trambau

 

Câu 2:

Một nhà máy chuyên sản xuất một loại sản phẩm. Năm 2015 nhà máy sản xuất được 5000 sản phẩm. Do ảnh hưởng của thị trường tiêu thụ nên sản lượng của nhà máy trong các năm 2016 và 2017 đều giảm. Cụ thể: số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2016 giảm x% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2015, số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 cũng giảm x% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2016. Biết rằng số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 giảm 51% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất trong năm 2015. Tìm x

 

 

 

 

 

Xin làm câu dài nhất cho bạn nào cần

ĐK: $0<x<100$

Năm 2016 nhà máy sản xuất được $5000-5000x$ % $=5000(1-\frac{x}{100})$ sản phẩm

Năm 2017 nhà máy sản xuất được $5000(1-\frac{x}{100})-5000(1-\frac{x}{100})x$ % $=5000(1-\frac{x}{100})^2$ sản phẩm

Năm 2017 giảm 51% so với năm 2015 nên số sản phẩm năm 2017 làm được bằng 49% số sản phẩm làm được năm 2015 

PT: $\frac{500(1-\frac{x}{100})^2}{5000}=\frac{49}{100}\Rightarrow x=30$

Đề thi vào 10 chuyên ĐHSP Hà Nội Năm học 2018 - 2019

Đề chung - vòng 1

Thời gian 120 phút

Ngày thi 30/5/2018

Câu 1: Cho biểu thức

$$P=\frac{2}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}.\frac{\frac{2x}{\sqrt{x-1}}-\sqrt{x+1}}{\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}}$$

Với $x>1$

1. Rút gọn biểu thức $P$

2. Tìm $x$ để $P=x-1$

 

Câu 2:

Một nhà máy chuyên sản xuất một loại sản phẩm. Năm 2015 nhà máy sản xuất được 5000 sản phẩm. Do ảnh hưởng của thị trường tiêu thụ nên sản lượng của nhà máy trong các năm 2016 và 2017 đều giảm. Cụ thể: số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2016 giảm x% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2015, số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 cũng giảm x% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2016. Biết rằng số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 giảm 51% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất trong năm 2015. Tìm x

 

Câu 3 cho phương trình $x^3-x-1=0$. giả sử $x_0$ là một nghiệm của phương trình đã cho

1. Chứng minh $x_0>0$

2. Tính giá trị của biểu thức 

$$M=\frac{x_0^2-1}{x_0^3}.\sqrt{2x_0^2+3x_0+2}$$

 

Câu 4: Cho hình chữ nhật $ABCD$ với $BC=a, AB=b$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,CD$. Qua điểm $M$ dựng đường thẳng cắt đường chéo $AC$ của hình chữ nhật $ABCD$ tại $P$ và cắt đường thẳng $BC$ tại $Q$ sao cho $B$ nằm giữa $C$ và $Q$.

1. Khi $MP\perp AC$ hãy

a) Tính $PQ$ theo $a$ và $b$

b) chứng minh $a.BP=b.PN$

2) chứng minh $\widehat{MNP}=\widehat{MNQ}$ ( Không nhất thiết $MP$ và $AC$ vuông góc với nhau)

 

Câu 5. Các số nguyên $x,x_1,x_2,...x_9$ thỏa mãn

$$(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_9)=(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_9)=x$$

Tính $P=x.x_1.x_2...x_9$

Ảnh cho bạn nào cần

Rút gọn $S=cosx.cos2x.cos4x.cos8x......cos1024x$

Nhân cả 2 vế cho $sinx$ được $S.sinx=sinx.cosx.cos2x.cos4x....cos1024x=\frac{1}{2}sin2x.cos2x.cos4x...1024=.....=\frac{1}{1024}sin1024x.cos1024x=\frac{sin2048x}{2048}$

Đề thi vào 10 chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định 2018 - 2019

Môn thi: Toán Chuyên

Ngày thi 26/5/2018

Thời gian 120 phút

 

Câu 1 (2 điểm) 

a) Rút gọn biểu thức $P=\frac{x^2}{(x+y)(1-y)}-\frac{y^2}{(x+y)(1+x)}-\frac{x^2y^2}{(1+x)(1-y)}$

b) Chứng minh rằng: $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2017^2}+\frac{1}{2018^2}}<2018$

