Bài toán: Tìm tất cả đa thức $P(x)\,,\,Q(x)\in \mathbb{Z}[x]$ sao cho $P(Q(x))=Q(P(x))$
phuc_90's Content
There have been 79 items by phuc_90 (Search limited from 06-06-2020)
#731102 Tìm tất cả đa thức $P(x),Q(x)$ sao cho $P(Q(x))=Q(P(x))$
Posted by phuc_90 on 11-10-2021 - 13:49 in Đa thức
Ta đặt $\displaystyle \deg P( x) =\deg Q( x) =n$ và đặt $\displaystyle R( x) =P( x) -Q( x)$ với $\displaystyle \deg R( x) =k\leqslant n-1$. Ta sẽ chỉ ra $\displaystyle R( x)$ là đa thức đồng nhất hằng. Chú ý rằng ta có thể tách$P( P( x)) -Q( Q( x)) =P( P( x)) -Q( P( x)) +Q( P( x)) -Q( Q( x)) =R( P( x)) +Q( P( x)) -Q( Q( x))$Đặt $\displaystyle Q( x) =\sum _{i=1}^{n} a_{i} .x^{i}$ trong đó $\displaystyle a_{n} =1$.$Q( P( x)) -Q( Q( x)) =P( x)^{n} -Q( x)^{n} +\sum _{i=1}^{n-1} a_{i}\left[ P( x)^{i} -Q( x)^{i}\right]$Mặt khác $\displaystyle \deg\left( P( x)^{n} -Q( x)^{n}\right) =\deg\left( R( x)\left(\sum _{i=1}^{n-1} P( x)^{i} Q( x)^{n-i-1}\right)\right) =n^{2} -n+k$ nên $\displaystyle \deg( Q( P( x)) -Q( Q( x))) =n^{2} -n+k$ và $\displaystyle \deg( R( P( x)) +Q( P( x)) -Q( Q( x))) =max\left\{R( P( x)) ,n^{2} -n+k\right\} =n^{2} -n+k$ vì $\displaystyle nk\leqslant n^{2} -n+k$ nên rõ ràng đây là điều không thể xảy ra do vế trái là đa thức 0. Vậy $\displaystyle \deg R( x) =0$ hay $\displaystyle R( x) \equiv c$ và ta có $\displaystyle P( x) =Q( x) +c$ . Thay vào$Q( P( x)) +c=$$Q( Q( x) +c) +c=Q( Q( x))$Từ đây đặt $\displaystyle Q( x) =t$ thì suy ra $\displaystyle Q( t+c) +c=Q( t)$ với vô số giá trị $\displaystyle t$ nên $\displaystyle c=0$. Dẫn tới $\displaystyle P( x) \equiv Q( x)$
Lời giải này lập luận còn thiếu sót, không rõ ràng, không chính xác.
Thiếu sót: Thiếu trường hợp $deg P \neq deg Q$
Không rõ ràng: Nếu $deg P=deg Q=n$ thì hệ số của biến có số mũ cao nhất của 2 đa thức bạn đang xét tới là chúng bằng 1 hay khác 1. Nếu chúng cùng bằng 1 thì $k\leq n-1$, còn chúng khác nhau thì $k\leq n$.
Chỗ lập luận được bôi màu xanh dương. Nếu $k=n-1$ thì sao ? Lúc này $\displaystyle \deg( R( P( x)) +Q( P( x)) -Q( Q( x))) =max\left\{R( P( x)) ,n^{2} -n+k\right\} =n^{2} -n+k=n^2-1$ và $deg (P(P(x))-Q(Q(x))=n^2-1$ (ở đây tôi xem như bạn đang xét hệ số của biến có số mũ cao nhất của 2 đa thức là bằng 1) thì làm sao có điều vô lý ở đây
Không chính xác: Chỗ lập luận được bôi màu đỏ, bạn phán $VT=P(P(x))-Q(Q(x))$ bằng 0, tôi cũng chào thua
#731081 $2^x=x+1$
Posted by phuc_90 on 10-10-2021 - 14:45 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải phương trình sau trên tập số thực: $2^x=x+1$.
