nguyenhuybao06

Bài 31 Tìm tất cả số nguyên dương chẵn $n$ thỏa mãn

$\boxed{\sigma(n)-\varphi(n)=n+4}$

 

Bài 32 Chứng minh rằng nếu $a,b$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thì

$\boxed{2n|\varphi(a^{n}+b^{n})}$

Bài 32 trước mình có giải rồi nên gửi tạm trước.

Bài này hồi đó mình làm thế này. 

Bài này thực chất có thể làm chặt hơn nữa: tồn tại một số xuất hiện ít nhất $10$ lần.

Edit: Chứng minh. Gọi số nhỏ nhất trên mỗi hàng và mỗi cột là $x_1,x_2,...,x_{20}.$ Đặt $c=\max{x_i}.$

Khi này, trên mỗi cột sẽ tồn tại ít nhất một ô chứa số có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng $c,$ và ít nhất một ô chứa số có giá trị lớn hơn $c.$

Ta tô màu các ô chứa số có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng $c$ bởi màu xanh, các ô chứa số có giá trị lớn hơn $c$ bởi màu đỏ. 

Theo kết quả quen thuộc ta có: tồn tại ít nhất một ô màu xanh kề với một ô màu đỏ trên mỗi cột. Do đó, trên mỗi cột tồn tại ít nhất một ô chứa $c.$ Vậy ta có $c$ xuất hiện ít nhất $10$ lần. 

https://artofproblem...1441140p8200513

Có một bài tương tự ở đây , phát biểu khác nhưng tương đối giống. 

Đề bài này có một chút vấn đề, đó là việc bạn không đề cập đến bảng $9\times 2004$ có số hàng là bao nhiêu, số cột là bao nhiêu. Điều này gây khó khăn cho người đọc, và giải trong việc xác định bảng "đúng theo đề bài". Tuy nhiên nếu $9$ hàng và $2004$ cột thì bài toán này không đúng, thế nên mình sẽ hiểu là $9$ cột và $2004$ hàng. 

Mình sẽ xây dựng bảng để $s$ đạt giá trị nhỏ nhất trước rồi sẽ đi biện luận sau. 

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 1 & 1 & 1&2&3& \cdots & 2001&2001 \\\hline 2 & 3 & 4&5&6&  & 2004&2004 \\\hline 2 & 3 & 4&5&6&  & 2003&2004 \\\hline 1 & 2 & 3&4&5&  & 2003&2004 \\\hline 1 & 2 & 3&4&5&  & 2003&2004 \\\hline 1 & 2 & 3&4&5&  & 2003&2004 \\\hline 1 & 2 & 3&4&5&  & 2003&2004 \\\hline 1 & 2 & 3&4&5&  & 2003&2004 \\\hline 1 & 2 & 3&4&5&  & 2003&2004\\\hline \end{array}$$

Nhận xét: Vị trí của các số trong cùng một cột không quan trọng, vậy nên ta có thể chọn số nhỏ nhất ở mỗi cột để đưa lên hàng thứ $1.$

Xét số lớn nhất ở trên bảng là $2004,$ khi này số cùng cột với $2004$ nhỏ nhất có thể là $2001.$ Ta xét trước trường hợp $9$ số $2004$ không nằm chung một cột. Giả sử cột cuối cùng chứa số $2004,$ khi đó số nhỏ nhất ở trên cột đó là $2001.$ Sau đó dùng greedy algorithm và điền dần để xây dựng được bảng trong trường hợp $s$ nhỏ nhất.

Nếu các số $2004$ thuộc cùng một cột thì ta có thể xây dựng trường hợp nhỏ nhất với $2003$ số sau đó cộng vào số $2004,$ để được trường hợp này $s$ không nhỏ nhất. 

Phần trình bày của bài toán này thì mình không làm cho nó "tường minh" và "mẫu mực" lắm, tuy nhiên nếu bạn muốn mình có thể viết rõ ràng hơn, nhưng sẽ hẹn trả lời sau. 

Vì đề phát biểu rằng ta có thể đổi dấu "các ô trong góc" nên mình hiểu là có thể đổi riêng lẻ từng ô một.

Đầu tiên, ta xét 8 ô vuông ở các vị trí sau của bảng. 

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline &  +& -& \\\hline +& & &+ \\\hline +& & &+ \\\hline & +&+ & \\\hline\end{array}$$

Ta thấy trong các ô vuông này chứa một số lẻ các ô có dấu $-.$ Ta thực hiện đổi các dấu $+$ thành số $1$ và các dấu $-$ thành $-1$ thì có bảng sau. 

