Mình biết cấu trúc của $\sigma-$đại số Borel trên $\mathbb{R}^N$ được sinh bởi các hình hộp mở nhưng mình không thấy nó liên hệ gì với việc các tập mở trong Y thuộc VP.
Mình nghĩ đó là trọng điểm của bài này. Tức là chứng minh các hộp mở đó được sinh ra bởi tập $\{\Pi (-\infty, a_i)\}$. Mình thử chứng minh trường hợp $n=1$, bạn có thể sửa lại lời giải cho $n$ tổng quát, hay dùng quy nạp.
Ta muốn chứng minh với mọi $a,b \in R$, $(a,b)$ được sinh ra bằng đại số $\sigma$ của $X=\{(-\infty, c)\}$. Để xem, $[\alpha,b)=(-\infty,b) \cap (R-(\infty,\alpha)) \in A_\sigma(X)$, với mọi $\alpha <b$. Ta có thể chọn $\alpha_n=a+ 1/n$. Như vậy, $(a,b)= \cup [a+1/n,b) \in A_\sigma(X).$
Như vậy ta có, $B( R) \subset A_\sigma(X)$ (thật ra là bằng nhau). Sau đó, $B(Y)=\{A \cap Y: A \in B( R)\} \subset \{A \cap Y: A \in A_\sigma(X)\} \subset VP$.
Dấu $\subset$ cuối cùng không dễ thấy trực tiếp, nếu bạn không tin hay không dễ thấy, thì mình sẽ suy nghĩ cách chứng minh cho dấu đó.