* Tìm GTNN thì tương tự như bài gốc.
* Tìm GTLN
\begin{align*} MA+MB&=\sqrt{\frac{OA}{OB}}\sqrt{\frac{OB}{OA}(OA^2+OM^2-2OA\cdot OM\cdot\cos\alpha)}+\sqrt{OB^2+OM^2+2OB\cdot OM\cdot\cos\alpha}\\ &\le \sqrt{\left(\frac{OA}{OB}+1\right)\left(OA\cdot OB+\frac{OB}{OA}\cdot OM^2-2OB\cdot OM\cdot\cos\alpha+OB^2+OM^2+2OB\cdot OM\cdot\cos\alpha\right)}\\&=\sqrt{\left(\frac{OA}{OB}+1\right)\left(OA\cdot OB+\left(\frac{OB}{OA}+1\right)OM^2+OB^2\right)}\\&=\sqrt{AB^2+\left(\frac{OA}{OB}+\frac{OB}{OA}+2\right)OM^2} \end{align*}
Dấu bằng xảy ra khi
\begin{align*} &\frac{\frac{OB}{OA}(OA^2+OM^2-2OA\cdot OM\cdot\cos\alpha)}{\frac{OA}{OB}}=OB^2+OM^2+2OB\cdot OM\cdot\cos\alpha \\& \Leftrightarrow 1+ \frac{{O{M^2}}}{{O{A^2}}} - 2\frac{{OM}}{{OA}}\cos \alpha = 1 + \frac{{O{M^2}}}{{O{B^2}}} + 2\frac{{OM}}{{OB}}\cos \alpha \\& \Leftrightarrow \frac{{O{M^2}}}{{O{A^2}}} - \frac{{O{M^2}}}{{O{B^2}}} = 2\frac{{OM}}{{OA}}\cos \alpha + 2\frac{{OM}}{{OB}}\cos \alpha \\& \Leftrightarrow\cos\alpha=\frac{1}{2}OM\left( {\frac{1}{{OA}} - \frac{1}{{OB}}} \right) \end{align*}
Tình cờ phát hiện thêm nhưng chưa chứng minh được: Khi $M$ thoả mãn đẳng thức $\cos\alpha=\frac{1}{2}OM\left(\frac{1}{OA}-\frac{1}{OB}\right)$ thì $MO$ là đường phân giác $\bigtriangleup MAB.$
- perfectstrong, duong966123 và William Nguyen thích