perfectstrong

Các bạn khi làm bài trong box hình học ở VMF, mình khuyên các bạn một số điều sau:
1/ nên Up hình của bài đó lên để minh họa, phục vụ cho việc theo dõi tốt hơn. Xem cách làm tại đây
2/ Gõ latex (cái này phải tuyệt đối làm)
3/.....
Cảm ơn các bạn.

==================

ANB có cát tuyến CKM nên

$\dfrac{{CN}}{{CB}}.\dfrac{{MB}}{{MA}}.\dfrac{{KA}}{{KN}} = 1$

$ \Rightarrow \dfrac{{KA}}{{KN}} = 6 \Rightarrow KA = \dfrac{6}{7}AN$

$AN = \sqrt {AM^2 + MN^2 } = \dfrac{{\sqrt {35} }}{4} \Rightarrow KA = \dfrac{{3\sqrt {35} }}{{14}}$

MBC có cát tuyến CMB nên

$\dfrac{{AM}}{{AB}}.\dfrac{{NB}}{{NC}}.\dfrac{{KC}}{{KM}} = 1$

$ \Rightarrow \dfrac{{KC}}{{KM}} = \dfrac{4}{3} \Rightarrow KM = \dfrac{3}{7}CM$

$CM = \sqrt {CH^2 + HM^2 } = \dfrac{{\sqrt {35} }}{4} \Rightarrow KM = \dfrac{{3\sqrt {35} }}{{28}}$
Ta có đpcm

Tài liệu này mình sưu tập được, g�ồm các tác giả nổi tiếng một thời trên VMF.

Nay mình up lại, để mọi người đọc.
Lý thuyết tổ hợp

P/s: nếu link bị lỗi thì pm mình để mình fix lại
=========================
Update 20/6. Thêm một tài liệu về toán rời rạc
Toán rời rạc

tiếp đi bạn ơi. Lâu lắm rồi mới đọc được truyện hay như vậy.

****************************************************************
Nếu không nói thêm thì mặc định là kết quả làm tròn đến 4 chữ số thập phân.
****************************************************************
Bài 1: Tính

$A = \dfrac{{9,87^2 .6,54^3 .3,21^4 }}{{\dfrac{1}{{11}}\left[ {\left( {\dfrac{3}{{13}} + \dfrac{5}{{17}}} \right)^5 - \left( {\dfrac{7}{{19}} - \dfrac{9}{{23}}} \right)^6 } \right]^7 }}$

$B = \sqrt {2 + 3\sqrt[3]{{4 + 5\sqrt[5]{{6 + 7\sqrt[7]{{8 + 9\sqrt[9]{{10 + 11\sqrt[{11}]{{12}}}}}}}}}}} $

Bài 2:

1. Tính $C = \dfrac{1}{{1.2.3.4}} + \dfrac{1}{{2.3.4.5}} + ... + \dfrac{1}{{2011.2012.2013.2014}}$

2. Tìm x thỏa

$\dfrac{x}{{1993 - \dfrac{{2011}}{{1994 + \dfrac{{2010}}{{1995 - \dfrac{{2009}}{{1996 + \dfrac{{2008}}{{1997 - \dfrac{{2007}}{{1998 + \dfrac{{2006}}{{1999 - \dfrac{{2005}}{{2000 + \dfrac{{2004}}{{2001 - \dfrac{{2003}}{{2002}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} = \dfrac{4}{{63 + \dfrac{6}{{11 - \dfrac{3}{{2011}}}}}}$

Bài 3:

Một mảnh bìa có dạng tam giác cân ABC với AB=AC=25 cm; BC=24 cm. Làm sao để cắt từ mảnh bìa đó ra 1 hình chữ nhật MNPQ có diện tích bằng $\dfrac{1}{{17}}$ diện tích ABC với M,N thuộc đoạn BC; P thuộc đoạn AC và Q thuộc đọa AB. trình bày tóm tắt lời giải và ghi kết quả.

