Cho $x,y \in \mathbb{N}^*$ thỏa mãn $x+y=2022$.
Chứng minh $xy \not \vdots 2022$

$ab=cd\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{d}{b}=k\left(k>0\right)$

$\Rightarrow a=ck,d=bk$

$a+b+c+d=ck+b+c+bk=c\left(k+1\right)+b\left(k+1\right)=\left(c+b\right)\left(k+1\right)$ $(1)$

Do $a,b,c,d,k>0$ nên từ $(1)$ suy ra $a+b+c+d$ là hợp số

Nhầm rồi kìa bạn ơi, đoạn này phải là $ab=cd\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{d}{b}$ chứ 

Cảm ơn b đã nhắc mình đã sửa lại rồi 

Giải phương trình: $10x^{2}+6x=\sqrt{\frac{4x+3}{5}} (1)$

ĐKXĐ: $x\ge -\frac{3}{4}$

$\left(1\right)\Rightarrow \left(10x^2+6x\right)^2=\frac{4x+3}{5}$

$\Leftrightarrow 500x^4+600x^3+180x^2-4x-3=0$

$\Leftrightarrow \left(50x^2+20x-3\right)\left(10x^2+8x+1\right)=0$

...
B giải nốt nghiệm r thử lại nhé

 Ta có: $6x^{2}+8xy+11y^2=(\sqrt{6}x+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}y)^{2}+\frac{25}{3}y^{2}$

 

Anh cho em hỏi làm sao để tách được như thế này ạ 

B1: Cho $x,y,z>0, x+y+z=3$. Tìm Max $P=\frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{y^2-yz+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{z^2-zx+x^2}}$

B2: Cho $x,y,z>0, x+y+z=3$. Tìm Min $P=\sum \sqrt{6x^2+8xy+11y^2}$

cho a;b >0 và $a^{3}+b^{3}+6ab\leq 8$

Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{3}{ab}+ab$

Nãy lười gõ $\LaTeX$
$(gt) \Leftrightarrow (a+b)^3+6ab-3ab(a+b)-8\leqslant 0$

$\Leftrightarrow (a+b-2)(a^2+b^2+ab+2a+2b+4)\leqslant 0$

$\Leftrightarrow a+b\leqslant 2$ (vì $a,b>0$)

Thanks bạn 

Thiếu lập luận rồi bạn ơi, sao đùng cái $(n+1)(n^2-n+2)$ là hợp số liền được

 

 

$n\in ℕ^∗\Rightarrow \hept{\begin{matrix}n^3+n+2>n+1>1\\n^3+n+2>n^2-n+2=n\left(n-1\right)+2\ge 2>1\end{matrix}}$

Do đó $n^{3}+n+2=(n+1)(n^{2}-n+2)$ là hợp số

Từ gt, dễ dàng biến đổi ra được: $a+b\leqslant 2$

Ta có: $P=(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab})+(\frac{2}{2ab}+ab)+\frac{3}{2ab}\geqslant \frac{4}{(a+b)^2}+2\sqrt{\frac{1}{ab}.ab}+\frac{6}{(a+b)^2}=\frac{9}{2}$

Vậy $P_{Min}=\frac{9}{2}$

Biến đổi gt kiểu gì v bạn 

Giải pt 

a, $\left(x+1\right)\left(2\sqrt{x^2+3}-x^2\right)+\sqrt[3]{3x^2+5}=5x+3$

b, $\frac{3}{\sqrt{x^2+4}}+6=2\sqrt{\frac{x^3+3x-3}{3x+2}}+x^2$

c, $\left(x+7\right)\left(x^2-9x+1-\sqrt[3]{20x^2+102x-121}\right)+63x+1=0$

d, $\left(2-\frac{4}{x}\right)\left(\sqrt{x-1}-1\right)=\frac{9x^2-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}$

Cho a,b là hai số nguyên thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+ab+3(a+b)+2023$ chia hết cho 5. CMR: a-b chia hết cho 5.