Đặt $f(x)=2^x-x-1$ , ta thấy $f(0)=f(1)=0$ nên $f(x)$ có nghiệm là $0\,,\,1$
Ta có $f'(x)=2^xln2-1$
Cho $f'(x)=0$ ta tìm được nghiệm của $f'(x)$ là $x_0=-\frac{ln(ln2)}{ln2}\in (0,1)$
Bây giờ, nếu $x<0$ thì $f'(x)<0$ suy ra $f(x)>f(0)=0$ hay $2^x>x+1$
Nếu $0<x\leq x_0$ thì $f'(x)<0$ suy ra $f(x)<f(0)=0$ hay $2^x<x+1$
Nếu $x_0<x<1$ thì $f'(x)>0$ suy ra $f(x)<f(1)=0$ hay $2^x<x+1$
Nếu $1<x$ thì $f'(x)>0$ suy ra $f(x)>f(1)=0$ hay $2^x>x+1$
Vậy $0\,,\,1$ là tất cả nghiệm của phương trình
#731062 $e^{A+B}=e^A\,e^B=e^B\,e^A$
Posted by phuc_90 on 09-10-2021 - 17:36 in Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Bài toán: Cho $A,\,B$ là các ma trận vuông cấp $n$, cùng lũy linh và giao hoán nhau. Đặt $e^A=\sum_{i=0}^{+\infty }\frac{1}{i!}\,A^i$
Chứng minh rằng $e^{A+B}=e^A\,e^B=e^B\,e^A$
Ma trận $A$ được gọi là lũy linh nếu tồn tại $n\in \mathbb{N}$ sao cho $A^n=0$
#731193 ĐỀ DỰ TUYỂN MÔN TOÁN NĂM 2021-2022 TRƯỜNG PTNK HCM
Posted by phuc_90 on 17-10-2021 - 15:51 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM ĐỀ DỰ TUYỂN MÔN TOÁN NĂM 2021-2022
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Ngày thi : 25/09/2021
---------------------------------------------------------- Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề
Bài 1. (5,0 điểm)
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$
a) Chứng minh rằng $a^{4n}+b^{4n}+c^{4n}+a^nb^n+b^nc^n+c^na^n\geq 6 \,\,\,,\,\,\forall n\in \mathbb{N}$
b) Hỏi bất đẳng thức trên còn đúng khi thay $n=\frac{2}{3}$ ?
Bài 2. (5,0 điểm)
Cho $n$ là số nguyên dương chẵn, có tổng các ước nguyên dương của nó là số lẻ. Chứng minh rằng tổng các ước chính phương (nhỏ hơn $n$) của $n$ sẽ không nhỏ hơn $\frac{n}{4}$
Bài 3. (5,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$, gọi $A_1\,,\,B_1\,,\,C_1$ lần lượt là các điểm đối xứng của $A\,,\,B\,,\,C$ qua $BC\,,\,CA\,,\,AB$
Chứng minh rằng $A_1\,,\,B_1\,,\,C_1$ thẳng hàng khi và chỉ khi $cosA\,cosB\,cosC\,\,=\,\,-\frac{3}{8}$
Bài 4. (5,0 điểm)
Một quốc gia có $99$ thành phố, khoảng cách giữa hai thành phố bất kì không vượt quá $1000$ km. Hai thành phố thuộc quốc gia này được gọi là "xa nhau" nếu khoảng cách giữa chúng lớn hơn hoặc bằng $500\sqrt{2}$ km. Hỏi quốc gia này có bao nhiêu cặp thành phố xa nhau ?
--------------------------- HẾT ---------------------------------
#730277 $a_1=\frac{3}{2}, a_n=\sqrt{3a_{...
Posted by phuc_90 on 10-09-2021 - 14:14 in Dãy số - Giới hạn
- $(a_n)$ là dãy dương (1): Dễ dàng quy nạp được từ công thức truy hồi
- $(a_n)$ bị chặn trong khoảng $[1;2]$ (2): Cũng đơn giản từ quy nạp ráp vào
- $(a_n)$ là dãy tăng (3): Tiếp tục quy nạp thêm lần nữa cần chứng minh $a_{n+1}^2>a_n^2$ để xài (1) ta có $a_n^2-3a_n+2\leq 0$ luôn đúng theo (2)
Từ (2), (3) có được $(a_n)$ là dãy hội tụ, quy về bài toán tìm lim ta được $L=2$
Quy về PT giới hạn $L=\sqrt{3L-2}$ với $L\in [1,2]$ thì $L=1$ cũng thỏa điều kiện. Vậy làm sao để ta loại $L=1$ ?
