Lemonjuice

Cho các số nguyên dương n, m, r. Rút gọn tổng sau: $\sum_{k=0}^{n}\binom{n-k}{r-k}\binom{m}{k}$

Trong số học có công thức $\frac{ab}{(a;b)}=[a;b]$ với a và b nguyên dương nên em thắc mắc liệu có thể chứng minh công thức tương tự cho trường hợp tổng quát là: $\frac{a_{1}a_{2}...a_{n}}{(a_{1};a_{2};...;a_{n})}=[a_{1};a_{2};...;a_{n}]$ với $a_{1};a_{2};...;a_{n}$ là n số nguyên dương bất kì $(n\geq 2)$ 

*Lưu ý cho các bạn chưa biết: ta ký hiệu $(a_{1};a_{2};...;a_{n})$ là ước số chung lớn nhất của n số nguyên dương $a_{1};a_{2};...;a_{n}$ và $[a_{1};a_{2};...;a_{n}]$ là ký hiệu cho bội chung nhỏ nhất của n số nguyên dương $a_{1};a_{2};...;a_{n}$

Bài 45: Cho $\varphi (n)$ là hàm phi Euler và k là một số nguyên dương không chia hết cho 3 ( k cho trước và cố định). Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương m bất kì luôn tồn tại vô hạn các số nguyên dương n sao cho $\varphi (n)-\varphi (n+k)>m$ .

*Gợi ý: Chứng minh có vô hạn các số nguyên tố có dạng $3k+1$ và $3k+2$

Cho a là một số nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương a cho trước thì luôn tồn tại vô hạn các hợp số b sao cho $b\mid a^{b}-a$

Không thấy Lemonjuice phản hồi nhỉ? Nếu đó là "một câu hỏi mà em tò mò bấy lâu nay" thì cần đi đến cùng để tìm lời giải đáp cho câu hỏi đó. Post ở trên của anh không phải là lời giải đáp (thế nên Lemonjuice lúc đọc xong hẳn sẽ có cảm giác "vẫn có gì đó sai sai thì phải"). Mục đích của nó chỉ là để em nhận ra trọng tâm của vấn đề và tự đặt lại câu hỏi, bởi vì thắc mắc ban đầu của em rất chính đáng.

Dạ vâng xin lỗi anh em cũng chưa đọc bài của anh giờ em mới biết là anh có phản hồi ạ, sau khi em thấy anh nói câu hỏi của em bị lệch trọng tâm em nghĩ mình nên dừng topic để tránh làm giảm chất lượng diễn đàn. Quay trở lại việc đặt câu hỏi, đúng như anh nói nếu thay bằng những mảng khác ta cũng sẽ gặp phải câu hỏi tương tự. Cái "câu hỏi mà em tò mò bấy lâu nay" là việc học hình học phẳng olympic ở cấp 3 có học có ích lợi gì?  Những bài toán trong hình học phẳng olympic thường quá dài dòng và phức tạp để tạo nên sự hấp dẫn đối với học sinh (ít nhất là bản thân em); và em cũng thấy tư duy hình học phẳng gần như không xài đến khi học lên đại học hoặc cao hơn dù cho theo ngành toán nên em chẳng thấy có một động lực nào để bản thân có thể học môn này ngoài việc để đi thi lấy điểm học sinh giỏi. Còn nếu nói để rèn khả năng tư duy chẳng phải số học hay tổ hợp cũng giúp học sinh có khả năng tư duy sao phải học hình học olympic làm gì ? Nếu nó vô ích vậy sao trong đề thi cứ xuất hiện những bài toán hình học như vậy? Tại sao chúng ta không đưa ra những bài hình học đơn giản ngắn gọn nhưng đẹp như bài toán tìm điểm fermat chẳng hạn? 

Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ. Gọi $S(p)$ là căn nguyên thủy nhỏ nhất của số nguyên tố $p$. Chứng minh rằng với một số nguyên dương $n$ bất kì luôn tồn tại số nguyên tố lẻ $p$ sao cho $S(p)>n$ .