Bài 4:

Cho x là số thực khác 0. Tìm min của biểu thức $Q = \dfrac{{2010,2011x^2 - 2x + 2012,2013}}{{2014,2015x^2 }}$. trình bày tóm tắt lời giải và ghi kết quả.

Bài 5:

Một số tự nhiên có 4 chữ số, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái số đó và chữ số tám vào bên phải số đó thì được số mới có 6 chữ số và bằng 34 lần số ban đầu. Tìm số đó. trình bày tóm tắt lời giải và ghi kết quả.

Bài 6:

Một cái sân hình chữ nhật có chiều rộng, dài tương ứng là 7,6 m và 11,2 m được lát bởi những viên gạch hình vuông có cạnh là 20 cm (cho rằng diện tích phần tiếp giáp không đáng kể). Đánh số các viên gạch từ 1 đến hết. Giả sử trên viên gạch thứ I đặt 1 hạt đậu, viên thứ II đặt 7 hạt đậu, viên thứ III đặt 49 hạt đậu, viên thứ IV đặt 343 hạt đậu,... cho đến viên cuối cùng. Gọi S là tổng số hạt đậu đã đặt. Tìm 3 chữ số tận cùng của tổng 6S+5. trình bày tóm tắt lời giải và ghi kết quả.

Bài 7:

Một cái sân hình chữ nhật được lát kín bởi những viên gạch hình vuông có cạnh là 5 cm, gồm 2 màu đen trắng xếp xen kẽ (2 viên có cùng cạnh thì không cùng màu). Nếu dọc theo chiều rộng của sân thì có 2011 viên gạch màu đen được lát và có tất cả 22210983 viên gạch lát sân thì chiều rộng, dài của sân là bao nhiêu m? trình bày tóm tắt lời giải và ghi kết quả.

Bài 8:

Một hỗn hợp gồm 5 chất và nặng 5327256605 g. Biết rằng tỉ lệ khối lượng của các chất là như sau: chất I và II là 2:3; chất II và III là 4:5; chất III và IV là 7:6; chất IV và V là 11:7. Xác định khối lượng các chất. trình bày tóm tắt lời giải và ghi kết quả.

Bài 9:

Tứ giác ABCD có $AC=21 cm; $ $\angle DAC = 25^ \circ ;\angle DCA = 37^ \circ ;\angle BAC = 35^ \circ ;\angle BCA = 32^ \circ $. Tính chu vi P và diện tích S của tứ giác đó. trình bày tóm tắt lời giải và ghi kết quả.

Bài 10:

Một quả bóng rổ theo tiêu chuẩn quốc tế có dạng hình cầu với bán kính $R=12,09 cm$. Người ta muốn làm một cái túi dạng hình hộp đứng bằng bìa cứng có nắp để đựng 12 quả bóng đó. Chưa tính phần diện tích để làm mép dán, thì phần diện tích bìa nhỏ nhất là bào nhiêu $cm^2$?trình bày tóm tắt lời giải và ghi kết quả.

Sửa lại đề cho rõ chút:
Cho $\vartriangle ABC$ có $\angle B = 60^ \circ ;\angle C = 45^ \circ $. Vẽ tia Bx nằm trong $\angle B$ sao cho $\angle CBx = 15^ \circ $. Vẽ tia Ay vuông góc với AB và cùng phía với tia Bx so với AB, cắt Bx tại Y. Tính $\angle YCB$.
Giải:
Dễ thấy AB<BC nên trên BC lấy D sao cho BD=BA.
Suy ra, BAD là tam giác đều và $\angle ABD = 60^ \circ < \angle BAC = 75^ \circ \Rightarrow \angle CAD = 15^ \circ = \angle CAY$.
Mà AD=AB=AY và AC chung nên $ \Rightarrow \vartriangle CAD = \vartriangle CAY \Rightarrow \angle ACD = \angle ACY = 45^ \circ \Rightarrow \angle YCB = 90^ \circ $

mình làm thế này đúng ko:
bài 1: pt $x^2 - 3x + 1 = 0$ có nghiệm x=a
$ \Rightarrow a^2 - 3a + 1 = 0 \Rightarrow a^2 = 3a - 1$