#730076 Chứng minh:$$\sup -A= -\inf A$$
Posted by phuc_90 on 02-09-2021 - 21:25 in Giải tích
Em giải chưa được chặt chẽ lắm anh:
$$\inf A= -x\Rightarrow -a\geq -x\Rightarrow a\leq x\Rightarrow\sup -A= x$$
Từ chỗ màu xanh thì chỉ khẳng định được $-A$ bị chặn trên hay $sup-A$ tồn tại, chứ không thể suy ra $sup-A=x$
Theo đề thì $A$ là tập con bất kì của $\mathbb{R}$ nên ta phải xét tập $A$ có bị chặn dưới hay không hay $infA=-\infty$, nếu $infA=-\infty$ thì đẳng thức trên còn đúng hay không.
Em nên dựa vào định nghĩa của supermum và infimum để chứng minh hoàn chỉnh hơn
$$supA=n\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a\leq n,\forall a\in A\\ \forall \varepsilon >0,\exists a^{*}\in A:a^{*}>n-\varepsilon
\end{matrix}\right.$$
$$infA=m\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a\geq m,\forall a\in A\\ \forall \varepsilon >0,\exists a^{*}\in A:a^{*}<m+\varepsilon
\end{matrix}\right.$$
#730023 Bị phát hiện IP là bị chặn
Posted by phuc_90 on 31-08-2021 - 14:55 in Hướng dẫn - Trợ giúp - Giải đáp thắc mắc khi sử dụng Diễn đàn
Lâu rồi mới vào diễn đàn, post bài bị nhắc nhở 1 lần rồi thành ra thế này
#730272 $a_1=\frac{3}{2}, a_n=\sqrt{3a_{...
Posted by phuc_90 on 10-09-2021 - 10:38 in Dãy số - Giới hạn
Bài toán: Cho dãy số thực $(a_n)_n$ được định nghĩa như sau
$$a_1=\frac{3}{2}, a_n=\sqrt{3a_{n-1}-2}, n\geq 2$$
Chứng minh rằng dãy $(a_n)_n$ hội tụ và tìm giới hạn của nó
#737461 CM $I + A^2$ khả nghịch và hãy tìm nghịch đảo của $I + A^2$
Posted by phuc_90 on 27-02-2023 - 17:01 in Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n \ge 2$ thỏa mãn $A^3 = 0$.
(a.) Chứng minh : $I + A + A^2$ khả nghịch và hãy tìm nghịch đảo của $I + A + A^2$
(b.) Chứng minh : $I + A^2$ khả nghịch và hãy tìm nghịch đảo của $I + A^2$
a) $(I+A+A^2)^{-1} = I-A$
b) $(I+A^2)^{-1} = I-A^2$
#731419 $(E+A)^n$
Posted by phuc_90 on 01-11-2021 - 14:51 in Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
#731363 $\sum\limits_{k = 2}^n {\frac{1}{{{S_k}}}} > 2\...
Posted by phuc_90 on 28-10-2021 - 22:28 in Bất đẳng thức - Cực trị
Cho $n\epsilon \mathbb{N}, n\geq 2$. Đặt $a_n=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}$ và $S_n=\sum_{i=2}^{n}\frac{a_i}{i}$. Chứng minh rằng với $n> 3$
$\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+...\frac{1}{S_n}> 2(\frac{1}{a_2a_3}+\frac{1}{a_3a_4}+...+\frac{1}{a_{n-1}a_n})$
Mong được thảo luận
Bổ đề 1: $a_n > \frac{2n}{n+1}\,\,\,,\,\,\forall n\geq 2$
Thật vậy, với $n=2$ thì $a_2=\frac{3}{2}>\frac{4}{3}$, giả sử $a_n > \frac{2n}{n+1}\,\,\,,\,\,n\leq k$.
