng chọn được đúng ngành nghề mình yêu thích và phù hợp năng lực, vẫn là phương án tiết kiệm nhất cho xã hội, xét về lâu dài” – ông Phong phân tích.

Còn một vị đại diện ĐH Sư phạm Hà Nội cho rằng, việc thi như hiện nay khiến thí sinh không có nhiều lựa chọn. Vì công tác hướng nghiệp của chúng ta chưa tốt nên các em chưa xác định chính xác nghề phụ hợp với mình; mặt khác, nếu chỉ thiếu một vài điểm vào trường ìtốp trên” thì thí sinh sẽ không có cơ hội năm đó được học các trường nhóm này, vì các trường ìtốp trên” không lấy nguyện vọng 2.

ìKhông thể trách các em đó ìtrèo cao ngã đau” vì kỳ thi ĐH tiến bộ phải chọn được những người xứng đáng” – Đại diện ĐH Sư phạm phân tích.

Năm 2012, nhiều trường đại học thi theo đề riêng
Thi chung mới gây tốn kém. Ảnh: Hoàng Hà (Vnexpress).

Tuy nhiên, nhiều trường ĐH ìtốp giữa” và ìtốp dưới” vẫn muốn thi 3 chung như hiện nay, với nhiều lý do như, có chung mặt bằng đánh giá chất lượng giáo dục, các trường không phải lo việc ra đề, thi riêng sẽ gây tốn kém vì phải luyện thi như trước kia…

Nhưng Thứ trưởng Bộ GD&ĐT, GS.TSKH Bùi Văn Ga đã khẳng định, các trường ìtốp giữa” và ìtốp dưới” chưa được tự chủ tuyển sinh, nghĩa là trước mắt, các trường này vẫn thi theo đề chung.

Về việc thi riêng đề sẽ khiến thí sinh ìdồn” về các trường mà mình định thi để ôn thi như những kỳ thi ĐH trước 3 chung thì Phó Hiệu trưởng ĐH FPT, ông Nguyễn Xuân Phong và Trưởng ban Đào tạo ĐH Quốc gia Hà Nội, ông Nguyễn Văn Nhã đều khẳng định, việc thi theo hình thức mới sẽ nhẹ nhàng, tham khảo các chuẩn GMAT, GRE, SAT…của nước ngoài, nên thí sinh không phải ìnhồi nhét” nhiều.

Nhiều năm nay, ĐH FPT tổ chức kỳ thi riêng nhưng xung quanh trường không hề có lớp luyện thi nào, vì với kiểu đề thi này, thí sinh chỉ cần một thời gian ngắn để làm quen dạng đề; việc ôn thi nhiều cũng không tăng điểm là bao, vì kỳ thi sẽ đánh giá tố chất của thí sinh là chính - ông Nguyễn Xuân Phong cho biết.

Kỳ thi ĐH như hiện nay sẽ dần…biến mất

Trao đổi với VTC News chiều 4/8, Thứ trưởng Bộ GD&ĐT, GS.TSKH Bùi Văn Ga cho hay: ìKỳ thi ĐH như hiện nay sẽ dần…biến mất”.

Lý do là chúng ta sẽ học tập cách làm của nhiều nước có nền giáo dục phát triển. Khi đó, các trường tốp trên sẽ tổ chức thi tuyển với đề riêng của họ, còn các trường còn lại có thể không thi tuyển mà xét học bạ cấp THPT và thi tốt nghiệp. ìNăm 2012 sẽ là năm đầu tiên bắt đầu đổi mới thi cử” - Đại diện Vụ Giáo dục ĐH cho biết.

