Bài 2.
Ta đặt $x=a+b$ và $y=a+c$ thì $3a+2b+c=2x+y$ với $x,y\geq 0$
Chú ý là ta có các đánh giá $a+b+c\leq 2a+b+c=x+y$ và $ab+bc+ca\leq a^2+ab+bc+ca=(a+b)(a+c)=xy$, cho nên ta chỉ cần chứng minh
\[(2x+y)^3\geq 6\sqrt{3}xy(x+y)\]
Chuẩn hóa $y=1$ thì ta cần chứng minh $8x^3+(12-6\sqrt{3})x^2+(6-6\sqrt{3})x+1\geq 0$
Xét hàm số $f(x)=8x^3+(12-6\sqrt{3})x^2+(6-6\sqrt{3})x+1$ trên $[0;\infty )$
Có $f'(x)=24x^2+12(2-\sqrt{3})x+6-6\sqrt{3}$, phương trình $f'(x)=0\Leftrightarrow 6(2x+1)(2x+1-\sqrt{3})=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$
Từ đó ta có thể suy ra được $f(x)\geq f\left(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\right)=0$
Bài toán được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi $a=0$ và $b=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}c$