$ \Rightarrow a^4 = \left( {3a - 1} \right)^2 = 9a^2 - 6a + 1 = 9\left( {3a - 1} \right) - 6a + 1 = 21a - 8$

$ \Rightarrow a^8 = \left( {21a - 8} \right)^2 = 441a^2 - 336a + 64 = 441\left( {3a - 1} \right) - 336a + 64 = 987a - 377$

$ \Rightarrow a^{16} = \left( {987a - 377} \right)^2 = 974169a^2 - 744198a + 142129$

$ = 974169\left( {3a - 1} \right) - 744198a + 142129 = 2178309a - 832040$

$a^3 = a.a^2 = a\left( {3a - 1} \right) = 3a^2 - a = 3\left( {3a - 1} \right) - a = 8a - 3$

Mà pt $x^{16} - bx^3 + 1 = 0$ nhận x=a là nghiệm nên

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{16} - ba^3 + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow ba^3 = a^{16} + 1 \\ \Leftrightarrow b\left( {8a - 3} \right) = 2178309a - 832039 \\ \Leftrightarrow b = \dfrac{{2178309a - 832039}}{{8a - 3}} \\ \end{array}$
Tới đây thì thế a vào.

Hình như bài nỳ trong SBT thì fải
Gọi E là trung điểm CD. Do hình vuông ABCD có M,N là trung điểm AB,BC AM=CE và AM // CE AMCE là hình bình hành do đó AE//MC (1)
Dễ dàng c/m BMC = CND (c.g.c) CM = DN và $\widehat{BMC} = \widehat{CND}$
Mà $\widehat{BMC} + \widehat{BCM} = 90^o $ $\widehat{CND} + \widehat{BCM} = 90^o$
Do đó $\widehat{CIN} = 90^o$ CM DN (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE DN
Gọi AE cắt DN tại F ta có AF DN
Xét DIC có DE = CE và EF // CI nên DF = FI
Xét ADI có AF DI và DF = FI ADI cân tại A (AF vừa đường cao vừa trung tuyến)
AD = AI

bài 2 này thực chất xuất phát từ một bài toán đường tròn nhưng đã xóa đi đường tròn. Nên nếu nhìn nhận theo quan điểm của đường tròn ("lỡ tay" kéo dài CM) thì sẽ giải quyết nhanh gọn hơn.

cho em hỏi, cái định lý này chứng minh sao:
với$\left\{ \begin{gathered} a;b \in \mathbb{N} \hfill \\ (a;b) = 1 \hfill \\ ab = n^2 (n \in \mathbb{N}) \hfill \\ \end{gathered} \right.$
thì a,b là SCP.

bài này chẳng qua là chia đôi một dãy thành 2 dãy thôi.
quy trình chung 2 câu: (570-ES)
2 -> X
1 -> A
2 -> B
3 -> Y
X=X+1: A=2B+3A: Y=Y+A: X=X+1: B=3A+2B: Y=Y+B
Ấn CALC rồi ấn phím = liên tục
Kết quả:
u(10)=28595; s(10)=40149
u(15)=8725987; s(15)=13088980
u(21)=9884879423

cái này phải đụng đến lý thuyết, định nghĩa của vô hạn nhưng thứ đó tụi mình đâu có hiểu thấu đáo nên khó nói lắm

à. Máy ES thì phải bấm CACL rồi mới bấm =. Mình sót chỗ này

Thực chất 0,(9)=1 mà. Mình chứng minh thử coi
0,(9)=9*0,(1)
Mà 1/9=0,(1).
Nên suy ra, 0,(9)=9*1/9=1.

quy trình: (tắt)
1 -> D
1 -> A
2 -> X
D=D+1 : B=22X-15A : Y=17X-12A : A=B : X=Y
Ấn phím = liên tục.
Kết quả:
u(5)= -767; v(5)= -526
u(10)= -192547; v(5)= -135434
u(18)= 1055662493; v(18)= 673575382
u(19)= -1016278991; v(19)=-1217168422