Lộ trình để tiến tới cách thức trên, theo Thứ trưởng Bùi Văn Ga, trước tiên, Bộ GD&ĐT sẽ tạo điều kiện cho các em có nhu cầu và trên điểm sàn đều được vào ĐH. Cùng với nó là việc giảm chênh lệch giữa đào tạo phổ thông để mặt bằng chung giữa các nơi được đồng đều. Tiếp đó là nâng cao chất lượng các trường nghề và công tác hướng nghiệp…

Khi đào tạo ĐH đã ìbão hòa”, xã hội cần nhiều những người thợ có tay nghề giỏi…thì việc phân luồng sẽ được điều chỉnh – Thứ trưởng Bùi Văn Ga cho biết.
Nguồn của bài viết
http://vtc.vn/538-29....o-de-rieng.htm

Lưu ý : Bài Viết này mình lấy từ Mathscope ( tránh để bị nói là sao chép )

Thời gian không có nhiều nên mỗi ngày post 1 ít vậy :

Đặt $ x = \dfrac{m+n}{2} ; y = \dfrac{m-n}{2} \ \ m;n \in \mathbb{N^{*}}$

Ta có :

$ \dfrac{ (x-y)^2 -1}{ 4xy +1}$ là số nguyên dương


Tới đây ta nghĩ ra huống để sử dụng Vietta Jumping Method

Cụ thể là viết lại đưới 1 dạng đơn giản hơn :

$ \dfrac{ (x+y)^2}{ 4xy +1}$ là số nguyên dương

Bài Toán :

Tồn tại hay không $2$ dãy số nguyên dương đơn điệu tăng $ \{ a_n \}_{n \ge 1} ; \{ b_n \}_{n\ge 1}$ thỏa mãn :

$ a_n ( a_n +1) | b^2_n +1 \ \ \forall n \in \mathbb{N^{*}}$

Bài 18: Tìm m để pt sau đây có nghiệm trong $ \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] $:

$\sin x + 2\cos \dfrac{x}{2} = m\left( {\cos x + 2\sin \dfrac{x}{2}} \right)$

Bài này kinh điển :

Viết phương trình đã cho dưới dạng :

$ f(x) = \dfrac { \sin x + 2\cos \dfrac{x}{2}}{\cos x + 2\sin \dfrac{x}{2}} = m$


Xét hàm số $f(x)$ trên $ \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]$

Ta có :

$ f^{'}(x) = \dfrac{ \left( \sin x + 2\cos \dfrac{x}{2} \right)^{'} \left( \cos x + 2\sin \dfrac{x}{2} \right) - \left( \sin x + 2\cos \dfrac{x}{2} \right) \left( \cos x + 2\sin \dfrac{x}{2} \right)^{'}}{ \left(\cos x + 2\sin \dfrac{x}{2} \right)^2}$

$ = \dfrac{ \left( \cos x - \sin \dfrac{x}{2} \right) \left( \cos x + 2\sin \dfrac{x}{2} \right) - \left( \sin x + 2\cos \dfrac{x}{2} \right) \left( - \sin x + \cos \dfrac{x}{2} \right)}{ \left(\cos x + 2\sin \dfrac{x}{2} \right)^2}$

$ = \dfrac{ \left( \cos x - \sin \dfrac{x}{2} \right) \left( \cos x + 2\sin \dfrac{x}{2} \right) + \left( \sin x + 2\cos \dfrac{x}{2} \right) \left( \sin x - \cos \dfrac{x}{2} \right)}{ \left(\cos x + 2\sin \dfrac{x}{2} \right)^2}$

$ = \dfrac{ \cos^2 x - \sin^2 \dfrac{x}{2} + \cos x \sin \dfrac{x}{2} - \sin^2 \dfrac{x}{2} + \sin ^2 x - \cos^2 \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2} \sin x - \cos^2 \dfrac{x}{2} }{ \left(\cos x + 2\sin \dfrac{x}{2} \right)^2}$

$ = \dfrac{ \sin \dfrac{3x}{2} -1 }{ \left(\cos x + 2\sin \dfrac{x}{2} \right)^2} \le 0$

$ \implies f(x)$ là hàm đơn điệu giảm trên $ \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]$

Và $f$ liên tục trên $ \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]$

Nên suy ra $m$ thoả yêu cầu bài toán $ \iff f( 0) \ge m \ge f \left( \dfrac{ \pi}{2} \right)$

$ \iff \dfrac{1 + \sqrt{2}}{ \sqrt{2}} \le m \le 2$

Bài Toán :


Một hình tròn chia thành $10$ hình quạt. Mỗi hình quạt chứa một

con rệp. Một lần tất cả các con rệp đồng thời chuyển sang hình quạt bên cạnh

sao cho một con chuyển ngược chiều kim đồng hồ và cùng lúc đó những con

rệp còn lại chuyển theo chiều thuận kim đồng hồ. Cứ lặp lại quá trình chuyển

rệp như vậy. Có khả năng ở một bước nào đó tất cả các con rệp đều nằm trong

một hình quạt hay không?