$a^2+b^2+ab+3(a+b)+2023⋮5$

$\Rightarrow 4\left(a^2+b^2+ab+3(a+b)+2023\right)⋮5$
$\Rightarrow \left(2a+b+3\right)^2+3\left(b+1\right)^2+4.2023-12⋮5$

$\Rightarrow \left(2a+b+3\right)^2+3\left(b+1\right)^2⋮5$

Đặt $x=\left(b+1\right)$, $y=\left(2a+b+3\right)$ $\Rightarrow y^2+3x^2\equiv 0\left(mod5\right)$

Do $y^2$, $x^2$ là scp 

$\Rightarrow y^2\equiv 0,1,4\left(mod5\right)$ 

$x^2\equiv 0,1,4\left(mod5\right)$, $\Rightarrow 3x^2\equiv 0,2,3\left(mod5\right)$

Xét các TH

TH1: $y^2\equiv 0\left(mod5\right)$ mà  $y^2+3x^2\equiv 0\left(mod5\right)$

$\Rightarrow 3x^2\equiv 0\left(mod5\right)$

${\begin{matrix}2a+b+3\equiv 0\left(mod5\right)\\b+1\equiv 0\left(mod5\right)\end{matrix}\Rightarrow \left(2a+b+3\right)-3\left(b+1\right)=a-b\equiv 0\left(mod5\right)}$

$\Rightarrow a-b⋮5$
Các th còn lại b tự cm nhé 

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $13a + 5b + 12c = 9$. Chứng minh rằng

$\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\leqslant1$

(Ac giúp e bằng UCT vs ạ)

Bài này thì mình có cách này ko biết có thoả mãn yêu cầu của bạn ko:))
Ta có $\frac{ab}{2a+b}=\frac{1}{\frac{2}{b}+\frac{1}{a}}=\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}\leqslant\frac{2b+a}{9}$. Tương tự, ta sẽ có $\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\leqslant\frac{13a+5b+12c}{9}=1$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{3}{10}$

cách này thì mik đã lm rồi dù s cũng cảm ơn bạn mik đang tìm theo hướng UCT xem có đc không 

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$

Tìm Min $P=\sum \frac{\left(a+b\right)\sqrt{1+c^2}}{c}$

Ta có: $P=\frac{(a+b)\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}{c}+\frac{(b+c)\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{a}+\frac{(c+a)\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}{b}=\frac{(a+b)\sqrt{(c+a)(c+b)}}{c}+\frac{(b+c)\sqrt{(a+b)(a+c)}}{a}+\frac{(c+a)\sqrt{(b+a)(b+c)}}{b}\geqslant \frac{(a+b)(c+\sqrt{ab})}{c}+\frac{(b+c)(a+\sqrt{bc})}{a}+\frac{(c+a)(b+\sqrt{ca})}{b}=2(a+b+c)+\frac{\sqrt{ab}(a+b)}{c}+\frac{\sqrt{bc}(b+c)}{a}+\frac{\sqrt{ca}(c+a)}{b}\geqslant 2(a+b+c)+\frac{2ab}{c}+\frac{2bc}{a}+\frac{2ca}{b}\geqslant 4(a+b+c)\geqslant 4.\sqrt{3(ab+bc+ca)}=4\sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

a cho em hỏi tí dòng 3 là dùng bđt nào ạ

Giải các hệ pt sau

1,$\left\{{\begin{matrix}\frac{xy}{x+y}=1-z\\\frac{yz}{y+z}=2-x\\\frac{zx}{z+x}=2-y\end{matrix}}\right.$

2,$\left\{{\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{y}+\frac{1}{x+z}=\frac{1}{3}\\\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}\end{matrix}}\right.$

3,$\left\{{\begin{matrix}x^2-xy-xz+z^2=0\\x^2-xz-yz+3y^2=2\\y^2+xy+yz-z^2=2\end{matrix}}\right.$

