Do $- \pi < \alpha < 0 \Rightarrow \sin{\alpha} < 0 \Rightarrow \cos{\alpha} < 0$ vì $\tan{\alpha} > 0$

Ta có:
$\cos^2{\alpha} = \dfrac{1}{1 + \tan^2{\alpha}} = \dfrac{4}{5} \Rightarrow \cos{\alpha} = \dfrac{-2}{\sqrt{5}}$

$\Rightarrow \sin{\alpha} = \dfrac{-1}{\sqrt{5}} \Rightarrow \cot{\alpha} = 2$

#Đào_mộ_team

Giải

Đặt $A_i$: " Lấy được thùng loại i" ( i = 1, 2)

H: " Lấy được 1 chi tiết tốt, 1 chi tiết xấu"

{$A_1, A_2$} là 1 nhóm đầy đủ biến cố.

Theo giả thiết, $P(A_1) = \dfrac{6}{10}; P(A_2) = \dfrac{4}{10}$

$P(H/A_1) = \dfrac{C_8^1.C_2^1}{C_10^2} = \dfrac{16}{45}; P(H/A_2) = \dfrac{C_6^1.C_4^2}{C_10^2} = \dfrac{8}{15}$

a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
$P(H) = P(A_1)P(H/A_1) + P(A_2)P(H/A_2) = \dfrac{32}{75}$

b) Áp dụng công thức Bayes:

$P(A_1/H) = \dfrac{P(A_1).P(H/A_1)}{P(H)} = 0,5$

c) Đặt $B_i$: "Chi tiết tốt và xấu lấy ra thuộc thùng loại i" (i = 1,2)

G: "Chi tiết lấy ra thứ 3 là tốt"

{$B_1, B_2$} là nhóm đầy đủ biến cố:

Theo giả thiết: $P(B_1) = P(A_1/H) = 0,5; P(B_2) = P(A_2/H) = 0,5$

$P(G/B_1) = \dfrac{7}{8}; P(G/B_2) = \dfrac{5}{8}$

Áp dụng công thức đầy đủ xác suất: $P(G) = 0,75$  

Giải

Ta có: $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x - 2} = x + 3 + \dfrac{7}{x - 2}$

Đặt $A\left (a; a + 3 + \dfrac{7}{a - 2} \right )$ và $ B\left (b; b + 3 + \dfrac{7}{b - 2} \right )$

Khi đó, để A, B đối xứng với nhau qua d thì: $\left\{\begin{matrix}AB \perp d\\d_{(A; (d))} = d_{(B; (d))}\end{matrix}\right.$

Hệ số góc của AB là:
$k_{AB} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{b - a + \dfrac{7}{b - 2} - \dfrac{7}{a - 2}}{b - a} = 1 - \dfrac{7}{(a - 2)(b - 2)}$

Khi đó, để $AB \perp (d)$ thì: $k_(d).k_{AB} = -1 \Rightarrow k_{AB} = -1 \Rightarrow \dfrac{1}{(a - 2)(b - 2)} = \dfrac{2}{7}$

Ta có:

$d_{A; (d)} = \dfrac{\left | a + 1 - (a + 3 + \dfrac{7}{a - 2})\right |}{\sqrt{2}} = \dfrac{\left | 2 + \dfrac{7}{a - 2}\right |}{\sqrt{2}}$

Tương tự: $d_{B; (d)} = \dfrac{\left | 2 + \dfrac{7}{b - 2}\right |}{\sqrt{2}}$

Vậy:
$ d_{A; (d)} = d_{B; (d)} \Leftrightarrow \left | 2 + \dfrac{7}{a - 2}\right | =\left | 2 + \dfrac{7}{b - 2}\right | $

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}2 + \dfrac{7}{a - 2} = 2 + \dfrac{7}{b - 2}\\2 + \dfrac{7}{a - 2} = - 2 - \dfrac{7}{b - 2}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}a = b\\\dfrac{1}{a - 2} + \dfrac{1}{b - 2} = \dfrac{-4}{7}\end{matrix}\right.$

Vì A, B phân biệt nên $a \neq b$. Vậy, ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{(a - 2)(b - 2)} = \dfrac{2}{7}\\\dfrac{1}{a - 2} + \dfrac{1}{b - 2} = \dfrac{-4}{7}\end{matrix}\right.$

Hệ vô nghiệm.

Giải

Trường hợp 1. BO // CD

Qua M, dựng MK song song với BO . Suy ra: MK //CD.

Suy ra: K $\in$ (MCD)

Vậy: CDK chính là thiết diện của (CDM) với hình chóp.

Trường hợp 2. BO cắt CD

Trên mặt phẳng (BCD)¸ gọi H = BO $\cap$ CD

Trên mặt phẳng (BAH), kéo dài HM cắt AB tại K. (K thuộc đoạn thẳng AB)

Nối K với C và D, tam giác CDK chính là thiết diện tạo bởi (CDM) với hình chóp.

Thật vậy:

Vì H $\in$ CD nên H $\in$ (CDM) mà M $\in$ (CDM)

Vì vậy K = MH $\cap$ AB $\in$ (CDM)

Do đó: CKD chính là thiết diện cần tìm.