Bài Toán :


Cho trước số nguyên $a ; 1 < a$ ; hàm số $f$ xác định như sau :

$ f : \{ 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; ........ \} \mapsto \mathbb{N} \ \ ; f(p) = \dfrac{p-1}{o_{p}(a)} $

Trong đó $ o_{p} (a) $ là cấp của số nguyên $a$ ; modulo $p$

( nếu $ p|a$ thì hiểu $ o_{p} (a) = 1 $ )

Chứng minh rằng hàm số $f$ không bị chặn .





(Bài này không dám thưởng $ vì có lời giải lâu rồi )

Bài Toán :

Tính tích phân :

$ \mathcal{I} = \int_{0}^{1} \dfrac{ dx}{ (1 + x^{2011} ) \sqrt[2011]{ 1 + x^{2011} }}$

Chào các bạn ; ai trong chúng ta cũng biết : Thi ĐH là ước mơ của rất nhiều người . Do đó ; nhằm giúp VMF trở nên gần gũi với nhiều người hơn ; đáp ứng được những tâm tư ; nguyên vọng của người học Toán . Supermember xin mở màn cho những chuyên đề ôn thi ĐH ; mục đích là để giúp các bạn có những cách nhìn bài bản ; quy củ khi tiếp xúc với 1 bài Toán . Tránh kiểu làm tràn lan ; đụng bài nào giải bài đó . "Thầy giải mẫu cho 10 bài thì làm lại được 9 bài" - trích lời thầy Nam Dũng . Sau đây ; xin giới thiệu về chuyên đề thứ nhất :


Trong kì thi ĐH các năm gần đây ; bài Toán đại số ; với sự tham gia của các tham số luôn là những bài Toán được xếp vào dạng " để phân loại " . Tuy nhiên ; do sự đa dạng của nó ; và cũng do không nhiều tài liệu đề cập đến nên cả giáo viên hướng dẫn và học sinh đều học 1 cách không mấy quy củ ; không mấy tập trung .

Tuy nhiên ; theo quan điểm của supermember ; nếu có được 1 chuyên đề ; với lượng bài tập và ví dụ chu đáo thì vấn đề này sẽ được giải quyết .

Không dài dòng ; chúng ta điểm ngay đến chuyện là các bài Toán này thường có chứa căn thức ;với cách giải chủ đạo là dùng Đạo Hàm ; cụ thể như ví dụ sau đấy ( đơn giản ) :

Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực : $ 3 \sqrt{x-1} + m \sqrt{x+1} = 2 \sqrt[4]{x^2 -1}$
( ĐH A - 2007 )

Hay khó hơn là bài Toán chốt điểm trong kì Đại Học năm 2008 :
Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm thực :

$ \sqrt[4]{2x} + 2 \sqrt[4]{6-x} + \sqrt{2x} + 2 \sqrt{6-x} = m$

Cách thức thực hiện chuyên đề như sau : các bạn sẽ lần lượt tuyển chọn gửi ra các bài Toán hay ; đánh số thứ tự để dễ phân loại ; bài nào có đáp án thì các bạn có thể gửi đáp án ra luôn ở đây ; bài nào chưa có Đáp án thì các thành viên khác sẽ thảo luận . Khi nào đạt con số 100 bài thì supermember sẽ nhờ các super mod khác giúp đỡ để edit và tổng hợp lại thành 1 ebook - tài liệu quý giá cho luyện thi ĐH

Rất mong được sự hưởng ứng của các bạn cho topic này ; và cũng xin gửi lời đến các active mod như Lê Xuân Trường Giang ; E . Galois ; Dark Templar ; để tham gia giải bài ; ghóp đề ( trước tiên là vậy đã ha )


Lưu ý là phương trình lượng giác chứa tham số là dạng Toán mà Bộ GD đã bỏ khỏi chương trình thi từ lâu ; nên không nhận dạng Toán kiểu này

Một vài phương pháp cơ bản trong bài Toán tổ hợp ; kèm theo các ví dụ minh hoạ