 

Câu 2 (2 điểm)

a) giải PT: $2((1-x)\sqrt{x^2+2x-1}+x)=x^2-1$

b) giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x-3y-2+\sqrt{y(x-y-1)+x}=0 & & \\ 3\sqrt{8-x}-\frac{4y}{\sqrt{y+1}+1}=x^2-14y-8 & & \end{matrix}\right.$

 

Câu 3 (3 điểm)

Cho đoạn thẳng AB và C là điểm nằm giữa hai điểm $A,B$. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $AB$, vẽ nửa đường tròn đường kính $AB$ và nửa đường tròn đường kính $BC$. Lấy điểm $M$ thuộc nửa đường tròn đường kính $BC$ ( M khác B, C). Kẻ MH vuông góc với BC ( $H \in BC$), đường thẳng MH cắt nửa đường tròn đường kính AB tại K. Hai đường thẳng AK, CM giao nhau tại E

a) Chứng minh $BE^2=BC.AB$

b) Từ C kẻ CN vuông góc với AB ( N thuộc nửa đường tròn đường kính AB), Gọi P là giao điểm của NK và CE. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $BNE$ và $PNE$ cùng nằm trên đường $BP$

c) Cho $BC=2R$. Gọi $O_1;O_2$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $MCH$ và $MBH$. xác định vị trí điểm $M$ để chu vi tam giác $O_1HO_2$ lớn nhất

 

Câu 4 ( 1,5 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $2x^2+5y^2=41+2xy$

b) Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ không vượt quá $2019$ thỏa mãn $n^3+2019$ chia hết cho 6

 

Câu 5 (1.5 điểm)

a) Cho các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$

Chứng minh rằng $3(a+b)^2-(a+b)+4ab \geq \frac{1}{2}\sqrt{(a+3b)(b+3a)}$

b) Cho 100 điểm trên mặt phẳng sao trong trong bất kỳ 4 điểm nào cũng có ít nhất 3 điểm thẳng hàng. Chứng minh rằng ta có thể bỏ đi một điểm trong 100 điểm đó để 99 điểm còn lại cùng thuộc 1 đường thẳng

2.Cho $cosx+cosy+coz=0$ ;  $sinx+siny+sinz=0$.Chứng minh rằng :

a) $sin2x+sin2y+sin2z=cos2x+cos2y+cos2z=0$

b) $sin(x+y+z)=\frac{sin3x+sin3y+sin3z}{3}$ và $cos(x+y+z)=\frac{cos3x+cos3y+cos3z}{3}$ .

+) $\left\{\begin{matrix} cosx+cosy+coz=0\Leftrightarrow cosx=-(cosy+cosz) & & \\ sinx+siny+sinz=0\Leftrightarrow sinx=-(siny+sinz) & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow sinx.cosx=siny.cosy+sinzcosy+sinycosz+sinz.cosz\Leftrightarrow sin2x=sin2y+sin2z-2sinx$

Tương tự với $sin2y$ và $sin2z$ cộng lại tất cả được $sin2x+sin2y+sin2z=0$

+) $\left\{\begin{matrix} cosx+cosy+coz=0\Leftrightarrow cos^x=(cosy+cosz)^2 & & \\ sinx+siny+sinz=0\Leftrightarrow sin^2x=(siny+sinz^2 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow cos^2x-sin^2x=(siny+sinz)^2(cosy+cosz)^2$ đến đoạn này bạn chỉ việc làm như cái đầu kia là ổn

1.Cho $\left\{\begin{matrix} cosx+cosy+coz=0 & & \\ cos3x+cos3y+cos3z=0 & & \end{matrix}\right.$. Chứng minh rằng $cos2x.cos2y.cos2z \leq 0$.

2.Cho $cosx+cosy+coz=0$ ;  $sinx+siny+sinz=0$.Chứng minh rằng :

a) $sin2x+sin2y+sin2z=cos2x+cos2y+cos2z=0$

b) $sin(x+y+z)=\frac{sin3x+sin3y+sin3z}{3}$ và $cos(x+y+z)=\frac{cos3x+cos3y+cos3z}{3}$ .