Cho trước 3 điểm A,B,C không thẳng hàng và một số thực dương r. Tìm tập hợp tất cả các điểm M sao cho $MA+MB+MC=r$

P/S: Nếu trường hợp chỉ với A,B thôi thì là hình elip với tiêu điểm là A và B thì em thắc mắc nếu tăng số điểm cho trước lên có tìm được không ?

Cho m và n đều nguyên dương. Giả sử rằng phương trình $a_{1}x_{1}+...+a_{m}x_{m}=n$ với $a_{i}$ lớn hơn 0 và nguyên dương với mọi i chạy từ 1 đến m; có nghiệm không âm và đặt $A_{n}$ là số nguyên $(x_{1};...,x_{m})$ của phương trình. Chứng minh rằng hàm sinh của dãy $(A_{n})_{n\geq 1}$ là $f(x)=\frac{1}{\prod_{i=1}^{m}(1-x^{a_{i}})};\left | x \right |< 1$

Cho $p$ là số nguyên tố lẻ có dạng $3k+2$. Chứng minh rằng nếu $a^{2}+ab+b^{2}$ chia hết cho $p$ thì cả $a$ và $b$ đều cùng chia hết cho p biết rằng $a$ và $b$ đều nguyên dương

Lời giải cho bài 18 sau 2 ngày không ai giải: Giờ chỉ cần xét trường hợp khi x và y đều không chia hết cho p vì ngược lại nếu x và y đều chia hết cho p thì dễ thấy cặp nghiệm duy nhất là x=y=0

Để giải quyết bài toán Ta chỉ cần chứng minh bổ đề sau (*): nếu x chạy từ 1 cho đến p-1 thì dãy $1^{a};...;(p-1)^{a}$ lập thành một hệ thặng dư thu gọn mod p.

Dùng phản chứng giả sử tồn tại 2 số nguyên dương t và k đều nhỏ hơn p và đôi một khác nhau sao cho $t^{a}=k^{a}(modp)$ (1)

Ta dùng kết quả quen thuộc sau: với g là một căn nguyên thủy của p thì dãy $g;g^{2};...;g^{p-1}$ lập thành hệ thặng dư thu gọn mod p vậy sẽ tồn tại 2 số nguyên dương c và d đều nhỏ hơn p đồng thời khác nhau sao cho $g^{c}=t(modp)$ và $g^{d}=k(modp)$ kết hợp với (1) ta lại có $g^{ac}-g^{ad}=o(modp)$

Không mất tính tổng quát giả sử $ac\geq ad$ suy ra $p\mid g^{ad}(g^{ac-ad}-1)\Rightarrow p\mid g^{ac-ad}-1$ mà g là căn nguyên thủy bắt buộc ac-ad chỉ chia hết cho p-1 nhưng a không là ước của p-1 nên c-d chia hết cho p-1 mà c và d nhỏ hơn p nên c=d suy ra vô lí vậy bổ đề (*) được chứng minh. Tương tự ta chứng minh bổ đề: nếu y chạy từ 1 cho đến p-1 thì dãy $1^{b};...;(p-1)^{b}$ lập thành một hệ thặng dư thu gọn mod p bằng cách tương tự

Vậy với mỗi x nguyên dương nhỏ hơn p thì chỉ tồn tại duy nhất 1 số nguyên dương y (y<p) sao cho $x^{a}=y^{b} (modp)$ mà ta có p-1 số x nguyên dương như thế thì có được p-1 cặp nghiệm (x;y) thỏa $x^{a}=y^{b}(mod p)$  cộng thêm trường hợp cả x và y đều chia hết cho p vào ta được p cặp tự nhiên (x;y)

Dùng ý tưởng trong lời giải trên ta có thể giải quyết luôn bài toán tổng quát: Cho avà b và k đều nguyên dương $(a\geq b>1)$ và p là số nguyên tố lẻ. Tìm số cặp nghiệm tự nhiên (x;y) sao cho $x^{a}=y^{b}(modp^{k})$ biết rằng cả x và y đều nhỏ hơn $p^{k}$

*Gợi ý: có thể dùng bài toán sau như một bổ đề https://artofproblem...608238p22522707

