Cho số n nguyên dương cho trước, chứng minh rằng
đa thức $f(x)=1+\prod_{i=1}^{n}(x^{2}+i^{2})$ không thể
phân tích thành 2 đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1
There have been 99 items by taideptrai (Search limited from 24-05-2020)
Posted by taideptrai on 04-12-2015 - 21:02 in Đa thức
Cho số n nguyên dương cho trước, chứng minh rằng
đa thức $f(x)=1+\prod_{i=1}^{n}(x^{2}+i^{2})$ không thể
phân tích thành 2 đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1
Posted by taideptrai on 09-11-2015 - 23:17 in Dãy số - Giới hạn
Cho 2 số dương x0, x1 và dãy số (xn) thoả mãn
$x_{n+1}=\frac{4max(4,x_{n}) }{x_{n-1}}$ với $n\geq 1$
Chứng minh rằng $x_{n}=x_{n+5}$ với $n\geq 1$
Posted by taideptrai on 03-11-2015 - 22:03 in Dãy số - Giới hạn
Posted by taideptrai on 03-11-2015 - 17:21 in Dãy số - Giới hạn
Cho các số dương a,b,A,B và dãy số sau:
$x_{1}=a; x_{2}=b; x_{n+1}=Ax_{n}^{\frac{2}{3}}+Bx_{n-1}^{\frac{2}{3}} \forall n\geq 2$
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm giới hạn đó
Posted by taideptrai on 20-09-2015 - 22:47 in Phương trình hàm
Cho hàm $f:\mathbb{R}+\rightarrow \mathbb{R}+$ sao cho $(f(x))^{2}\geq f(x+y)(f(x)+y)$ với mọi x,y>0
Chứng minh rằng hàm f không tồn tại
Posted by taideptrai on 12-09-2015 - 16:00 in Đa thức
Xét đa thức P(x) sao cho $P(x)=1; (P(x))^{2}=1+x+x^{100}Q(x)$ trong đó Q(x) cũng là một đa thức. Chứng minh rằng trong đa thức
$(P(x)+1)^{100}$ thì hệ số của $x^{99}$ là 0
Posted by taideptrai on 10-09-2015 - 21:51 in Bất đẳng thức - Cực trị
Cho a,b,c dương thoả mãn $\frac{1}{c^{2}}=\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}$
Chứng minh rằng $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\geq \frac{5}{3}$
Posted by taideptrai on 05-09-2015 - 11:04 in Phương trình hàm
Giả sử tồn tại hàm f thoả mãn đề bài
$x=0=>f(f(y))=2y$ với mọi $y\in \mathbb{R}$ => f(x) song ánh
SUYRA $f(f(0))=0$
$x=1;y=0=>f(1+f(0))=f(0)=>1+f(0)=0=>f(0)=-1$ (1)
nên $f(-1)=f(f(0))=0$
$y=-1;x=0=>f(0)=-2$ (2)
Từ (1) và (2) ta thầy điều mâu thuẫn
Vậy không tồn tại hàm f thoả mãn đề bài
Posted by taideptrai on 04-09-2015 - 10:30 in Bất đẳng thức - Cực trị
Cho các số thực không âm a,b,c trong đó không có 2 số nào đồng thời bằng 0
Chứng minh rằng $\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+bc}\geq 2$
Posted by taideptrai on 25-08-2015 - 21:43 in Phương trình hàm
Cho hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}+$ thoả mãn:
$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2y^{2}$ với mọi $x, y\in \mathbb{R}$
Tìm f
Posted by taideptrai on 22-07-2015 - 20:42 in Phương trình hàm
Tìm tất cả các hàm f(x): $[1;+\infty )\rightarrow [1;+\infty )$
1 ) $x\leq f(x)\leq 2x+2$
2) $xf(x+1)=(f(x)^{2})-1$
Posted by taideptrai on 11-07-2015 - 20:25 in Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
ê, đề đâu mọi người
Posted by taideptrai on 27-06-2015 - 08:47 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
someone solves the exercise 4, please
Posted by taideptrai on 27-06-2015 - 08:43 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Vì $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ nên có liên tục trên $\mathbb{R}$
