Lemonjuice

Hai dòng này hoàn toàn không chặt chẽ, chỉ là dựa vào quan sát và cảm tính chứ không phải lập luận toán học.

Mấy bữa nay em cũng đang thắc mắc chỗ này; liệu anh có thể chứng minh là nếu n tăng thì cả chu vi lẫn diện tích đều tăng được không ạ.

Phép đồng dạng tỉ số $k$ sẽ biến đoạn thẳng có độ dài $x$ thành đoạn thẳng có độ dài $kx$. Lưu ý rằng "định nghĩa" chu vi (có vẻ chưa hẳn là định nghĩa đầy đủ nhưng thế này cho "sơ cấp") của một đường cong khép kín $C$: Ta lấy các điểm $A_1,A_2,...A_n$ theo chiều kim đồng hồ tùy ý trên đường cong, tính tổng độ dài các cạnh $A_kA_{k+1}$ (coi $n+1=1$), xét tập $S$ tất cả các tổng như vậy, khi đó chu vi đường cong $C$ là chặn trên của tập $S$: $P=sup(S)$. Xét đường cong mới $C'$ qua một phép đồng dạng tỉ số $k$. Theo tính chất của phép đồng dạng, ta có tập $S$ sẽ biến thành tập $kS=\left \{ ks|s\in S \right \}$, do đó chu vi mới sẽ là $P'=sup(kS)=ksup(S)=kP$.
Giả sử ta có hai đường tròn $(O_1,r_1);(O_2;r_2)$ có chu vi lần lượt là $P_1,P_2$, tồn tại phép đồng dạng tỉ số $\frac{r_2}{r_1}$ biến $(O_1)$ thành $(O_2)$ (tự tìm), từ trên ta có $P_2= \frac{r_2}{r_1}P_1\Rightarrow \frac{P_2}{r_2}= \frac{P_1}{r_1}$, vậy có thứ gọi là số pi.
(Có vẻ sự tồn tại của số pi là do sự tồn tại của phép đồng dạng trong không gian Euclide: biến mọi đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp $k$ lần, tức là các norm space sẽ có "số pi" riêng của nó còn mặt cầu,hyperbolic,... thì không).
 

Làm sao chứng minh tổng các đoạn thẳng có chặn trên hữu hạn vậy chị ?

Thiết nghĩ khi xưa làm sao archimedes nhận ra sự tồn tại của số pi mà không có giải tích nhỉ, thậm chí ông còn đưa ra được công thức tính chu vi và diện tích hay tất cả chỉ là suy đoán nhỉ?

Bấy lâu nay học toán nhưng em vẫn không biết cách chứng minh chặt chẽ câu hỏi: liệu số pi có tồn tại? Lỡ như trong 1 hình tròn này tỉ số giữa đường kính và chu vi là số pi nhưng trong một hình tròn khác tỉ số đó khác số pi thì sao? Em mong ai đó có thể chứng minh chặt chẽ giúp em bằng một cách sơ cấp để học sinh cấp 3 hiểu được và đồng thời ( nếu được) nói thêm một chút về phương pháp xấp xỉ số pi của Archimedes ( em xin cảm ơn).

 

Vì hàm $f(x)=\sqrt{x}$ là một hàm liên tục nên $\lim_{x\rightarrow \infty }\sqrt{a_{n}}=\sqrt{a}$ mà mỗi dãy số chỉ có duy nhất một giới hạn nên $a=b^{2}$

Post bài toán gốc lên đi em trai (đọc bài toán này cũng không hiểu em muốn hỏi cái gì)
 

Cho dãy số $a_{n}$ xác định như sau: $a_{0}=a;a_{1}=b$ và $a_{n+2}=5a_{n+1}-a_{n}$ biết a;b là các số nguyên dương và a>4b và 5b>a. Tìm tất cả các số nguyên dương a;b như thế để tồn tại một chỉ số k ( k nguyên dương) sao cho $a_{0}>a_{1}>a_{2}>...>a_{k-1}>a_{k}=1$

Đã có phương trình truy hồi thì có phương trình đặc trưng: $X^2=5X-1 \, (1)$. Giải ra công thức tổng quát $u_n=Ax_1^n + Bx_2^n$ với $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của (1). Từ $a,b$, tìm ra $A,B$.

Giờ giải phương trình $Ax_1^k + Bx_2^k=1$. Đáng tiếc là phương trình dạng này thì khó mà tìm closed form (nhất là khi $k \ge 5$).

=====

Giờ mới đọc được dòng nhắn bạn sửa sau. Có vẻ bạn muốn tìm một đơn biến? Nếu thế thì nên dùng các yếu tố tổ hợp để giải thì hay hơn.

Bài này trong đề gốc nó còn có thêm điều kiện là a>4b và 5b>a nhưng đăng lên đây em bỏ đi điều kiện này cho tổng quát hơn. Còn bài gốc thì em vẫn giải không được không được do em không có kiến thức về dãy số nhưng chắc với mọi người có lẽ là một bài dễ. Còn số A;B khi em tính ra số rất xấu ; có giải ra công thức tổng quát thì vẫn không biết là nó là dãy tăng hay giảm. 

Anh giải thích giúp em "closed form" ; " đơn biến" là gì được không ạ còn về yếu tố tổ hợp thì em không có kiến thức về tổ hợp nên thua đành nhờ mọi người giúp vậy!

