Sangnguyen3

$\Leftrightarrow \frac{a+ab^2 + b+ a^2b}{(a+b)^{2}(a+c)(b+c)}\leq \frac{1}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$

$\Leftrightarrow \left (\frac{ab+1}{(a+b)(b+c)(c+a)} \right )^{2}\leq \frac{1}{(c+a)(c+b)}$

$\Leftrightarrow (ab+1)^{2}\leq (a+b)(a+c)(b+a)(b+c)$

$\Leftrightarrow (ab+1)^{2}\leq (a^2+1)(b^2+1)$

Điều này luôn đúng 

Điều kiện xác định : $x^{2}\geq \frac{1}{2}$

Đặt $t=\sqrt{2x^{2}-1} \geq 0$

Phương trình trở thành : 

$10x^{2}+3x-6-2t(3x+1)=0$

$\Leftrightarrow 4t^{2}-2(3x+1)t +(2x^{2}+3x-2)=0$

$\Delta '=(3x+1)^{2}-4(2x^{2}+3x-2)=(x-3)^{2}$

$t_{1}=\frac{3x+1+x-3}{4},t_{2}=\frac{3x+1+3-x}{4}$

Tới đây giải pt bậc 2 bình thường đối chiếu điều kiện để lấy nghiệm

$\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{1}{1+\frac{b}{a}} \right )^{4}\geq \frac{1}{4}$

$\frac{b}{a}=x,\frac{c}{b}=y,\frac{d}{c}=z,\frac{a}{d}=t \Rightarrow xyzt=1$

Cần chứng minh $\sum \left ( \frac{1}{1+x} \right )^{4}\geq \frac{1}{4}$

$\frac{1}{(1+x)^{4}}+\frac{1}{16}\geq \frac{1}{2(1+x)^{2}}$

$\Rightarrow \sum \left ( \frac{1}{1+x}\right )^{4}\geq \frac{1}{2}.\sum \left ( \frac{1}{1+x} \right )^{2} - \frac{1}{4}$

Ta có $\frac{1}{(1+x)^{2}}+ \frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{xy+1} \Leftrightarrow xy(x-y)^{2}+(xy-1)^{2}\geq 0$

Thiết lập bđt tương tự với $z,t$

$\sum \left ( \frac{1}{1+x} \right )^{2}\geq \frac{1}{xy+1} +\frac{1}{zt+1} =1$

$\Rightarrow \sum \left ( \frac{1}{1+x} \right )^{4}\geq\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$

Tìm số nguyên dương $a,b$ thỏa $a^{4}+b^2$ chia hết cho $7^a -3^b$

Tìm số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn $2^{p}=2^{q-2}+q!$

Ton tai $x,y$ nguyen duong thoa man $a=dx, b=dy$ va $(x;y)=1$

Can chung minh $d\leq x+y$

$\frac{dx+1}{dy}+\frac{dy+1}{dx}$ nguyen 

$\Rightarrow \frac{d\left ( x^{2}+y^{2} \right )+x+y}{dxy}$ nguyen 
$\Rightarrow x+y\vdots d \Rightarrow d\leq x+y$

$x^{3}+y^{3}+3x^{2}-3y^{2}-3xy+6x=0 \Leftrightarrow (x+1)^{3}+(y-1)^{3}-3xy-3y+3x+3=3$

$\Leftrightarrow (x+1)^{3}+(y-1)^{3}-3(x+1)(y-1)=3$

$\left ( x+1;y-1 \right )=(m;n)$

$m^{3}+n^{3}-3mn=3 \Leftrightarrow (m+n)^{3}-3mn(m+n)-3mn-3=0$

$\Leftrightarrow (m+n+1)\left [ \left ( m+n \right )^{2} -(m+n)+1\right ]-3mn(m+n+1)=4$

$\Leftrightarrow (m+n+1)\left ( m^{2}-mn+n^{2}-m-n+1 \right )=4$

$\Delta 1: m+n+1=1 \Rightarrow m+n=0 \Rightarrow m^{2}-mn+n^{2}=3 \Rightarrow mn=-1 \Rightarrow (x;y)\in \left \{ (0;0),(-2;2) \right \}$