Bài toán con bướm là bài toán quen thuộc đối với HSG lớp 9. Mình mới học nên post lên cho mọi người xem và đóng góp ý kiến. Mình cũng post lên một trường hợp đặc biệt của bài toán con bướm và cách giải. Có ai có cách giải nào khác hoặc trường hợp đặc biệt của bài toán con bướm khác thì post lên (kèm theo hình luôn).
=========================================================
Bài toán con bướm

Cho $(O)$ và dây $AB$ không qua tâm. $I$ là trung điểm của $AB$. Qua $I$ vẽ 2 dây $CD, EF$ sao cho $C,E$ thuộc cung AB nhỏ. $CF$ và $ED$ cắt $AB$ lần lượt tại $M,N$. Khi đó: $$ IM=IN$$

Cách 1:

Hạ $OH, OK$ thứ tự vuông góc với $CF, ED$ nên $H, K$ là trung điểm của $CF, ED$.

$I$ là trung điểm của $AB$ nên $OI \perp AB$.
Do đó, $OHMI, OKNI$ là tứ giác nội tiếp. Nên
$\angle ION = \angle IKN$
$\angle IOM = \angle IHM$
$\Rightarrow \vartriangle IFC \sim \vartriangle IDE$
$\dfrac{{IF}}{{FC}} = \dfrac{{ID}}{{DE}} \Rightarrow \dfrac{{IF}}{{2.FH}} = \dfrac{{ID}}{{2.DK}}$
$ \Rightarrow \dfrac{{IF}}{{FH}} = \dfrac{{ID}}{{DK}}$
$ \Rightarrow \vartriangle HFI \sim \vartriangle KDI$
$ \Rightarrow \angle FHI = \angle DKI$
$ \Leftrightarrow \angle IHC = \angle IKE$
$ \Leftrightarrow \angle IOM = \angle ION$
$ \Rightarrow \vartriangle OIM = \vartriangle OIN \Rightarrow IM = IN$

==========================================================
Cách 2:

Vẽ dây $DK$ của $(O)$ sao cho $DK\parallel AB$.

$OI \perp AB \Rightarrow OI \perp DK \Rightarrow IO$ là trung trực của $DK$.



Dễ chứng minh $IK = ID;\angle KIO = \angle DIO$
Nên $\angle DIM = \angle DIN$
$\angle KFC = \angle KDC = \angle DIB = \angle KIA$
Nên $MIFK$ là tứ giác nội tiếp.
$ \Rightarrow \angle MKI = \angle MFI = \angle IDN$
$ \Rightarrow \vartriangle KIM = \vartriangle DIN \Rightarrow IM = IN$

=============================================================

Mình trình bày luôn trường hợp đặt biệt của bài toán và cách giải độc đáo của bài này (theo mình nghĩ).

Cho tứ giác $BCEF$ nội tiếp $(O)$, đường kính $BC$. $I$ là giao điểm 2 đường chéo. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $OI$ tại $I$ cắt đoạn $BF, CE$, lần lượt tại $N, P$. CMR: $IN=IM$.

Gọi $A$ là giao điểm của $BF, CE$.
Dễ chứng minh $OI\perp NP$.



$\angle BFC = \angle BEC = 90^ \circ $
Nên $I$ là trực tâm tam giác $ABC$. Do đó, $AI \perp BC$.
Tam giác $AIP$ và $BOI$ có:
$\angle IBC = \angle IAC$ (cùng phụ với góc $BCE$)
$\angle PIE = \angle BIO$ (cùng phụ góc $EIP$)
$ \Rightarrow \vartriangle AIP \sim \vartriangle BOI$
$ \Rightarrow \dfrac{{IP}}{{IO}} = \dfrac{{AI}}{{OB}} \quad (1)$
Tương tự, $ \vartriangle AIN \sim \vartriangle COI$
$ \Rightarrow \dfrac{{IN}}{{IO}} = \dfrac{{AI}}{{OB}} \quad (2)$
Mà $OB=OC$ nên từ (1), (2) suy ra $\dfrac{{IN}}{{IO}} = \dfrac{{IP}}{{IO}}$. Suy ra đpcm.