Bổ đề : Nếu p là số nguyên tố và $p\equiv 3(mod4)$, $p|a^2+b^2$ thì $p|(a,b)$
Nếu x là số chẵn ta dễ chứng minh được phương trình vô nghiệm.
Xét x là số lẻ. Do số chính phương lẻ chia 4 dư 1 nên x chia 4 dư 1 (2)
Phương trình có dạng : $x^7+2^7=y^2+36$
Do $x^7+2^7=(x+2)(x^6-2x^5+...+64)$
mà $x+2$ chia 4 dư 3.
Vì vậy $x^7+2^7$ phải có ước nguyên tố $p\equiv 3(mod 4)$
Do đó $p|x^2+6^2\Rightarrow p|6\Rightarrow p=3$
Suy ra x chia 3 dư 1 (1)
Suy ra $9|y^2+6^2$
Mà từ (1) suy ra : $x^6-...+64\equiv 1(mod3)$
Do đó $x+2\equiv 0(mod9)$ (3)
Từ các điều trên và (2),(3) ta có thể đặt :
$x=36t+25,y=3m$
Suy ra : $(4t+3)A=m^2+2^2$
Do 4t + 3 phải có ước nguyên tố q chia 4 dư 3 nên $q|m^2+2^2\Rightarrow q|2$ ( Vô lý )