à, tờ không để ý, nhưng nếu không có đạo hàm thì kết quả vẫn không đổi
Posted by taideptrai on 26-06-2015 - 09:53 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Năm nay thi quá sớm... và có sự kì lạ là nó mang tính Hình thức cao ! Không công bố điểm ... ( độ bí mật và nguy hiểm cao)
có ai giải được bài 4 không
Posted by taideptrai on 26-06-2015 - 09:51 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Bài 2. Lấy $x=y=0$ ta được $f(0)=0$. Ta có:
$f'(x)=\lim\limits_{y\to 0}\dfrac{f(x+y)-f(x)}{y}=\lim\limits_{y\to 0}\dfrac{f(y)+2xy}{y}=f'(0)+2x$
Đặt $a=f'(0)$ thì ta có $f'(x)=2x+a\Rightarrow f(x)=x^2+ax+b$
Kết hợp với $f(0)=0$ cho ta $f(x)=x^2+ax$
Hàm f đâu có liên tục mà bạn lại lấy đạo hàm
Cách giải của tôi:
Đặt $g(x)=f(x)-x^{2}$ thay vào ta có: $g(x+y)=g(x)+g(y)$ => $g(x)=ax$ (theo phương trình hàm Cauchy)=> $f(x)=ax+x^{2}$. Thử lại thấy đúng
Vậy ta có f(x)
Posted by taideptrai on 03-05-2015 - 11:32 in Bất đẳng thức - Cực trị
bạn đăng luôn cách giải đi
Posted by taideptrai on 28-04-2015 - 09:09 in Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} (2x+y-1)(\sqrt{x+3}+\sqrt{xy}+\sqrt{x})=8\sqrt{x} & & \\ 2x^{2}+2\sqrt{xy(x+3)}+2xy+3-11x=0& & \end{matrix}\right.$
Posted by taideptrai on 05-02-2015 - 23:02 in Số học
Để giải bài toán này ta sử dụng tính chất sau
Với một số nguyên tố $p$ bất kì, luôn tồn tại một số $a$ sao cho $p-1$ là số $x$ nhỏ nhất thoả mãn $a^{x}-1$ chia hết cho $p$
Dễ dàng chứng minh kết quả này bằng cách để ý số nghiệm của phương trình không vượt quá số mũ.
Nhận thấy với mọi $a$ thì $a^{25}-a$ đều chia hết cho $p$ với $p=2,3,5,7,13$ và sử dụng kết quả trên thì ngoài các số nguyên tố này sẽ không còn số nào là ước của tất cả các số dạng $a^{25}-a$ nữa.
Mặt khác với $a=p$ thì $a^{25}-a$ không chia hết cho $p^2$, do đó số phần tử của $S$ là $2^{5}=32$
tớ thấy không ổn, với a=2015! chẳng hạn
Posted by taideptrai on 21-01-2015 - 17:41 in Phương trình hàm
hàm f(x)=x cũng thỏa mãn mà bạn, Bạn xem lại giúp mình với ạ.
ừ bạn chờ tí nhé
Posted by taideptrai on 18-01-2015 - 11:59 in Phương trình hàm
Tìm hàm liên tục từ $R$ đến $R$ thỏa mãn $f(0)=0$ và $x-f(x)+f(x-f(x))=0$
Không cần đến gt hàm liên tục và f(0)=0
đặt x-f(x)=g(x) Khi đó g(g(x))= g(x)-f(g(x))
Mà f(g(x))= -g(x) theo gt nên g(g(x))=2g(x)
Xét với mỗi $x\in \mathbb{R}$ ta có dãy sau
a0=x ;
a1=g(x) ;
a2= g(g(x)) ;
........
an= gn(x) ; (kí hiệu này tự hiểu nhé)
Khi đó an+1=2an => an+1=2n+1a0. Thay n=0 suy ra a1=2a0 hay g(x)=2x => f(x)=x-g(x)= -x
Vậy f(x)= -x
Posted by taideptrai on 11-01-2015 - 06:47 in Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
Bài 1 :
a. Với $a=0$ thì dãy viết lại như sau : $\left\{\begin{matrix} u_{1}=3 & \\ u_{n+1}=\frac{1}{2}u_{n}+\frac{1}{4}\sqrt{u^{2}_{n}+3} & \end{matrix}\right.$
Th1: $$u_{n}\in \begin{bmatrix} 1;\infty \end{bmatrix}$$ (**)
Xét $u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{4}\sqrt{u^{2}_{n}+3}-\frac{u_{n}}{2}$ (*)
Giả sử $u_{n}$ là hàm tăng thì (*) $\Leftrightarrow \sqrt{u^{2}_{n}+3} > 2u_{n}\Leftrightarrow u_{n}<1$ ( vô lý )
nên $u_{n}$ là hàm giảm mà kết hợp với (**) nên $u_{n}$ có giới hạn hữu hạn .
