nguyenhuybao06

Bạn sử dụng đẳng thức này xem sao $$2^{2n+1}=\displaystyle\sum^{2n+1}_{k=0}C^{k}_{2n+1}.$$

Vì bài 199 còn unsolved nên mình sẽ giải thử.

Bài toán 199. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, trực tâm $H$. $OH$ cắt $(O)$ tại $E, F$. $AH$ cắt $BC$ tại $D$. dựng các hình thang cân $ACBB'$ và $ABCC'$ với $BB' || AC, CC'|| AB$. $BC$ cắt $B'C'$ tại $X$. Chứng minh $E, F, X, D$ đồng viên.

 

Trước tiên, ta phát biểu bổ đề sau. 

Bổ đề. Cho tam giác $ABC,$ $O$ là đường tròn đi qua $B$ và $C,$ cắt $AC, AB$ lần lượt tại $E$ và $F.$ $BE$ giao $CF$ tại $K,$ $AK$ cắt $(EOF)$ tại $L,$ khi đó $OL, CB, FE$ đồng quy.

Chứng minh. Gọi $L'$ là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $AFKE.BC.$

Bằng cộng góc thuần túy ta chỉ ra được $L'$ nằm trên $(EFO)$ và $(BOC).$ Do đó $EF, CB, OL'$ đồng quy tại điểm $T.$

Gọi $(AEF)$ cắt $(ABC)$ tại $H$ thì theo tính chất quen thuộc ta có $A, H, T$ thẳng hàng. Do đó $\widehat{AL'O}=90^\circ.$ 

Gọi $AK$ cắt $EF$ tại $S,$ ta có $(TS,FE)=-1.$ Gọi $L'K$ cắt $EF$ tại $S'$ thì ta có $(TS',FE)=-1.$ (Theo tính chất hàng điều hòa phân giác).

Do đó $S'$ trùng $S$ nên $L'$ trùng $L$ hay ta có $A, K, L$ thẳng hàng hay ta có điều phải chứng minh. 

Quay trở lại bài toán. Gọi $BB'$ cắt $CC'$ tại $J,$ $JX$ cắt $BB'CC'$ tại $K,$ $B'C, BC', OK$ đồng quy tại $G.$

Vì tam giác $ABC$ đối xứng với tam giác $JCB$ qua trung điểm $BC$ nên tâm $(JBC)$ cũng đối xứng với $O$ qua trung điểm $BC.$ Do đó $HKBC$ nội tiếp mà $HK$ là đường kính của $(JBC)$ nên $\widehat{HKJ}=90^\circ.$ Mà theo bổ đề trên ta có $\widehat{OKJ}=90^\circ.$

Gọi $OH$ cắt $BC$ tại $I,$ khi đó ta chỉ cần chứng minh hệ thức $IH.IK=IF.IE$ với $E, F$ là giao của đường thẳng Euler trong tam giác $ABC$ với $(ABC)$ và $K$ là giao của đường thẳng Euler trong tam giác $ABC$ với $(HBC).$ Đây là một hệ thức không khó chứng minh. 

Edit 1. Mọi người có thể xem hình ở đây. 

Chào mọi người.

Ngày hôm qua mình có tình cờ đọc được một số bài trong Topic VMF's Marathon Hình học Olympic và mình cảm thấy đây là một topic thú vị, tuy nhiên bài được gửi gần đây nhất đã là vào tháng 1 năm 2018, tức là topic này đã bị drop được hơn 6 năm. Ở trong post lần này của mình, mình xin được phép đăng lời giải của bài 201 và xin được phép tiếp nối topic Marathon nhằm giữ gìn di sản của những bậc tiền bối. Lời giải này được mình và Nguyễn Anh Tài hoàn thành. Dành cho ai quan tâm về topic Marathon cũ thì mình sẽ dẫn link ở đây. 

Về bài toán 201, anh trihoctoan đã đăng vào tháng 1 năm 2018.

 Bài 201: (Sưu tầm từ Luis Gonzalez) 

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ có ba đường cao $AD,BE,CF$  .Gọi $l_1,l_2,l_3$ lần lượt là các đường thẳng qua $D,E,F$ và vuông góc với $OD,OE,OF$ .Gọi $X$ là giao điểm của $l_2,l_3$.Tương tự có $Y,Z $.Chứng minh rằng :$DX,EY,FZ$ đồng quy trên đường thẳng Euler của tam giác $ABC$.

Với $n\in\mathbb{N^*},$ $n\ge4,$ chứng minh bất đẳng thức sau $$\displaystyle\sum^{\frac{n(n-1)}{2}}_{i=n-1}C_{\frac{n(n-1)}{2}}^i-\displaystyle\sum^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}_{i=n-1}C_{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}^i> 2^{\frac{n(n-1)}{2}-1}.$$ 

P/s. Mình dự đoán bất đẳng thức sau vẫn còn đúng $$\displaystyle\sum^{\frac{n(n-1)}{2}}_{i=n-1}C_{\frac{n(n-1)}{2}}^i-\displaystyle\sum^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}_{k=n-1}\displaystyle\sum^{k}_{i=n-1}C_{k}^i> 2^{\frac{n(n-1)}{2}-1}.$$

Edit 1. Cảm ơn BQT đã sửa lại giúp em tiêu đề ạ. 

Bổ đề Iran phát biểu như nào thế bro

https://math.stackex...lidean-geometry

Đây nhé bạn. 

Lời giải của mình cho bài hình. 

Bài 4. Trường hợp 1. Với $t>2,$ ta sẽ chứng minh $(u_n)$ giảm và bị chặn dưới bởi $2$ bằng quy nạp.

