QuocMinh2k8

Cho 2 số thực x,y thỏa mãn: $\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )=\frac{9}{4}$

Tìm Min của $A=x^{4}+y^{4}+2\sqrt{\left ( 1+x^{4} \right )\left ( 1+y^{4} \right )}$

Cho $a,b,c\geq 0$ , a+b+c=3

Tìm Max của $P=\left ( 1-a \right )^{3}+\left ( 1-b \right )^{3}+\left ( 1-c \right )^{3}+\frac{1}{4}$

Kẻ OI, OK vuông góc AB, CD $\Rightarrow$ I,K là trung điểm AB,CD

CM đc: OIPK là hình chữ nhật

$\Rightarrow$ IK=OP ko đổi

Có:

$AB.CD\leq \frac{AB^{2}+CD^{2}}{2}=\frac{4(AI^{2}+CK^{2})}{2}=2(OA^{2}-OI^{2}+OC^{2}-OK^{2})=2(2R^{2}-IK^{2})=2(2R^{2}-OP^{2})$ ko đổi

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow AB=CD$

Khi đó $\Delta AOB=\Delta DOC(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{ODC}$

$\Rightarrow$ ADOP là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{AOP}=\widehat{ADP}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}=\widehat{AOE}$ (vì $\Delta AOC$ cân tại O có OE là đường cao)

Mà $\widehat{AOE}+\widehat{OAE}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{AOP}+\widehat{OAE}=90^{\circ}$

$\Rightarrow$ OP vuông góc AC

Mà OE vuông góc AC

$\Rightarrow$ O,P,E thẳng hàng. (ĐPCM)

Gọi I là giao OA và CE

       DK là tiếp tuyến (O)

Ta có:

$OH.OA=OB^{2}=R^{2}$

$\Leftrightarrow \left ( OD-DH \right )\left ( OD+DA \right )=R^{2}$

$\Leftrightarrow OD^{2}-DA^{2}=R^{2}$ (Vì DH=DA)

$\Leftrightarrow OD^{2}-OK^{2}=DA^{2}$

$\Leftrightarrow DK^{2}=DA^{2}$

Dễ dàng chứng minh $DK^{2}=DE.DB$ (Quan hệ tiếp tuyến - cát tuyến)

$\Rightarrow DA^{2}=DE.DB$

$\frac{DA}{DB}=\frac{DE}{DA}$

$\Delta DAE \sim \Delta DBA$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{DAE}=\widehat{DBA}=\widehat{ECB}$

Mà $\widehat{ECB}+\widehat{HIC}=90^{\circ}$

      $\widehat{HIC}=\widehat{AIE}$ (2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{DAE}+\widehat{AIE}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{AEI}=90^{\circ}$

$\Rightarrow AE$ vuông góc EC

XIN LỖI MK KO VẼ ĐC HÌNH!!!

Cho (O) đường kính AB, trên tia đối BA lấy C. Kẻ đường thẳng $d\perp AB$ tại C. Lấy E di động thuộc (O). Gọi I là trung điểm OB. Tia EI cắt (O) tại F. Tia AE và AF cắt d tại K và D. Gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ADK$. Chứng minh khi E di động trên (O) thì O' thuộc 1 đường thẳng cố định.

Gọi H là giao điểm AC và (O')

Xét $\Delta AFI$ và $\Delta AHD$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{AFI}=\widehat{AHD}$ $\left ( =\widehat{AKD} \right )$

$\Rightarrow \Delta AFI \sim \Delta AHD (g.g)$

$\Rightarrow AI.AH=AF.AD$

$\Delta AFB \sim \Delta ACD(g.g)\Rightarrow AF.AD=AB.AC$

$\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{AI}$ ko đổi

$\Rightarrow$ H cố định

$\Rightarrow O'\in$ đường trung trực AH cố định

Cho (O) đường kính AB, trên tia đối BA lấy C. Kẻ đường thẳng $d\perp AB$ tại C. Lấy E di động thuộc (O). Gọi I là trung điểm OB. Tia EI cắt (O) tại F. Tia AE và AF cắt d tại K và D. Gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ADK$. Chứng minh khi E di động trên (O) thì O' thuộc 1 đường thẳng cố định.

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) có BC cố định, A di động, O là trung điểm BC. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt đường thẳng AB tại E. Gọi H là trung điểm BE.

Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHO luôn nằm trên 1 đường thẳng cố định.

Cho em xin ý kiến về trường chuyên Nguyễn Huệ -Hà Đông-Hà Nội ạ!

Em định thi vào trường này ạ.

$S_{PHIO}=400.30=12000 \left ( m^{2} \right )$

$S_{EFGQ}+S_{NKLM}=60.\left ( AP+OD \right )=60.\left ( 250-30 \right )=13200 \left ( m^{2} \right )$

Diện tích phần còn lại là: $100000-12000-13200=69800 \left ( m^{2} \right )$

Từ M cố định nằm ngoài (O), kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB với (O). 1 đường thẳng d thay đổi qua M cắt (O) tại N, P sao cho MN<MP. Gọi K là trung điểm NP. Tia BK cắt (O) tại điểm thứ 2 là Q. Xác định vị trí của d để diện tích tam giác MPQ lớn nhất.

Cho x, y, z$>$0, $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy=3(x+y+z)$. Tìm MIN P=$x+y+z+\frac{20}{\sqrt[]{x+z}}+\frac{20}{\sqrt[]{y+2}}$

Cho $x,y,z> 0$, $4(x+y+z)=3xyz$. Tìm MAX của $P=\sum \frac{1}{2+x+yz}$

Trong chuyên đề này, mình mong mọi người hãy cùng nhau trao đổi đề bài và cách giải các bài BĐT & Cực trị hay ạ.