Cho góc vuông xOy và 2 điểm A, B nằm trên cạnh Ox (A nằm giữa O và B), điểm M bất kỳ trên cạnh Oy. Đường tròn (T) đường kính AB cắt tia MA, MB lần lượt tại 2 điểm thứ hai là C,E. Tia OE cắt (T) tại F.

1. Chứng minh 4 điểm O,A,M,E thuộc 1 đường tròn
2. Tứ giác OCFM là hình gì? tại sao?
3. CMR $OE.OF+BE.BM=OB^2$
4. Xác định M để OCFM là hình bình hành, tìm mối quan hệ OA và AB để tứ giác là hình thoi.

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là các số nguyên. Hai trong các số đó là các số nguyên tố và hiệu của chúng bằng $50$. Hãy tính giá trị nhỏ nhất có thể có của cạnh thứ ba ?

Cho $P=3^{3m^2+6n-61}+4$. Tìm tất cả các số tự nhiên m,n để P là số nguyên tố.

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $M$ là một điểm bất kì trên đường tròn. Gọi $D, E, F$ là chân các đường vuông góc từ $M$ đến $BC, CA, AB$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $DE$ đi qua trung điểm $HM$.

tìm số tự nhiên $a$ lớn nhất để $a+71$ và $4a-31$ đều là số chính phương.

Tìm các số nguyên tố $p$ sao cho $2p+1$ là lập phương của 1 số tự nhiên.

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. CMR:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{6}{a+b+c}\geq 5$

Bạn xem lại đề coi có nhầm lẫn gì không ,sao minh dựng cái hình trên máy rồi kiểm tra lại không đúng  

Không bạn ạ.

Cho tam giác vuông $ABC$ ($\widehat{A}=90^{0}$). Về phía ngoài tam giác dựng hình chữ nhật $BCDE$ có $CD=\frac{BC}{\sqrt{2}}$. Gọi $K, H$ lần lượt là giao điểm của $ED$ với $AB$ và $AC$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $BC$ đối với $AD$ và $AE$ .Chứng minh rằng $BC^{2} = BM^{2} + CN^{2}$.

Điểm M và N ở chốn nào ra vậy bạn ???   

Xin lỗi. Mình đánh bị thiếu

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ cố định, $A$ di chuyển. $E,F$ lần lượt là điểm đối xứng của $B,C$ qua $CA, AB$.

$i)$ Chứng minh đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với $EF$ luôn đi qua một điểm cố định.

$ii)$ Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Chứng minh $AK$ đi qua điểm cố định.

Bài 1:Giải các phương trình sau

a) $\sqrt{7-x}+\sqrt{x+1}=x^2-6x+13$

 

Áp dụng Bunhiacopsky cho VT:

$\sqrt{7-x}+\sqrt{x+1}\leq \sqrt{2(7-x+x+1)}$ 

<=>$\sqrt{7-x}+\sqrt{x+1}\leq4$ (1)

Mặc khác: $x^2-6x+13=(x-3)^2+4\geq 4$ (2)

(1),(2) => $\sqrt{7-x}+\sqrt{x+1}=x^2-6x+13=4$ => $x=3$

Xác định hàm số $f: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn phương trình

$mf(n)+nf(m)=(m+n)f(m^2+n^2)$

Tìm số tự nhiên n để $n^5-n+2$ là số chính phương ($n\geq 2$)

Hình như bạn chưa đề cập $x$ là gì thì phải.

xin lỗi bạn mình gõ nhầm   

Cho $(x_n)$ thỏa $x_0=0; x_1=45; x_{n+2}=3x_{n+1}+x_n$. Tìm số dư của $x_{2008}$ khi chia cho $2012$

Cho $x,y \in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+2y^2}}\geq \frac{2}{\sqrt{1+2xy}}$

Trên một mặt bàn đặt một số các đồng xu với kích cỡ không giống nhau đôi một (các đồng xu không được đè lên nhau và phải nằm sấp hoặc ngửa trên bàn). Chứng minh rằng dù ta đặt như thế nào đi nữa, cũng luôn tồn tại một đồng xu chỉ tiếp xúc được với nhiều nhất 5 đồng xu khác.
 

Cho $a, b, c >0$. CMR $(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}<(a^2+b^2+c^2)^3$

$\Leftrightarrow 2(ab)^3+2(bc)^3+2(ca)^3+3(abc)^2<(ab)^23(a^2+b^2+c^2)+(bc)^23(a^2+b^2+c^2)+(ca)^23(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow (ab)^2(3a^2-2ab+3b^2)+(bc)^2(3b^2-2bc+3c^2)+(ca)^2(3c^2-2ca+3a^2)>0$ (đúng vì $a,b,c>0$)

Đáng nhẽ ra phải như thế này chứ :$\sum (ab)^{2}(3a^2-2ab+3b^2+3c^2)>0$

Cho $x,y,z \in \mathbb{R}$. CMR: $6(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\leq 27xyz+10(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}$

Cho $a\geq b\geq c$. Tìm GTNN của $A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$.

Cho tam giác nhọn ABC. M là một điểm di đọng trên cạnh BC. Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn Ngoại tiếp các tam giác ABM,ACM tương ứng.

a. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ luôn đi qua một điểm cố định khác A.

b. Gọi O,H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, AIJ tương ứng. Hãy xác định vị trí điểm M trên BC sao cho OH nhỏ nhất.

Cho $a,b$ dương. CMR:

$\frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2b^2+3a^2}{2b^3+3a^3}\leq \frac{4}{a+b}$

Cho $a,b,c>0$   và $a^2+b^2+c^2=1$. CMR

$\frac{a}{a^3+bc}+\frac{b}{b^3+ac}+\frac{c}{c^3+bc}\geq 3$