Gọi $lim u_{n}=L$ , chuyển qua giới hạn ta có : $L=1$ nên $lim u_{n}=1$
Hiển nhiên ta có $u_{n}>0$
Th2 : $0< u_{n}\leq 1$ (***) , tương tự như trên ta cũng chứng minh được $u_{n}$ là hàm số tăng mà kết hợp với (***)
ta được $u_{n}$ tăng và bị chặn trên nên $lim u_{n}=1$
b. Th1 : $u_{n}\in \begin{bmatrix} 1;\infty \end{bmatrix}$ , chứng minh tương tự câu a nên dãy có giới hạn hữu hạn
Th2 : $0 < u_{n}\leq 1 $ ta cũng sẽ chứng minh $u_{n}$ là hàm tăng như sau :
Xét : $u_{n+1}-u_{n}=\frac{n^{2}}{4n^{2}+a}\sqrt{u^{2}_{n}+3}-\frac{1}{2}u_{n}$
Sau đó sử dụng đánh giá : $a <1$ rồi đưa về biểu thức sau : $u^{2}_{n}=\frac{12n^{4}}{12n^{4}+8n^{2}+1}<1 \rightarrow u_{n}<1$ (đúng )
nên $u_{n}$ tăng và bị chặn trên nên $u_{n}$ có giới hạn hữu hạn
Câu a của cậu cũng sai luôn rồi!!! Có đến mấy chỗ cậu ngộ nhận luôn. Làm gì có chuyện hàm không tăng thì là hàm giảm??? Nếu như xét TH như vậy thì đang còn thiếu TH, lỡ dãy nãy đánh võng quanh số 1 thì cậu làm sao???
Posted by taideptrai on 10-01-2015 - 22:16 in Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
Bài 1 : $\left\{\begin{matrix} f_{0}(x)=2 , f_{1}(x)=3x & \\ f_{n}(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^{2})f_{n-2}(x) & \end{matrix}\right.$
Áp dụng phương pháp sai phân bậc 2 ta tìm được công thức tổng quát :
$f_{n}(x)=(2x-1)^{n}+(x+1)^{n}$
Khai triển rồi nhóm lại ta được :
$f_{n}(x)=x^{n}.(2^{n}+1)+...+(-1)^{n}+1^{n}$ (*)
Để (*) chia hết cho $x^{3}-x^{2}+x$ thì $n$ là một số lẻ và được viết dưới dạng sau :
$x(x^{2}-x+1)(x^{n-3}.C_{1}+....+x.C_{n-3}+C_{n-2})$
Xét đa thức $g(x)=x^{n-1}(2^{n}+1 )+...+C^{n-1}_{n}$
$h(x)=x^{3}.C_{1}+...+C_{n-2}$
Ta có : Tổng các hệ số của đa thức $g(x)$ bằng tổng hệ số của đa thức $h(x)$ ( $h(x)$ là đa thức thương của $g(x)$ với $x^{2}-x+1$
Ta xác định được : $C_{1}=2^{n}+1$
$C_{n-2}=C^{n-1}_{n}$
Tới đây bước tính toán của em hơi khủng !!!!!
$C_{3}=C^{2}_{n}(2^{n-2}-1)+C^{1}_{n}(2^{n-1}+1)$
$C_{4}=C^{3}_{n}(2^{n-3}-1)+C^{2}_{n}(2^{n-2}+1)-2^{n}-1$
Cứ tiếp tục như thế ( Khúc sau khủng quá nên lười ghi )
Cuối cùng cân bằng hệ số giữa $C_{n-2}$ trong khai triển trên với $C_{n-2}$ trong đa thức $g(x)$
Ta tìm được : $n=3$ thỏa đề bài .
P/s : Cái khúc tính toán để em xem lại nhé ! ( Dấu $+$ , $-$ loạn xạ )
sai rồi bạn ơi!!! n là số lẻ chia hết cho 3, bài này dùng hằng đẳng thức đáng nhớ
Posted by taideptrai on 10-01-2015 - 22:14 in Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
bạn khanghaxuan làm sai rồi, đáp số là n lẻ và là bội của 3
Posted by taideptrai on 29-11-2014 - 20:56 in Bất đẳng thức - Cực trị
chứng minh rằng $\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{zx+1}+\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{3}{xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}}}\geq 2$
với mọi x, y, z dương thỏa mãn $xyz=1$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học