NAT

 $cos^{2} A+cos^{2}B+cos^{2}C\geq \frac{3}{4 }$

Ta có: $\cos^{2} A+\cos^{2}B+\cos^{2}C$$={{\cos }^{2}}A+\frac{1+\cos 2B}{2}+\frac{1+\cos 2C}{2}$

$={{\cos }^{2}}A-\cos \left( B-C \right).\cos A+1$$={{\left[ \cos A-\frac{1}{2}\cos \left( B-C \right) \right]}^{2}}+\frac{1}{4}{{\sin }^{2}}\left( B-C \right)+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $A=B=C={{60}^{0}}$.

Bài tương tự:

http://diendantoanho...rac1-x2y-right/

Tổng quát: $\left\{\begin{matrix} 4x^2=(\sqrt{x^{2}+1}+1)(x^{2}-y^{3}+3y-2) & (1)\\ (x^{2}+y^{2})^{2}+(m-1)y^2+m=x^{2}+2my& (2)\end{matrix}\right.(m>0)$

Ta có: (1)$\Leftrightarrow 4(\sqrt{x^{2}+1}-1)=x^{2}-y^{3}+3y-2$

              $\Leftrightarrow (y-1)^{2}(y+2)=(\sqrt{x^{2}+1}-1)(\sqrt{x^{2}+1}-3)$  (3)

           (2)$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-1)+m(y-1)^{2}=0$  (4)

Từ (4) suy ra $0 \le x^{2}+y^{2}\le 1$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-1\le x \le 1 \\ -1 \le y \le 1\end{array}\right.$

. $x=0$: (3)$\Leftrightarrow (y-1)^{2}(y+2)=0$ $\Leftrightarrow y=1$

. $ x \ne 0$: $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}VT (3) <0 \\  VP (3) \ge 0 \end{array}\right.$, suy ra PT (3) vô nghiệm. Do đó HPT đã cho vô nghiệm

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y)=(0;1)$.

$\left\{\begin{matrix} 4x^2=(\sqrt{x^{2}+1}+1)(x^{2}-y^{3}+3y-2) & & \\ (x^{2}+y^{2})^{2}+2015y^2+2016=x^{2}+4032y& & \end{matrix}\right.$

$ln3(3^t-3^{-t})-2$, là dấu trừ chứ không phải dấu cộng bạn ạ!

Đạo hàm của hàm hợp mà: $f'(t)=3^t \ln3-3^{-t}.(-t)'.\ln3-2=(3^t+3^{-t})\ln3-2$

Giải bất phương trình:

$\sqrt{9x^{2}+3} + 9x - 1 \geq \sqrt{9x^{2}+15}$

+ Dễ thấy $x\leq -\dfrac{1}{3}$ không thỏa mãn BPT đã cho.

+ x \geq -\frac{1}{3}$: 

BPT $\Leftrightarrow \left(\sqrt{9x^{2}+3} -6x \right )+ \left(3x-1 \right ) \geq \left( \sqrt{9x^{2}+15}-12x\right )$

$\Leftrightarrow \left(3x-1 \right ) [\frac{15\left(3x+1 \right )}{\sqrt{9x^{2}+15}+12x}+1-\frac{3\left(3x+1 \right )}{\sqrt{9x^{2}+3}+6x}] \geq 0$

Với mọi $x\geq -\frac{1}{3}$, ta chứng minh được  $[\frac{15\left(3x+1 \right )}{\sqrt{9x^{2}+15}+12x}+1-\frac{3\left(3x+1 \right )}{\sqrt{9x^{2}+3}+6x}] > 0$.

Vậy BPT đã cho có nghiệm $x \geq \dfrac{1}{3}$

Giải phương trình $3^{x-1}=\sqrt{x^2-2x+2}+x-1$

Đặt $t=x-1$, PT trở thành:  $3^{t}=\sqrt{t^2+1}+t$  (1)

$\Rightarrow 3^{-t}=\sqrt{t^2+1}-t$  (2)

Từ (1), (2) suy ra $3^t-3^{-t}-2t=0$  (3).

Dễ thấy hàm số $f(t)=3^t-3^{-t}-2t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $f(0)=0$. Do đó, PT (3) có nghiệm duy nhất $t=0$

Ta có: $1+x \sqrt{{{x}^{2}}+2}+2x+\left( x+1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}=0$

Do đó, PT (1)$\Leftrightarrow f(x+1)=f(-x)$  $\Leftrightarrow x+1=-x$