$x^4-4x^3-19x^2+106x-120=0$

$\Leftrightarrow \left(x^2-5x+6\right)\left(x^2+x-20\right)=0$

$\Leftrightarrow \left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x^2+x-20\right)=0$

$\Leftrightarrow \left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x+5\right)=0$

Tập nghiệm của pt là S={2;3;4;-5}

Cách làm

Xét đa thức $f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ với $a\ne 0$

Khi đó 

$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)$

$\Leftrightarrow ax^{4\: }+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x^2-Sx+P\right)\left(x^2-S'x+P'\right)$

Trong đó

$\hept{\begin{cases}\orbr{\begin{cases}S=x_1+x_2=x_1+x_3=x_1+x_4=x_2+x_3=x_2+x_4=x_3+x_4\\S'=x_3+x_4=x_2+x_4=x_2+x_3=x_1+x_4=x_1+x_3=x_1+x_2\end{cases}}\\\orbr{\begin{cases}P=x_1x_2=x_1x_3=x_1x_4=x_2x_3=x_2x_4=x_3x_4\\P'=x_3x_4=x_2x_4=x_2x_3=x_1x_4=x_1x_3=x_1x_2\end{cases}}\end{cases}}$

Khi tìm đc S;S';P;P' thì bài toán sẽ đc giải quyết 

Quy trình ép tích 

Bước 1

Bấm máy tính tìm các nghiệm $x_1;x_2;x_3;x_4$

Gán $x_1\rightarrow A;x_2\rightarrow B;x_3\rightarrow C;x_4\rightarrow D$

Dùng máy tính dò tìm S;S';P;P' hợp lí nhất có thể

Dự đoán $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x^2-Sx+P\right)\left(x^2-S'x+P'\right)$

Bước 2: Ép tích theo kết quả biết trước

$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x^2-Sx+P\right)\left(x^2-S'x+P'\right)$

P/s cách này hơi khó hiểu nhưng nếu hiểu đc nó sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán khó

Giải pt

$a,\sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}-2\sqrt[3]{x-1}-\left(x-5\right)\sqrt{x-8}-3x+31=0$

$b,\sqrt[3]{162x^3+2}-\sqrt{27x^2-9x+1}=1$

$c,\sqrt[3]{x^2}+\sqrt{x^2+8}-2=\sqrt{x^2+15}$

Bài 1. Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp là 0, Chứng minh với mọi điểm M thuộc (O) thì trung điểm của HM thuộc đường tròn Euler.

Bài 2. Cho tam giác ABC, P là một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của P trên các đường thẳng BC,AC,AB. Chứng minh rằng D,E,F cùng thuộc một đường thẳng. (Đường thẳng Simson ứng với P của tam giác ABC).

Giải pt bằng phương pháp đặt ẩn phụ

a,$8x^2-8x+\sqrt{1-3x}=\sqrt{1+x}$

b,$\left(\frac{x-3}{x-1}\right)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=\left(2x+3\right)\sqrt{2x+1}$

c,$x+5\sqrt{1-\sqrt{1-x}}=6\sqrt{1-x}$

d,$\left(x+5\right)\sqrt{x+1}+1=\sqrt[3]{3x+4}$

Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ (I) nội tiếp và đường tròn (K) bàng tiếp trong góc A. Đường tròn (K) tiếp xúc AB,AC và BC thứ tự tại D,E,F. Gọi r và R là bán kính (I) và (K). Chứng minh rằng:

a, A,I,K thẳng hàng 

b,Sabc=R.r

Cho $x,y$ nguyên thỏa mãn $xy-47⋮24$. Chứng minh rằng $x^3+y^3⋮72$

Cho x,y,z dương. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{x}+\frac{9}{x+y+z}\geq 4\sum \frac{1}{x+y}$

Cho a,b,c là các số thực dương.CMR

$\sum \frac{a^2\left(a+2b\right)}{\left(a+b\right)^2}\geqslant \frac{3}{4}(a+b+c)$

(lm giúp e = UCT vs ạ)