Ta có $a_{k+1}=a_k+\frac{1}{k+1} > \frac{2k}{k+1}+\frac{1}{k+1}=\frac{2k+1}{k+1}>\frac{2(k+1)}{k+2}$
Vậy theo nguyên lý quy nạp bổ đề 1 được chứng minh.
Bổ đề 2: $S_n < \frac{a_na_{n-1}}{2}\,\,\,,\,\,\forall n\geq 3$
Thật vậy, với $n=3$ thì $S_3=\frac{49}{36} < \frac{33}{24}=\frac{a_2a_3}{2}$
Giả sử $S_n < \frac{a_na_{n-1}}{2}\,\,\,,\,\, n\leq k$, khi đó $S_{k+1}=S_k+\frac{a_{k+1}}{k+1} < \frac{a_ka_{k-1}}{2}+\frac{a_{k+1}}{k+1}$
Ta có $\frac{a_{k+1}a_k}{2}-\frac{a_ka_{k-1}}{2}-\frac{a_{k+1}}{k+1}$
$=\frac{a_k}{2}\left ( a_{k+1}-a_{k-1} \right )-\frac{a_{k+1}}{k+1}$
$=\frac{a_k}{2}\left ( \frac{1}{k}+\frac{1}{k+1} \right )-\frac{a_{k+1}}{k+1}$
$=\frac{\left ( 2k+1 \right )a_k-2ka_{k+1}}{2k(k+1)}$
$=\frac{\left ( 2k+1 \right )a_k-2k\left ( a_k+\frac{1}{k+1} \right )}{2k(k+1)}$
$=\frac{a_k-\frac{2k}{k+1}}{2k(k+1)}$
Theo bổ đề 1 thì $\frac{a_{k+1}a_k}{2}-\frac{a_ka_{k-1}}{2}-\frac{a_{k+1}}{k+1}>0$ hay $\frac{a_ka_{k-1}}{2}+\frac{a_{k+1}}{k+1}<\frac{a_{k+1}a_k}{2}$ hay $S_{k+1}<\frac{a_{k+1}a_k}{2}$
Theo nguyên lý quy nạp ta đã chứng minh được bổ đề 2.
Trở lại bài toán
Theo bổ đề 2, thì $\frac{1}{S_3}+...+\frac{1}{S_n}>2\left ( \frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_{n-1}a_n} \right )$
Suy ra $\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+...+\frac{1}{S_n}>2\left ( \frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_{n-1}a_n} \right )$
#731360 Cho $p\in \mathbb{P}$;$p=3k+2$. CM:...
Posted by phuc_90 on 28-10-2021 - 20:54 in Số học
Cho $p$ là số nguyên tố lẻ có dạng $3k+2$. Chứng minh rằng nếu $a^{2}+ab+b^{2}$ chia hết cho $p$ thì cả $a$ và $b$ đều cùng chia hết cho p biết rằng $a$ và $b$ đều nguyên dương
Theo định lý Fermat $\left\{\begin{matrix}a^{p}\equiv a\,\,(mod \,p)\\ b^{p}\equiv b\,\,(mod \,p)\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix}a^{p+1}\equiv a^2\,\,(mod \,p)\\ b^{p+1}\equiv b^2\,\,(mod \,p)\end{matrix}\right.$
Khi đó $\left ( a^3-b^3 \right )\left ( a^{3k}+a^{3k-3}b^3+...+a^3b^{3k-3}+b^{3k} \right )=a^{3k+3}-b^{3k+3}=a^{p+1}-b^{p+1}\equiv a^2-b^2\,\,(mod \,p)$
Ta có $p\,|\left ( a-b \right )\left ( a^2+ab+b^2 \right )=a^3-b^3$ nên $p \,| a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ $\Rightarrow$ $p\,| a-b$ hoặc $p\,| a+b$
Trường hợp: $p\,| a-b$ thì từ $p\,|a^2+ab+b^2=\left ( a-b \right )^2+3ab$ $\Rightarrow$ $p\,| 3ab$ $\Rightarrow$ $p\,| a$ hoặc $p\,| b$
Nếu $p\,| a$ thì $p\,| a-(a-b)=b$
Nếu $p\,| b$ thì $p\,| a-b+b=a$
Trường hợp: $p\,| a+b$ thì từ $p\,|a^2+ab+b^2=\left ( a+b \right )^2-ab \quad \Rightarrow \quad p\,| ab$ $\Rightarrow$ $p\,| a$ hoặc $p\,| b$
Lập luận như trên thì ta luôn có $a\,,\,b$ đều chia hết cho $p$
#730821 $\bigcup_{x\in G}x^{-1}Hx \neq G$
Posted by phuc_90 on 30-09-2021 - 21:48 in Đại số đại cương
Bài toán: Cho $H$ là một nhóm con thật sự của nhóm $G$ hữu hạn.