Bài 1 có 2 cách giải quyết

Cách 1: Ta có công thức : $cos3x=4cos^3x-3cosx$

$\rightarrow cos3x+cos3y+cos3z=4(cos^3x+cos^3y+cos^3z)-3(cosx+cosy+cosz)=4(cos^3x+cos^3y+cos^3z)$

Do $cos3x+cos3y+cos3z=0 \Rightarrow cos^3x+cos^3y+cos^3z=0$ . Khi đó $cos^3x+cos^3y+cos^3z=3cosx.cosy.cosz=0$

$\begin{bmatrix} cosx=0 & & & \\ cosy=0 & & & \\ cosz=0 & & & \end{bmatrix}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $cosx=0$ khi đó $cosz=-cosz$ Từ đó 

$cos2x.cos2y.cos2z=(2cos^2x-1)(2cos^2y-1)(2cos^2z-1)=-(2cos^2z-1)^2\leq 0$

Cách 2 chứng minh tương tự c1 ta được $cos^3x+cos^3y+cos^3z=0$ (*) 

Theo đề ta suy ra $cosx=-(cosy+cosz)$ thay vào  (*) được $cos^2y.cosz+cosy.cos^2z=0\Leftrightarrow cosy.cosy(cosy+cosz)=0$

Nếu $cosy=0$ ta được $y=\frac{\pi}{2}+k\pi$ ( $k\in Z$) và $cosx=-cosz  \Rightarrow x=(2k+1)\pi-z (k\in Z)$ 

$\Rightarrow cos2x.cos2y.cos2z=-cos^22z\leq 0$ tương tự với  $cosz=0$

Nếu $cosy=-cosz$ làm tương tự cũng ra đpcm

Đề thi vào 10 chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định 2018 - 2019

Đề chung - dành cho chuyên tự nhiên

Thời gian 120 phút

 

Câu 1 ( 2 điểm): 

a) giải phương trình $\sqrt{2x+3}=x$

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 đường thẳng $y=-x-2$ $(d_1)$ và $y=\frac{3}{2}x+3$ $(d_2)$ . Gọi A, B lần lượt là giao điểm của $(d_1)$ và $(d_2)$ với trục Oy và C là giao điểm của $(d_1)$ với $(d_2)$ . Tính diện tích tam giác $ABC$

c) Cho tam giác $ABC$ có $AB=8cm, BC=17cm, CA=15cm$ . Tính chu vi đường tròn nội tiếp tam giác ABC

d) Một hình nón có chu vi đường tròn đáy là $6\pi cm$, độ dài đường sinh là 5cm. Tính thể tích hình nón đó

Câu 2 (1,5 điểm) Cho biểu thức $P=(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})$ : $( \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}})$

( Với $x>0;x\neq 1$)

1) Rút gọn biểu thức P

2) Chứng minh rằng với mọi $x>0;x\neq 1$ thì $P>4$

Câu 3 ( 2,5 điểm)

1) Cho phương trình $x^2-mx-m^2+m-4=0$ với $m$ là tham số

a) Chứng minh với mọi m, phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt

b) Gọi $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho ($x_1<x_2$). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $|x_2|-|x_1|=2$

2) Giải phương trình $6\sqrt{x+2}+3\sqrt{3-x}=3x+1+4\sqrt{-x^2+x+6}$

Câu 4 ( 3, 0 điểm) Cho tam giác $ABC$ với $AB<AC$ ngoại tiếp đường tròn $(O;R)$. Đường tròn $(O;R)$ tiếp xúc với các cạnh $BC;AB$ lần lượt tại $D,N$. Kẻ đường kính $DI$ của đường tròn $(O;R)$ . Tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$ tại I cắt các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $E;F$.

1) Chứng minh tam giác $BOE$ vuông và $EI.BD=FI.CD=R^2$

2) Gọi $P,K$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $BC,AD$.$Q$ là giao điểm của $BC$ và $AI$. Chứng minh $AQ=2KP$

3) Gọi $A_1$ là giao điểm $AO$ với cạnh $BC$, $B_1$ là giao điểm của $BO$ với cạnh $AC$ . $C_1$ là giao điểm của $CO$ với cạnh $AB$ và $(O_1;R_1)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh $\frac{1}{AA_1}+\frac{1}{BB_1}+\frac{1}{CC_1}<\frac{2}{R-OO_1}$

