Sangnguyen3

Bổ đề :  $a+b+c+abc=4$ thì $a+b+c\geq ab+bc+ca$

Chứng minh : https://diendantoanh...g-abcgeqabbcca/

$\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}}=\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{a}.\sqrt{ab+ac}}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{\sum \left (\sqrt{a}.\sqrt{ab+ac} \right ) }\geq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{\sqrt{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{\sqrt{2}(a+b+c)}=\frac{\sqrt{2}}{2}(a+b+c)$

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) với AB<AC. Một đường tròn tâm K đi qua B,C cắt AC,AB tại E,F. Gọi H là giao của BE và CF. S là giao điểm giữa EF và BC. Gọi G là hình chiếu của S lên OH. Đường thẳng AK cắt (O) tại D. CMR: A,G,D,S đồng viên

$2+x+yz=x+2+\frac{yz}{2}+\frac{yz}{2}\geq 4\sqrt[4]{xyz}.\sqrt[4]{yz}.\sqrt[4]{\frac{1}{2}}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{2+x+yz}\leq \frac{1}{4\sqrt[4]{\frac{xyz}{2}}}\left ( \sum \frac{1}{\sqrt[4]{yz}} \right ) \leq \frac{1}{4\sqrt{2}}\left ( \sqrt{3\left ( \sum \frac{1}{\sqrt{yz}} \right )} \right ) \leq \frac{1}{4\sqrt{2}}\left ( \sqrt{3\sqrt{3\left ( \sum \frac{1}{yz} \right )}} \right )=\frac{3}{8}$

Tìm tất cả số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại số nguyên dương $n\geq 2$ và các số nguyên dương phân biệt $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ thỏa mãn : 

$\begin{cases} max\left \{ a_{1},a_{2},...,a_{n} \right \}=2p \\ \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}=1 \end{cases}$

IMO 2007 problem 5

c/ Điều kiện : $x\geq -\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \left (2+4x+2\sqrt{(1+x)(1+3x)} \right )(1+2x)=4(1+4x)$

$\Leftrightarrow \left ( 1+2x+\sqrt{(1+x)(1+3x)} \right )(1+2x)=2(1+4x)$

$\Leftrightarrow 4x^{2}-4x-1 +\sqrt{3x^2+4x+1}.\sqrt{4x^{2}+4x+1}=0$

$VP\geq 4x^2-4x-1+\sqrt{3x^2+4x+1}.\sqrt{3x^2+4x+1}=7x^{2}\geq 0$

Dấu bằng xảy ra khi $x=0$ (thỏa)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$

a/

Điều kiện : $-1\leq x\leq 3$

$\Leftrightarrow 14-4x+2\sqrt{(4-x)(10-3x)}=\left ( 4+2\sqrt{(1+x)(3-x)} \right )(7-2x)$

$\Leftrightarrow 7-2x+\sqrt{(4-x)(10-3x)}=\left ( 2+\sqrt{(1+x)(3-x)} \right )(7-2x)$

$\Leftrightarrow (7-2x)- \sqrt{3x^{2}-22x+40}+(7-2x)\sqrt{(1+x)(3-x)}=0$

$\Leftrightarrow \frac{(x-3)^2}{7-2x+\sqrt{3x^2-22x+40}} +(7-2x)\sqrt{(1+x)(3-x)}=0$

$-1\leq x\leq 3 \Rightarrow VP\geq 0$

Dấu bẵng xảy ra khi $x=3$ (thỏa) 

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=3$

b/ Điều kiện : $x\geq \frac{-1}{2}$

$\Leftrightarrow (x+1)x^{2} +2(2x+1)\sqrt{2x+1} -2(2x+1)(x+1)=0$

$\Leftrightarrow (x+1)x^{2}+2(2x+1)\left ( \sqrt{2x+1}-(x+1) \right )=0$

$\Leftrightarrow (x+1)x^{2}-\frac{2(2x+1)x^{2}}{\sqrt{2x+1}+x+1}=0$

$\Leftrightarrow x^{2}\left [ \frac{x^{2}-2x-1+(x+1)\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+1}+x+1} \right ]=0$

$\Leftrightarrow x^{2}\left [ \frac{x^{2}+(x+1-\sqrt{2x+1})\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+1}+x+1} \right ]=0$

$\Leftrightarrow x^{4}\left [ \frac{1+\frac{\sqrt{2x+1}}{x+1+\sqrt{2x+1}}}{\sqrt{2x+1}+x+1} \right ]=0$

$\Leftrightarrow x=0$ (thỏa) 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$

ĐKXĐ : $x\geqslant 0$

Đặt : $\sqrt{x^3+3x}=t\geq 0$

Phương trình trở thành : 

$2t^2 -(3x+5)t +x^2+4x+3$

$\Delta =(3x+5)^2 -8(x^2+4x+3)=(x-1)^2$

$\Rightarrow t_{1}=\frac{x+3}{2} ; t_{2}=x+1$

Giải ra tìm được nghiệm duy nhất $x=1$

YI cắt AB,BC tại J,K , XI cắt AB,AC tại G,H , ZI cắt BA,AC tại L,M 

Dùng menelaus cho tg BAC, cát tuyến X,G,H có được $\frac{XC}{XB}=\frac{HC}{BG}$

Tương tự có được $\frac{YA}{YC}=\frac{AJ}{KC}; \frac{ZB}{ZA}=\frac{LB}{AM}$

$\frac{HC}{BG}=\frac{S_{IHC}}{S_{IHG}}=\frac{HI.IC.sin\angle HIC}{GI.IB.sin\angle GIB}=\frac{CI}{IB}.\frac{sin\angle HIC}{sin\angle GIB}$