Với $n=1,$ ta dễ dàng chỉ ra điều này đúng. 

Giả sử điều này đúng đến $n,$ ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với $n+1.$ Xét hiệu $$u_{n+1}-u_n=\frac{2un^3-2u_n^2-2}{3u_n^2-4u_n-1}-u_n=\frac{(u_n-2)(1-u_n^2)}{3u_n^2-4u_n-1}<0.$$

Vậy ta có dãy $(u_n)$ là dãy giảm, bây giờ ta sẽ chứng minh $u_{n+1}>2.$ Thật vậy, xét hiệu $$u_{n+1}-2=\frac{2un^3-2u_n^2-2}{3u_n^2-4u_n-1}-2=\frac{(u_n-2)^2u_n}{3u_n^2-4u_n-1}>0.$$

Vậy $(u_n)$ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi $2.$ Theo Định lý Weiertrass ta có dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn. Đặt $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}=L.$ Khi đó $(u_n)$ sẽ hội tụ về nghiệm của phương trình $$L=\frac{2L^3-2L^2-2}{3L^2-4L-1}.$$

Giải phương trình này ta được nghiệm $L\in\left\lbrace-1;1;2\right\rbrace.$

Do $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $2$ nên $u_n>2$ $\forall n\in\mathbb{N^*}.$ Vì vậy $(u_n)$ hội tụ về $2.$ Vậy $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}=2.$

Trường hợp 2. Với $t<-2,$ chứng minh tương tự ta cũng có $(u_n)$ tăng và bị chặn trên bởi $-1.$ Vì vậy $(u_n)$ hội tụ về $-1$ hay $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}=-1.$

Mọi người ai biết giải bài 3 với bài 4 giúp em với được không ạ? Em đã thử Brouwer, Lagrange, Weiertrass rồi mà không ra ạ. Em cảm ơn ạ. 

Bài 2. Ta có $$u_n+3=\frac{u_{n-1}+3}{5u_{n-1}+18}$$ và $$5u_n+17=\frac{3(5u_{n-1}+17)}{5u_{n-1}+18}.$$

Do đó $$\frac{u_n+3}{5u_n+17}=\frac{u_{n-1}+3}{3(5u_{n-1}+17)}=...=\frac{u_1+3}{3^{n-1}(5u_1+17)}=\frac{2}{11.3^{n-1}}.$$

Vậy $$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{51-11.3^n}{11.3^{n-1}-10}=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{\frac{51}{3^{n-1}}-33}{11-\frac{10}{3^{n-1}}}=-3.$$

Vậy $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-3.$

Bài 1. Ta có với $n=3$ thì $u_3$ là số nguyên. Giả sử điều này đúng đến $u_{n-1},$ ta sẽ chứng minh $u_n$ cũng là số nguyên. 

Ta có $$u_n+u_{n-2}=\frac{u_{n-1}^2+u_{n-2}^2+2}{u_{n-2}}=\frac{u_{n-1}^2+u_{n-1}u_{n-3}}{u_{n-2}}.$$

Điều này tương đương $$\frac{u_n+u_{n-2}}{u_{n-1}}=\frac{u_{n-1}+u_{n-3}}{u_{n-2}}=...=\frac{u_3+u_1}{u_2}=\frac{\frac{u_2^2+2}{u_1}+u_1}{u_2}=4.$$

Do đó $u_n=4u_{n-1}-u_{n-2}$ là số nguyên. 

Vậy mọi số hạng của dãy $(u_n)$ đều nguyên. 

Đề bài này có nhầm ở đâu không ạ? Bất đẳng thức không thuần nhất lại không có điều kiện. Nếu cho $x=y=z=2$ thì bất đẳng thức có vẻ không đúng. 

Chào mọi người!

Hiện tại em đang viết một tài liệu về Định lý trung bình Cesàro. Tuy nhiên em kiếm được khá ít bài tập liên quan tới định lý này. Em muốn nhờ sự giúp đỡ của mọi người ạ. Nếu ai có bài tập ứng dụng Định lý trung bình Cesàro có thể gửi lên đây để em viết vào được không ạ? (Có nguồn của bài tập thì càng tốt). 

Em xin chân thành cảm ơn ạ! 

P/s. Phần demo của tài liệu em sẽ đính kèm cùng bài viết này ạ. Mọi người ai có hứng thú có thể xem qua ạ.  

Bằng quy nạp, ta chứng minh được hai nhận xét sau: 

+ Dãy $(x_{2k})$ tăng, dãy $(x_{2k+1})$ giảm.

+ Dãy $(x_{2k})$ bị chặn trên bởi $1,$ dãy $(x_{2k+1})$ bị chặn dưới bởi $1.$

Do đó theo Định lý Weiertrass thì cả hai dãy đều có giới hạn hữu hạn.

Đặt $\displaystyle\lim_{k\to+\infty}x_{2k}=a,$ $\displaystyle\lim_{k\to+\infty}x_{2k+1}=b.$ Cho $k\to+\infty,$ ta có hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix} a=\dfrac{1}{b} & & \\ b=\dfrac{1}{a}. & & \end{matrix}\right.$$

Giải hệ phương trình sau ta được $a=b=1$ hay $\displaystyle\lim_{k\to+\infty}x_{2k}= \displaystyle\lim_{k\to+\infty}x_{2k+1}=1.$ 

Do đó theo Định lý Weiertrass thì $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_{n}=1.$

P/s. Em mới tập giải dãy số nên còn nhiều sai sót, mong mọi người góp ý giúp em ạ. 

Mình gửi lời giải bài hình. 

Mình mới bị 3 ngày nay, ngày hôm qua không vào được luôn.