Chứng minh rằng $\bigcup_{x\in G}x^{-1}Hx \neq G$
#730626 Tính $\lim \frac{n}{2^n}$
Posted by phuc_90 on 22-09-2021 - 17:19 in Dãy số - Giới hạn
Em xin phép hỏi các thầy cô và bạn bè, giúp em giải câu giới hạn này mà không dùng tiêu chuẩn tỷ số D'alembert (kiến thức 11 và được phép dùng giới hạn $\lim an = 0$ khi $|an| < 1$.)
Tính $\lim \frac{n}{2^n}$
Em chân thành cảm ơn!
Ta có $2^n=(1+1)^n=C^0_n+n+C^2_n+...+C^n_n>n$ suy ra $\frac{n}{2^n}<1$
Rồi áp dụng giới hạn $\lim a_n = 0$ khi $|a_n| < 1$
#730106 Prove that $\left ( A- AB= B^{2} \right.$ và...
Posted by phuc_90 on 03-09-2021 - 21:30 in Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Let $A, B\in\mathbb{M}_{2}\left ( \mathbb{C} \right )$ such that $A- AB= B^{2}$ and $B- BA= A^{2}.$ Prove that $A= B.$
Theo điều kiện giả thiết ta có $\left\{\begin{matrix}A=(A+B)B\\B=(A+B)A \end{matrix}\right.$
Khi đó $\left\{\begin{matrix}A+B=(A+B)(A+B)\\A-B=-(A+B)(A-B) \end{matrix}\right.$
Suy ra $(A+B)(A-B)=-(A+B)(A+B)(A-B)=-(A+B)(A-B)$ hay $(A+B)(A-B)=0$
Khai triển ra ta được $A^2+BA-B^2-AB=0$ hay $B-A=0$
Vậy $A=B$
#730058 Tư vấn về sách và tài liệu nên đọc môn giải tích
Posted by phuc_90 on 02-09-2021 - 06:55 in Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp
#730307 $$1\leq a_1 \leq 2, \,\, a^{2}_{...
Posted by phuc_90 on 11-09-2021 - 17:39 in Dãy số - Giới hạn
Bài toán: Cho dãy số thực $(a_n)_n$ được xác định như sau
$$1\leq a_1 \leq 2, \,\, a^{2}_{n+1}=3a_n-2, \forall n\geq 1$$
Tìm $\lim_{n \to \infty }a_n$
#730495 $\left\{\begin{matrix}x+y+z=3\\...
Posted by phuc_90 on 17-09-2021 - 19:54 in Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
Bài toán: Giải hệ phương trình sau
$$\left\{\begin{matrix}x+y+z=3\\ x+2y^2+3z^3=6\\xy+yz+zx=2+xyz\end{matrix}\right.$$
#730504 $$1\leq a_1 \leq 2, \,\, a^{2}_{...