Câu 5 (1 điểm)

a) giải hệ PT: $\left\{\begin{matrix} (2x+4y-1)\sqrt{2x-y-1}=(4x-2y-3)\sqrt{x+2y} & & \\ x^2+8x+5-2(3y+2)\sqrt{4x-3y}=2\sqrt{2x^2+5x+2} & & \end{matrix}\right.$

b) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+2bc+2ca=7$. Tìm GTNN của

$$Q=\frac{11a+11b+12c}{\sqrt{8a^2+56}+\sqrt{8b^2+56}+\sqrt{4c^2+7}}$$

ĐỀ THI VÀO 10 THPT PTNK TPHCM 2018 - 2019 vòng 1

Thời gian 120 phút

Ngày thi 26/5/2018

 

Bài 1 ( 1,0 điểm) Biết $0<x \leq y$ và

$(\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2+(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})+2(x+2y)})+(\frac{y}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}+\frac{x}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})})=\frac{5}{3}$ . Tính $\frac{x}{y}$

 

Bài 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình$\frac{2x^2(7-x)}{\sqrt{3-x}}=x(x-7)$

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} (x+3)(x-1)=(y-2)(x+3) & & \\ (x-1)\sqrt{y^2-5y+8}=(y-2)^2 & & \end{matrix}\right.$

 

Bài 3 ( 2 điểm) Cho phương trình $x^2-x+3m-11=0$ (1)

a) Với giá trị nào của $m$ thì phương trình (1) có nghiệm kép? Tìm nghiệm đó

b) Tìm $m$ để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ sao cho $2017x_1+2018x_2=2019$

Bài 4 (2 điểm)

a) Đầu tháng $5$ năm $2018$, khi đang vào vụ thu hoạch giá dưa hấu bất ngờ giảm mạnh. Nông dân A cho biết vì sợ dưa hỏng nên phải bán 30%  số dưa hấu thu hoạch được với giá 1500 đồng mỗi kg, sau đó nhờ phong trào '' giải cứu dưa hấu'' nên đã may mắn bán hết số dưa còn lại với giá 3500đ/kg; nếu trừ tiền đầu tư thì lãi được 9 triệu đồng ( không kể công chăm sóc hơn 2 tháng của cả nhà). Cũng theo ông A, mỗi sào đầu tư ( hạt giống, phân bón...) hết 4 triệu đồng và thu hoạch được 2 tấn dưa hấu. Hỏi ông A đã trồng bao nhiêu sào dưa hấu

b) Một khu đất hình chữ nhật $ABCD$ ( $AB<AC$) có chu vi $240$ mét được chia thành 2 phần mỗi khu đất hình chữ nhật $ABMN$ làm chuồng trại và phần còn lại làm vườn thả để nuôi gà ($M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $AD,BC$) Theo quy hoạch trang trại nuôi được $2400$ con gà, bình quân mỗi con gà cần 1 mét vuông diện tích vườn thả và diện tích vườn thả gấp 3 lần diện tích chuồng trại. Tính chu vi khu đất làm vườn thả

 

Bài 5 ( 3 điểm)

Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(T)$ tâm $O$ bán kính $R$; $\widehat{CAD}=45^{\circ}$, $AC$ vuông góc với $BD$ và cắt $BD$ tại $I$, $AD>BC$. Dựng $CK$ vuông góc với $AD$ ( $K \in AD$), $CK$ cắt $BD$ tại H và cắt $(T)$ tại E ( E không trùng với C)

a) tính số đo góc $\widehat{COD}$. Chứng minh các điểm $C,I,K,D$ cùng thuộc 1 đường tròn và $AC=BD$

b) Chứng minh $A$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHE$. Tính $IK$ theo $R$

c) $IK$ cắt $AB$ tại F. Chứng minh $O$ là trực tâm tam giác $AIK$ và $CK.CB=CF.CD$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $(P)$ là mặt phẳng lần lượt cắt 4 cạnh $SA,SB,SC,SD$ tại các điểm $A',B',C',D'$.

 

Đặt $a=\frac{SA}{SA'},b=\frac{SB}{SB'},c=\frac{SC}{SC'},d=\frac{SD}{SD'}$. Chứng minh $a+c=b+d$.