$a=9$ ,  $b=2$  thì $k=2$

Tất cả điều kiện luôn anh.

Em lập ra topic này không phải để tranh luận gay gắt hay cãi nhau về tầm quan trọng của hình học phẳng mà để trả lời một câu hỏi mà em tò mò bấy lâu nay ( hãy xem topic như công cụ giải trí ): Hình học phẳng có rất nhiều ứng dụng trong đời sống ( không cần bàn cãi) nhưng ở cấp độ olympic nó trở nên "mạng nhện"; "hoa mắt chóng mặt" với rất nhiều hình vẽ đan xen vào nhau. Ai cũng biết chắc rằng hình học ở mức độ này không còn ứng dụng nào dù cho là các áp dụng vào phần khác của toán học .Vậy mà hằng năm trong các đề thi olympic hình học vẫn xuất hiện thường xuyên. "Không có lửa làm sao có khói"; rõ ràng là phải có một lý do nào đó mà những người làm giáo dục mới thường xuyên ra đề kiểu như vậy và lý đó cũng là câu hỏi mà em đặt ra: Vì sao bộ giáo dục cứ bắt học sinh mãi làm hình học phẳng olympic? 

Tìm một vài ( hoặc là tất cả cho trường hợp tổng quát) đa thức 2 ẩn P(x;y) $\in \mathbb{Z}[x]$ sao cho tồn tại 2 đa thức 4 ẩn G(x;y;a;b) và T(x;y;a;b) $\in \mathbb{Z}[x]$ sao cho $P(x;y).P(a;b)=P(G(x;y;a;b);T(x;y;a;b))$

 

P/S: Tìm trên diễn đàn thì em cũng thấy một vài như: $(x^{2}+y^{2})(a^{2}+b^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}$ và $(a^{2}+3b^{2})(c^{2}+3d^{2})=(ac-3bd)^{2}+3(ad+bc)^{2}=(ac+3bd)^{2}+3(ad-bc)^{2}$; không biết là có còn nhiều các đẳng thức như thế này không?

Cho p là một số nguyên tố có dạng 6k+1. Chứng minh rằng luôn tồn tại 2 số tự nhiên x;y sao cho $x\leq \sqrt{p}$ và $y\leq \sqrt{p}$ thỏa $3x^{2}+y^{2}$ chia hết cho p.

 

P/S: Em chỉ biết giải bài này có dùng đến định lý Thue nhưng em không biết dùng nó như thế nào (mọi người có thể xem đây như một gợi ý cũng được)

Mọi người cho em hỏi là có công thức nào tương tự nhị thức newton để triển khai $a^{n}-b^{n}$ với n là số hữu tỉ không ạ. 

Cho trước số thực a lớn hơn 2 biết a không phải số nguyên ( a cố định). Với mỗi số thực a cho trước như vậy hãy tìm một số nguyên tố p và một số tự nhiên x ( x nhỏ hơn p) sao cho không tồn tại số nguyên dương n để  $[a^{n}]$ chia cho p dư x biết [x] là kí hiệu phần nguyên.

Cho a và b là 2 số thực khác nhau (b>a; a và b cố định và cho trước). Cho x là một số hữu tỉ sao cho b>x>a (x cố định và cho trước). Chứng minh rằng luôn tồn tại hai dãy số hữu tỉ $u_{n}$ và $v_{n}$ sao cho $a<u_{n}<b$ và $a<v_{n}<b$ với mọi n; $u_{n}>v_{n}\forall n\in \mathbb{N}$ và $\lim_{n\rightarrow \infty }u_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }v_{n}=x$.

Cẩn thận với $k=0$. Nhưng tạm thời cứ bỏ qua trường hợp đó.

Từ giả thiết thì dễ dàng quy nạp được rằng $f(x+nk)-f(x)=na \,\forall n \in \mathbb{Z}$ (1) (quy nạp với $n > 0$ rồi áp dụng ngược với $n < 0$).

Bây giờ xét $k$ dương, còn $k$ âm xét tương tự. Ta đặt các giá trị khởi điểm $v_i = f(i)$ với $i \in \{ 0, 1, \ldots, k-1\}$.

Như vậy, với mọi $x$, ta viết $x$ thành dạng $pk + q$ với $p \in \mathbb{Z}, q \in \{ 0, 1, \ldots, k-1\}$. Khi đó sử dụng (1) ta có ngay $f(x)=pa + v_q$.

 

Trong trường hợp $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thì sẽ phức tạp hợp nhưng ý tưởng cũng tương tự và phải sử dụng một số kiến thức cao cấp về lý thuyết tập hợp.

Tuy nhiên, trường hợp $\mathbb{Q}$ thì có thể là làm được với kiến thức sơ cấp. Bạn thử xem sao

Dạ vâng cảm ơn anh ; về trường hợp  $\mathbb{Q}$ thì em làm y như trường hợp $\mathbb{Z}$ chỉ khác là em chọn n ( n là số nguyên) sao cho nk và na đều là số nguyên rồi áp dụng bài trên. 

Em có một số mở rộng cho bài này mong mọi người cùng thảo luận: Cho k và a là 3 số hữu tỉ cho trước cố định. Tìm tất cả các hàm $f(x):\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ sao cho $f(x+k)=f(x)a+1$. Bài này em làm được cho trường hợp  $\mathbb{Z}$ nhưng hữu tỉ thì không được nên không biết mọi người có hướng nào cho bài này không ạ.