Posted by phuc_90 on 18-09-2021 - 13:14 in Dãy số - Giới hạn
Đã qua 1 tuần lễ không có lời giải nên mình post lời giải cho bài này
Lời giải:
Ta xét 2 trường hợp
- Nếu $a_1=1$ ta có $3a_2-2=a^{2}_{3}\geq 0 \,\, \Rightarrow \,\, a_2\geq \frac{2}{3}$ khi đó với $a_{2}^{2}=3a_1-2=1\Rightarrow a_2=1$
Giả sử $a_1=a_2=...=a_k=1$ lập luận tương tự như trên ta suy ra được $a_{k+1}=1$
Theo nguyên lý qui nạp ta chứng minh được $a_n=1 \,\,,\,\, \forall n\geq 1$ nên $\lim_{n \to \infty }a_n=1$
- Nếu $a_1\neq 1$ thì từ giả thiết suy ra $1<a_1\leq 2$ và ta đặt $a_1=1+x$ với $0<x\leq 1$
Ta có $3a_2-2=a^{2}_{3}\geq 0 \Rightarrow a_2\geq \frac{2}{3}$ và $\left\{\begin{matrix}a_{2}^{2}=3a_1-2\\4\geq 3a_1-2=3x+1\geq \left ( 1+x \right )^2\end{matrix}\right.$
Do $a_2$ là số dương nên ta suy ra được $2\geq a_2 \geq 1+x$
Giả sử $i=1,2,3,..,k$ ta có $2\geq a_i \geq 1+x$, từ $3a_{k+1}-2=a^2_{k+2}\geq 0$ suy ra $a_{k+1}$ là số dương
và $\left\{\begin{matrix}a_{k+1}^{2}=3a_k-2\\ 4\geq 3a_k-2\geq 3x+1\geq \left ( 1+x \right )^2\end{matrix}\right.$ suy ra $2\geq a_{k+1}\geq 1+x$
Theo nguyên lý qui nạp ta chứng minh được $2\geq a_n \geq 1+x \,\,,\,\, \forall n\geq 1$
Mặt khác, ta có $a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}=-a_{n}^{2}+3a_n-2=\left ( a_n-1 \right )\left ( 2-a_n \right )\geq 0$ , do $a_n, a_{n+1}$ đều là số dương nên suy ra được $a_{n+1}\geq a_n$ , rõ ràng điều này đúng với mọi $n\geq 1$
Ta thấy $(a_n)_n$ là dãy tăng và bị chặn nên hội tụ, đặt $\lim_{n \to \infty }a_n=a$ suy ra $2\geq a\geq 1+x>1$
Phương trình giới hạn $a^2=3a-2$ có nghiệm $a=2$ thỏa mãn điều kiện của $a$
#730526 $\left\{\begin{matrix}x+y+z=3\\...
Posted by phuc_90 on 19-09-2021 - 12:25 in Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
Đúng rồi ông bạn già
#730022 Giúp thành viên tìm đọc tài liệu Hình học Olympics
Posted by phuc_90 on 31-08-2021 - 14:36 in Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Hình học
Cô nhóc này inbox hỏi mình tài liệu Hình học để thi Olympics, các bạn giúp em ấy nha ??
Solving problems in geometry Insights and strategies for mathematical olympiad
#730735 Cho $\left ( G, + \right )$ là $1$ nhóm có...
Posted by phuc_90 on 27-09-2021 - 22:56 in Đại số đại cương
Cho $\left ( G, + \right )$ là $1$ nhóm có $7$ phần tử. Chứng minh $G$ là một nhóm giao hoán.
Cách 1: Lấy $a$ là phần tử bất kì của $G$ khác phần tử đơn vị , khi đó theo định lý Lagrange thì $\left | \left \langle a \right \rangle \right |$ sẽ là ước của $|G|=7$
Suy ra $\left | \left \langle a \right \rangle \right |=1$ hoặc $\left | \left \langle a \right \rangle \right |=7$ , do $a$ khác phần tử đơn vị nên ta loại $\left | \left \langle a \right \rangle \right |=1$
Vậy $\left | \left \langle a \right \rangle \right |=7=|G|$ suy ra $\left \langle a \right \rangle=G$ hay G giao hoán.
Cách 2: $(G, +)$ có 7 phần tử nên đẳng cấu với $(\mathbb{Z_7}, +)$ suy ra $G$ giao hoán.
#730736 $G\setminus H$ hữu hạn
Posted by phuc_90 on 27-09-2021 - 22:59 in Đại số đại cương
Bài toán: Cho $H$ là một nhóm con của nhóm $G$. Chứng minh rằng $G\setminus H$ hữu hạn khi và chỉ khi $G$ hữu hạn hoặc $H=G$
- Diễn đàn Toán học
- → phuc_90's Content