Chú ý rằng: Ở cả 2 TH, nếu K nằm ngoài đoạn AB thì (CDM) có thiết diện với hình chóp là đoạn CD

Giải

ĐK: $x \leq 4; y \leq \dfrac{3}{2}; x \geq \dfrac{8y}{7}$ và $x \geq \dfrac{9y}{7}$

Đặt $\sqrt{4 - x} = a; \sqrt{3 – 2y} = b \, (a, b \geq 0)$

Phương trình (1) của hệ tương đương:
$(2000 + 3a^2)a - (2000 + 3b^2)b = 0 \Leftrightarrow 3(a^3 - b^3) + 2000(a - b) = 0$

$\Leftrightarrow (a - b)\left [3(a^2 + ab + b^2) + 2000\right ] = 0 \Leftrightarrow a = b \Rightarrow 2y = x - 1$

Thế $2y = x - 1$ vào phương trình (2) của hệ, ta được:
$$2\sqrt{3x + 4} + 3\sqrt{5x + 9} = x^2 + 6x + 13$$

Với điều kiện $x \geq \dfrac{-4}{3}$, phương trình trên tương đương:

$x^2 + x + 2\left (x + 2 - \sqrt{3x + 4}\right ) + 3\left (x + 3 - \sqrt{5x + 9}\right ) = 0$

$\Leftrightarrow x^2 + x + \dfrac{2(x^2 + x)}{x + 2 + \sqrt{3x + 4}} + \dfrac{3(x^2 + x)}{x + 3 + \sqrt{5x + 9}} = 0$

$\Leftrightarrow (x^2 + x)\left ( 1 + \dfrac{2}{x + 2 + \sqrt{3x + 4}} + \dfrac{3}{x + 3 + \sqrt{5x + 9}}\right ) = 0$

Do $x \geq \dfrac{-4}{3} \Rightarrow 1 + \dfrac{2}{x + 2 + \sqrt{3x + 4}} + \dfrac{3}{x + 3 + \sqrt{5x + 9}} > 0$

Vậy $x^2 + x = 0 \Rightarrow \left[\begin{matrix}x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{-1}{2}\\x = -1 \Rightarrow y = -1\end{matrix}\right.$

• $AB = AC = \sqrt{(\sqrt{m})^2 + \left [ - m^2 + 2m - 1 - (2m - 1)\right]^2} = \sqrt{m + m^4}$
• $BC = 2\sqrt{m}$

Giải

Giải

Giải

Giải

Giải

Giải

Giải

b) Không biết là đề có bị nhầm không nhỉ? Mà thôi, cứ làm theo đề bạn đưa cũng được hén

• TXĐ: D = R
• $\lim_{x \rightarrow \pm \infty} = + \infty$
• $y’ = 6x^5 - 4x^3$; $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm \sqrt{\dfrac{2}{3}}$
• Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị​.

Giải

Ta có:
$\dfrac{\sin{(A - B)}}{\sin{(A + B)}} = \dfrac{\sin{A}\cos{B} - \sin{B}\cos{A}}{\sin{C}}$

$= \dfrac{\dfrac{a}{2R}.\dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} - \dfrac{b}{2R}.\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}}{\dfrac{c}{2R}}$

$= \dfrac{\dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2c} - \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}}{c} = \dfrac{a^2 - b^2}{c^2}$

Vậy đẳng thức ban đầu tương đương: $a^2 + b^2 = c^2$

Khi đó, tam giác ABC vuông tại C. 

Giải hệ $\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{\frac{x^9+18y-27x-29}{3}}-\sqrt{x-y-1}=2x+1\sqrt{x^2+x-2} \\ x(x^3+2xy-2x+2)+(y-2)^2+7=6\sqrt[3]{4(x-y+1)} \bigstar\end{matrix}\right.$

Giải

ĐK : $\left\{\begin{matrix} x - y - 1 \geq 0 \\ x^2 + x - 2 \geq 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \geq y + 1 \\ x^2 + x - 2 \geq 0\end{matrix}\right.$

Phương trình $\bigstar$ tương đương:

$x^4 + 2x^2y - 2x^2 + 2x + y^2 - 4y + 11 = 6\sqrt[3]{4(x - y + 1)}$

$\Leftrightarrow (x^2 + y)^2 - 2(x^2 + y) + 2(x - y + 1) + 8 = 6\sqrt[3]{4(x - y + 1)}$

$\Leftrightarrow (x^2 + y - 1)^2 + 2(x - y + 1) + 8 = 6\sqrt[3]{4(x - y + 1)}$

Do $x - y - 1 \geq 0$ nên $x - y + 1 > 0$

Vì vậy, áp dụng BĐT Cô si, ta có:

$2(x - y + 1) + 8 = 2(x - y + 1) + 4 + 4 \geq 3\sqrt[3]{32(x - y + 1)} = 6\sqrt[3]{4(x - y + 1)}$

Do đó: $VT \geq VF$. Vậy, phương trình có nghiệm khi BĐT xảy ra dấu "=", tức ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} x^2 + y - 1 = 0\\ 2.(x - y + 1) = 4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2 + x - 2 = 0\\ y = x - 1\end{matrix}\right.$

- Nếu x = 1 thì y = 0

- Nếu x = -2 thì y = -3

Thay vào phương trình thứ nhất của hệ và đối chiếu điều kiện để lấy nghiệm.

Tái bút: Dấu hoặc LATEX gõ như thế nào nhỉ?