 

 

Ta có $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}\Leftrightarrow a.\overrightarrow{SA'}+c\overrightarrow{SC'}=b\overrightarrow{SB'}+d\overrightarrow{SD'}$

Do  $A',B',C',D'$. đồng phẳng nên ta có đpcm

Rút gọn biểu thức $A=\frac{1}{sinx}+\frac{1}{sin2x}+\frac{1}{sin2^2x}+...+\frac{1}{sin2^nx}$

Viết lại thành $A=\frac{1}{sin2^0x}+\frac{1}{sin2^1x}+\frac{1}{sin2^2x}+...+\frac{1}{sin2^nx}$

Ta có : $\frac{1}{sin2^0x}=cot0x-cotx$

$\frac{1}{sin2^1x}=cotx-cot2x$

....

$\frac{1}{sin2^nx}=cot2^{n-1}x-cot2^nx$

Khi đó $A=cot0x-cot2^nx$

1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$sin^{4}a+cos^{7}a$

 

2.Nếu $5sina=3sin(a+2b)$ thì:

A. $tan (a+b)=2tanb$

B. $tan(a+b)=4tanb$

C. $tan(a+b)=3tanb$

D. $tan(a+b)=5tanb$

$\left\{\begin{matrix} sin(a+2b)=sin[(a+b)+b]=sin(a+b)cosb+cos(a+b)sinb & & \\ sina=sin[(a+b)-b]=sin(a+b)cosb-cos(a+b)sinb & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 5sina=3sin(a+2b)\Leftrightarrow 5sin(a+b)cosb-5cos(a+b)sinb=3sin(a+b)cosb+3cos(a+b)sinb$

$\Leftrightarrow sin(a+b)cosb=4cos(a+b)sinb$

$\Leftrightarrow tan(a+b)=4tanb$

Tổng quát bài toán: $msina=nsin(a+2b) \Leftrightarrow tan(a+b)=\frac{m+n}{m-n}tanb$ với $m\neq 0,n;|m|>|n|$

chị cho em hỏi đoạn biến đối cuối cùng ẩn $m$ sao k có thế ạ?

Ừ đúng rồi, chị xin lỗi quên mất đoạn đó

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=cosx+cosy-cos(x+y)$

$A= 2cos(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})-[2cos^{2}(\frac{x+y}{2})-1]$

Đặt $t=cos(\frac{x+y}{2}),m=cos(\frac{x-y}{2})$ A trở thành $-2t^2+2mt+1=-2(t-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{2}\leq \frac{3}{2}$

Cho parabol $y=x^2$ và hai điểm A, B thuộc (P) sao cho AB=2. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và AB.

giả sử $A(a,a^2),B(b,b^2)\in(P),(b>0): AB=2$

PT AB có dạng $y=\frac{b^2-a^2}{b-a}x+m<=>y=(a+b)x+m$ 

$\Rightarrow a^2=(a+b)a+m=>m=-ba=>(AB): y=(a+b)x-ab$

Gọi S là diện tích hình phẳng, ta có: $\int_{a}^{b}|(a+b)x-ab-x^2|dx=\int_{a}^{b}[(a+b)x-ab-x^2]dx=\frac{(b-a)^3}{6}$

$AB=2\Rightarrow (b-a)^2+(b^2-a^2)^2=4\Rightarrow (b-a)^2[1+(a+b)^2]=4\Rightarrow |b-a|=b-a\leq 2$

Vậy $S_{MAX}=\frac{4}{3}$

Cho tam giác ABC tính góc C thỏa mãn : $cos2C+2\sqrt{2}cosA+2\sqrt{2}cosB=3$ 

--------------------------------------------------Tada-------------------------------------------

$cos2C+2\sqrt{2}cosA+2\sqrt{2}cosB=3 \Leftrightarrow \cos2C+4\sqrt{2}\cos\frac{A+B}{2}.\cos\frac{A-B}{2}-4=0$

Ta có $\left\{\begin{matrix} \cos^2C\leq \cos C & & & \\ \sin\frac{C}{2}>0 & & & \\ \cos\frac{A-B}{2}\leq 1 & & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 0\geq 2cosC+4\sqrt{2}sin\frac{C}{2}-4\geq 2(1-2sin^2\frac{C}{2})+4\sqrt{2}sin \frac{C}{2}-4=-(2sin\frac{C}{2}-\sqrt{2})^2$

Dấu = xảy ra khi $\sin \frac{C}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$