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline &  1& -1& \\\hline 1& & &1 \\\hline 1& & &1 \\\hline & 1& 1& \\\hline\end{array}$$

Vì có lẻ các số $-1$ ở trong $8$ ô vuông này nên tích các số trong $8$ ô vuông ban đầu là $-1.$ Đặt $P_i$ là tích các số trong $8$ ô vuông trên sau $i$ lần thao tác biến đổi. Ta có $P_0=-1$ mà sau mỗi lần biến đổi thì tính chẵn lẻ của các số $-1$ không đổi nên theo quy nạp cho ta $P_n=-1,\forall n\in\mathbb{N}.$ Do đó không thể tồn tại các bước biến đổi nào để bảng ô vuông chứa toàn dấu $+.$

Bài toán 209. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O),$ có $L$ là điểm lemoine, $E$ là giao hai tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của $(O).$ Gọi đường thẳng qua $E$ vuông góc với tiếp tuyến của $(O)$ qua $A$ tại $H.$ Gọi $F$ là điểm thỏa mãn tứ giác $BLCF$ là tứ giác điều hòa. Chứng minh rằng $AF$ chia đôi $EH.$

Bài toán 208. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O),$ có $L$ là điểm lemoine. Chứng minh rằng $O$ là trọng tâm của tam giác được tạo bởi các đường thẳng qua $A,B,C$ lần lượt vuông góc với $AL,BL,CL.$

Không mất tính tổng quát, giả sử tất cả các số trên bảng là số nguyên dương, và số nhỏ nhất là $1.$ Khi này xét đường đi ngắn nhất từ số nhỏ nhất đến số lớn nhất trên bảng, ta dễ dàng chỉ ra được đường đi này dài nhất chỉ chứa $20$ ô vuông đơn vị nên số lớn nhất trên bảng có thể là $20.$

Đến đây ta đã chỉ ra được, nếu không có số nào xuất hiện ít nhất $6$ lần thì mọi số đều phải xuất hiện đúng $5$ lần trên bảng.

Ta có luôn điều mâu thuẫn khi xét đường đi ngắn nhất từ số $1$ đến số $20$ mà số $20$ này không nằm trong góc. 

Edit 1: Ban đầu mình tường là số nguyên nên có ghi dòng KMTTQ giả sử nguyên dương nhưng đề cho rồi, mà bài này sửa thành nguyên vẫn đúng. 

Edit 2: Đáng lẽ ra số lớn nhất là $19,$ khi đó dễ lập luận hơn nhưng lúc nãy mình nhẩm chưa chuẩn nên thành $20.$ Nhưng sao cũng vẫn làm ra. 

Bài 40: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^2-xy+y^2-4=0$

Anh ơi em nghĩ là nên tăng độ khó lên một xíu cho đúng với tên của topic ạ. 

Câu đố lộ nhỉ

Số cuối cùng sẽ là tích các số ban đầu, với mỗi số được nâng lên một lũy thừa nào đó.

Nếu có ước nguyên tố $p$ dạng $4k+3$ nào có số mũ lẻ, thì sau phép xóa số, số mũ của $p$ sẽ thành số chẵn.

Như vậy, trong số cuối cùng, mọi ước nguyên tố $p=4k+3$ sẽ có số mũ chẵn.

Do đó, theo định lý phân tích tổng 2 số bình phương, ta có ngay đpcm

https://en.wikipedia...squares_theorem

Em chế bài này mục đích là dành cho mấy bạn không biết cái định lý đó thôi anh ạ. xD

Sắp hết năm $2024$ âm lịch, mình xin gửi tặng mọi người một bài toán vui vui như sau:

Trên bảng cho $2025$ số nguyên dương. Mỗi lượt ta thực hiện thao tác xóa đi hai số $p,q$ và viết thêm lên bảng số $pq$ nếu $p,q$ không có ước nguyên tố dạng $4k+3.$ Nếu $p$ hoặc $q$ có ước nguyên tố dạng $4k+3$ thì ta viết lên bảng số $(pq)^2.$ Hỏi sau $2024$ lần thực hiện thao tác thì số cuối cùng còn lại trên bảng có thể viết được dưới dạng tổng hai số chính phương hay không?

Xin chúc mừng Nguyen Bao Khanh đoạt giải ba VMO với 22 điểm. Thiếu một chút nữa thôi là Khánh nhì rồi. 

Bài toán 34. Với $n$ là một số nguyên dương, chứng minh rằng tồn tại một dãy gồm $n$ số nguyên dương liên tiếp sao cho không có số nào là tổng của hai số chính phương.