Để ý kỹ nếu giải bài toán tổng quát trên xong kết hợp với định lý thặng dư trung hoa thì ta có thể tính luôn số nguyên nghiệm đồng dư của bài toán trên trong trường hợp thay $p^{k}$ bằng n lẻ nguyên dương bất kì

 

 

Bài 18. Cho $\displaystyle a,b,p$ là bộ ba số nguyên tố phân biệt và thỏa $\displaystyle ( a,p-1) =( b,p-1) =1$. Chứng minh rằng phương trình $\displaystyle x^{a} \equiv y^{b}(\bmod p)$ có đúng $\displaystyle p$ cặp $\displaystyle ( x,y)$ thỏa và $\displaystyle x,y< p$

 

Lời giải cho bài 18 sau 2 ngày không ai giải: Giờ chỉ cần xét trường hợp khi x và y đều không chia hết cho p vì ngược lại nếu x và y đều chia hết cho p thì dễ thấy cặp nghiệm duy nhất là x=y=0

Để giải quyết bài toán Ta chỉ cần chứng minh bổ đề sau (*): nếu x chạy từ 1 cho đến p-1 thì dãy $1^{a};...;(p-1)^{a}$ lập thành một hệ thặng dư thu gọn mod p.

Dùng phản chứng giả sử tồn tại 2 số nguyên dương t và k đều nhỏ hơn p và đôi một khác nhau sao cho $t^{a}=k^{a}(modp)$ (1)

Ta dùng kết quả quen thuộc sau: với g là một căn nguyên thủy của p thì dãy $g;g^{2};...;g^{p-1}$ lập thành hệ thặng dư thu gọn mod p vậy sẽ tồn tại 2 số nguyên dương c và d đều nhỏ hơn p đồng thời khác nhau sao cho $g^{c}=t(modp)$ và $g^{d}=k(modp)$ kết hợp với (1) ta lại có $g^{ac}-g^{ad}=o(modp)$

Không mất tính tổng quát giả sử $ac\geq ad$ suy ra $p\mid g^{ad}(g^{ac-ad}-1)\Rightarrow p\mid g^{ac-ad}-1$ mà g là căn nguyên thủy bắt buộc ac-ad chỉ chia hết cho p-1 nhưng a không là ước của p-1 nên c-d chia hết cho p-1 mà c và d nhỏ hơn p nên c=d suy ra vô lí vậy bổ đề (*) được chứng minh. Tương tự ta chứng minh bổ đề: nếu y chạy từ 1 cho đến p-1 thì dãy $1^{b};...;(p-1)^{b}$ lập thành một hệ thặng dư thu gọn mod p bằng cách tương tự

Vậy với mỗi x nguyên dương nhỏ hơn p thì chỉ tồn tại duy nhất 1 số nguyên dương y (y<p) sao cho $x^{a}=y^{b} (modp)$ mà ta có p-1 số x nguyên dương như thế thì có được p-1 cặp nghiệm (x;y) thỏa $x^{a}=y^{b}(mod p)$  cộng thêm trường hợp cả x và y đều chia hết cho p vào ta được p cặp tự nhiên (x;y)

Bài 18: Cho a và b và p  là 3 số nguyên tố lẻ đôi một khác nhau đồng thời a và b đều không là ước của p-1. Chứng minh: phương trình  $x^{a}-y^{b}\equiv 0 (mod p)$ có đúng p cặp nghiệm tự nhiên (x;y) và biết x và y đều nhỏ hơn p. (gợi ý: dùng căn nguyên thủy)

Gợi ý: tích các số nguyên dương hầu như luôn lớn hơn tổng của của các số đó

Cho e là một số thực dương biết 1>e>0. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các số nguyên n sao cho $cos(n)\geq 1-e$

Em xin đặt thêm vài câu hỏi phụ: Cho e là một số thực dương biết 1>e>0. Liệu có tồn tại một dãy vô hạn các số nguyên $x_{n}$ sao cho $\lim_{n\rightarrow \infty }cos(x_{n})=e$ (có thể hỏi tương tự với các hàm lượng giác khác)