Tương tự : $\frac{AJ}{KC}=\frac{AI}{CI}.\frac{sin\angle AIJ}{sin\angle CIK};\frac{LB}{AM}=\frac{BI}{IA}.\frac{sin\angle BIL}{sin\angle AIM}$

$\Rightarrow \frac{XC}{XB}.\frac{YA}{YC}.\frac{ZB}{ZA}=\frac{sin\angle HIC}{sin\angle GIB}.\frac{sin\angle AIJ}{sin\angle CIK}.\frac{sin\angle BIL}{sin\angle AIM}$

Ta có ; $\angle HIC=\angle AIM;\angle AIJ=\angle GIB; \angle BIL=\angle CIK$

$\Rightarrow \frac{XC}{XB}.\frac{YA}{YC}.\frac{ZB}{ZA}=1 \Rightarrow X,Y,Z$ thẳng hàng

$\Leftrightarrow 2x+3 + (x+1)\left ( \sqrt{x^2+6}-\sqrt{x^2+2x+9} \right )+(2x+3)\sqrt{x^2+2x+9}=0$

$\Leftrightarrow 2x+3 + (x+1)\left ( \frac{-2x-3}{\sqrt{x^2+6}+\sqrt{x^2+2x+9}} \right )+(2x+3)\sqrt{x^2+2x+9}=0$

$\Leftrightarrow (2x+3)\left ( 1-\frac{x+1}{\sqrt{x^2+6}+\sqrt{x^2+2x+9}}+\sqrt{x^2+2x+9} \right )=0$

$2x+3=0 \Rightarrow x=\frac{-3}{2} (TM)$

$1-\frac{x+1}{\sqrt{x^2+6}+\sqrt{x^2+2x+9}}+\sqrt{x^2+2x+9}> \frac{\sqrt{x^2+6}+\sqrt{(x+1)^2}-x-1}{\sqrt{x^2+6}+\sqrt{x^2+2x+9}} + \sqrt{x^2+2x+9}> 0$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{-3}{2}$

Một số nguyên dương n được gọi là số đẹp nếu ta có thể điền tất cả các ước nguyên dương của n vào một bảng ô vuông,mỗi ô 1 số,hai ô vuông phân biệt thì điền hai số phân biệt,sao cho tổng tất cả các số được điền ở mỗi hàng bằng nhau và tổng tất cả các só được điền ở mỗi cột bằng nhau.Hỏi có bao nhiêu số nguyên lớn hơn 1 là số đẹp.

1/Cho dãy số nguyên vô hạn $a_{1},a_{2},...$ thỏa mãn $a_{1}=1$ và $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} +...+a_{n}^{2}=\frac{2}{3}\left (\frac{2n+1}{n(n+1)} \right )\left ( a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n} \right )^{2}$ với mọi số nguyên $n>1$. Chứng minh rằng $a_{2022}-a_{653}$ là 1 số chính phương.

2/ Cho số nguyên $n\geq 2$. Gọi $d_{1} < d_{2} < d_{k}$ là tất cả các ước dương của $n$. Biết rằng $d_{1}.d_{2}+d_{2}.d_{3}+...+d_{k-1}.d_{k}$ là ước của $n^2$ và $16\left (d_{1}.d_{2}+d_{2}.d_{3}+...+d_{k-1}.d_{k} \right )+1$ là 1 số lập phương. Tìm n

$\Leftrightarrow (3x-y)^{2}=x^{3}+5x^{2}+4x-6=(x+3)(x^{2}+2x-2)$

$gcd(x+3;x^2+2x-2)=gcd(x^{2}+3x;x^{2}+2x-2)=gcd(x+3;x+2)=1$

$\Rightarrow x^{2}+2x-2$ la 1 so chinh phuong 
$x^{2}+2x-2=a^{2}  (a>0)$ 

$x^{2} \leq x^{2}+2x-2=a^{2} < (x+1)^{2}$

$\Rightarrow a^{2}=x^{2}+2x-2\Rightarrow x=1 \Rightarrow y=1$

1/ Cho 3 đa thức $P(x),Q(x),R(x)$ với hệ số thực có bậc tương ứng là 3,2,3 thỏa mãn $P^2(x)+Q^2(x)=R^2(x)$

Chứng minh rằng $L(x)=P(x).Q(x).R(x)$ có ít nhất 6 nghiệm.

2/ Cho đa thức $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ và $Q(x)=x^2+px+q$ hệ số hữu tỉ. Biết rằng hai đa thức cùng nhận giá trị âm trên khoảng có độ dài lớn hơn 2 ( hiệu của khoảng x đó lớn hơn 2), ngoài khoảng đó thì chúng đều nhận giá trị âm. Chứng minh rằng tồn tại số thực $m$ sao cho $P(m)< Q(m)$

$\Leftrightarrow (2x)^{3}+2x=\sqrt[3]{6x+1}+6x+1 \Leftrightarrow 8x^3=6x+1$

Tới đây bạn tự giải tiếp, bài này nghiệm xấu