$\Delta 2 : m+n+1=-1 \Rightarrow m+n=-2 \Rightarrow m^{2}-mn+n^{2}+7=0 (loai)$

$\Delta3 :m+n+1=2 \Rightarrow m+n=1 \Rightarrow m^{2}-mn+n^{2}=2$

$\Rightarrow mn=-\frac{1}{3}(loai)$

$\Delta 4 : m+n+1=-2 \Rightarrow m+n=-3 \Rightarrow m^{2}-mn+n^{2}+6=0 (loai)$

$\Delta 5 : m+n+1=4 \Rightarrow m+n=3 \Rightarrow m^{2}-mn+n^{2}=3 \Rightarrow mn=2 \Rightarrow (x;y)\in \left \{ (0;3),(1;2) \right \}$

$\Delta 6 : m+n+1=-4 \Rightarrow m+n=-5 \Rightarrow m^{2}-mn+n^{2}+7=0 (loai)$

$(x;y)\in \left \{ (0;0) ,(2;2), (0;3),(1;2) \right \}$

$\sum \frac{a}{b+2c}-1 \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3(ab+bc+ca)}-1=\frac{\sum a^{2}-\sum ab}{3\sum ab}=\frac{(b-c)^{2}+(a-c)(a-b)}{3\sum ab}$

Can chung minh :$\frac{(b-c)^{2}+(a-c)(a-b)}{3\sum ab}\geq \frac{(b-c)^{2}}{3(b+c)^{2}}$

WLOG, gia su $a=min\left \{ a;b;c \right \} \Rightarrow (a-c)(a-b)\geq 0$

Quy ve chung minh $\frac{(b-c)^{2}}{3\sum ab}\geq \frac{(b-c)^{2}}{3(b+c)^{2}} \Leftrightarrow (b-c)^{2}\left ( b^{2}+2bc+c^{2}-ab-bc-ca \right )\geq 0$ 
 

Cho các số thực $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$. CMR 
$2\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc\leq 2\sqrt{2}$

Câu này thầy cho em thêm để em làm bổ sung trong 1 cái list bài mà bài này khó nhất em chưa làm ra ( em ko bt nó có trong sách thầy cẩn ko

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$ . Chứng minh $\left ( \frac{5}{2} +\frac{a}{b+1} \right )\left ( \frac{5}{2} +\frac{b}{c+1}\right )\left ( \frac{5}{2}+\frac{c}{b+1} \right )\geq 27$

Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm gtnn của $ P=\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}}-2abc$

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O). Các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. (AEH) cắt DE tại K khác E. Gọi L là giao AK với BC. CK cắt AB tại T. Trên tia đối HC lấy P sao cho HP/HK=BL/BC.Đường thẳng AD cắt BP tại Q. CMR QT vuông góc với AB

Ta có $7xy+y-x=7 \Rightarrow xy+y-x+1=8-6xy$

Thay vào $(1)$, ta có $x^{3}+y^{3}=8-6xy \Leftrightarrow x^{3}+y^{3}-8+6xy=0 \Leftrightarrow (x+y-2)(x^{2}+y^{2}-xy+2x+2y+4)=0$

TH1 : $x+y=2$ thay vào $(2)$ tìm đc x,y 
TH2 : $x^{2}+y^{2}-xy+2x+2y+4=0 \Leftrightarrow (x-y)^{2}+ (x+2)^{2}+(y+2)^{2}=0 \Leftrightarrow x=y=-2$ thử lại thấy ko thỏa mãn 

Em xin góp lời giải câu 1b 
Công 2 phương trình ta có $x^{2}+y^{2}=2xy\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}} + \frac{1}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}} \right )$

Nếu $xy=0 \Rightarrow x=y=0$ ( thỏa mãn) 
Nếu $xy\neq 0$

Ta có $x^{2}+y^{2}>0;2\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}} + \frac{1}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}} \right ) > 0 \Rightarrow xy> 0$

$x^{2}+y^{2}\geq 2xy \Rightarrow \left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}} + \frac{1}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}} \right ) \geq 1$

Mặt khác $\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}} + \frac{1}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}} \right )=\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}+8}} + \frac{1}{\sqrt[3]{(y-1)^{2}+8}} \right )\leq 1$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$ ( thỏa mãn)  
Vậy cặp (x;y) thỏa mãn là $\left \{ (0;0),(1;1) \right \}$