Xét tính đúng sai của mệnh đề:
"Vì mặt trời mọc ở phuơng Đông nên axit làm đổi màu quỳ tím"

Ta gọi :
$P $ là mệnh đề "mặt trời mọc ở phuơng Đông" , $Q$ là mệnh đề "axit làm đổi màu quỳ tím"
Mệnh đề đầu bài trở thành : $P\Rightarrow Q$
Mệnh đề đúng khi $P$ đúng mà mệnh đề "mặt trời mọc ở phuơng Đông" đúng nên mệnh đề"Vì mặt trời mọc ở phuơng Đông nên axit làm đổi màu quỳ tím" đúng

Cho tứ diện $ABCD$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ song song với $AB$ và $CD$ lần lượt cắt $AC$, $BC$, $BD$, $AD$ tại $M$, $N$, $P$, $Q$.
a. Xác định hình tính của $MNPQ$.
b. Tìm vị trí của điểm $M$ trên $AC$ để ${S_{MNPQ}}$ lớn nhất.

hình bạn tự vẽ nha
a) Ta có :
$\left\{\begin{matrix} AB//(\alpha )\\ AB\subset (ABC) \\ (\alpha )\cap (ABC) =MN \end{matrix}\right.\Rightarrow MN//AB$
$\left\{\begin{matrix} AB//(\alpha )\\ AB\subset (ABD) \\ (\alpha )\cap (ABD) =PQ \end{matrix}\right.\Rightarrow PQ//AB$
Suy ra : MN//PQ(//AB)
CM tương tự, ta có : MQ//PN(//DC)
Vậy thiết diện MNPQ là hình bình hành.
b) M là trung điểm AC.
p/s; mọi người xem thử, có gì sai sót mong các bạn bỏ qua

Bài 1 ( đề quốc gia 2005) :
Xét dãy số thực $(x_{n})$ cho bởi :
$\left\{\begin{matrix} x_{1}=a & \\ x_{n+1}= 3x_{n}^{3}-7x_{n}^{2}+5x_{n} & \end{matrix}\right.$
Xác định a để $(x_{n})$ có giới hạn .Tìm giới hạn đó.
Bài 2 : (áp dụng định lý lagrang)
Tìm giới hạn của dãy $(u_{n})$ cho bởi :
$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2011 & \\ u_{n+1}=\frac{\pi }{8}(cosu_{n}+\frac{cos2u_{n}}{2}+\frac{cos3u_{n}}{3}) & \end{matrix}\right.$ , $n\geq 1.$
Bài 3 : (áp dụng định lý lagrang)
Cho dãy $(u_{n})$ :
$\left\{\begin{matrix} u_{1}=a & \\ u_{n+1}=ln(3+cosu_{n}+sin3u_{n})-2008,\forall n\epsilon N^{*} & \end{matrix}\right.$
CMR: $(u_{n})$ hội tụ.
p/s : Mọi người có bài tập nào tìm giới hạn dãy mà sử dụng lagrang thì post lên nha ^^

Bài 2 đã có trên báo toán học và tuổi trẻ, còn bài 3 là đề dự bị VMO 2008 thì phải, xem thêm ở đây:

Thanks bạn !
Bạn có thể giải quyết Bài 1 không

Lang thang trên mạng thấy có câu đố hay
Mọi người tham quan rồi trả lời xem:
Có con cọp cắn con cọp con, con của con cọp cạnh con cọp cha của con con cọp có con cắn con cọp con của con con cọp cạnh con cọp cha con cọp cắn con cọp con con của con cọp cạnh con cọp cha của con con cọp có con cắn con cọp con của con con cọp cạnh con cọp con cọp cắn con cọp con, con của con cọp cạnh con cọp cha của con con cọp có con cắn con cọp con của con con cọp cạnh con cọp cha con cọp cắn con cọp con con của con cọp cạnh con cọp cha của con con cọp có con cắn con cọp con của con con cọp cạnh .....

Cho © : $x^2+y^2-2x-6y-15=0$, (C'): $x^2+y^2-2y-8=0$
Chứng minh 2 đường tròn cắt nhạu tại 2 điểm phân biệt A,B. Viết phương trình đường thẳng AB

Ta thấy :
(C) có tâm $I(1;3)$ , bán kính $R_{1}=5$
(C') có tâm $I'(0;1)$, bán kính $R_{2}=3$
Nhận thấy : $II'< R_{1}+R_{2}$ (vì $\sqrt{5}< 8$)
suy ra (C) và (C') cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A,B
Do đó :
tọa độ của A, B thỏa mãn PT (C) và ( C')
Lấy 2PT trừ cho nhau ta được đường thẳng đi qua hai điểm A,B là :
$2x+4y+7=0$

Cho tam giác ABC có diện tích bằng $\frac {3}{2}$. A(2;-3); B(3;-2), trọng tâm G $\in d$ 3x-y-8=0. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Sơ lược cách giải :
Từ tọa độ các điểm $A,B$ viết được PT đường thẳng $AB$ và độ dài đoạn $AB$
Có diện tích tính được độ dài đường cao $CH$, từ đó ta có một PT biểu diễn mối quan hệ $x_{C}; y_{C}$ thông qua công thức tính khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $AB$
lại có $3x_{G}-y_{G}=8$, thay $x_{G} = \frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}; y_{G} = \frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}$ ta được một PT nữa biểu diễn mối quan hệ $x_{C}; y_{C}$
giải hệ tính được tọa độ điểm $C$
áp dụng công thức $S= p.r$ ta tính được bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

Bertrand Russell từng viết rằng :" Toán học nắm giữ không chỉ sự thật mà cả vẻ đẹp tối thượng ,một vẻ đẹp lạnh lùng và mộc mạc như của một tác phẩm điêu khắc, tinh khiết và hoàn hảo tuyệt vời, chỉ có ở nghệ thuật vĩ đại nhất ".
bạn thử tham khảo ở đây xem http://forum.doremiv...n-s%E1%BB%91!!!

Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z$ sao cho
$$3^{x}+4^{y}=7^{z}$$

Nhận thấy $x=y=z=1$ là một nghiệm nguyên dương của PT. Ta c/m đó là nghiệm nguyên dương duy nhất. Thật vậy :
Xét $x,y,z\geq 2$
_Nếu $x=2k(k\epsilon N^{*})$ thì :
$PT\Leftrightarrow 9^{k}+4^{y}=7^{z}$
Vì $9\equiv 1 (mod8)$ , $4^{y}\equiv 0 (mod8)$ với $y\geq 2$ nên $9^{k}+4^{y}\equiv 1(mod8)$
Mà $7^{z}\equiv (-1)^{z}(mod8)$
Do đó $z$ phải chẵn . Đặt $z= 2t (t\epsilon N^{*})$
$PT\Leftrightarrow 3^{x}+2^{2y}= 7^{2t}\Leftrightarrow 3^{x}= (7^{t}-2^{y})(7^{t}+2^{y})$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3^{u}=7^{t}+2^{y} & \\ 3^{v}=7^{t}-2^{y} & \end{matrix}\right.(u,v\epsilon N, u+v=x)$
$\Rightarrow 3^{u}+3^{v}=2.7^{t}$
Ta thấy $2.7^{t}\equiv 2(mod3)$
-Nếu $v=0$ thì $2.7^{t}= 3^{u}+1 \equiv 1(mod3)$ (loại )
-Nếu $v> 0$ thì $2.7^{t}= 3^{u}+3^{v}\equiv 0 (mod3)$ (loại )
Vậy với $x=2k$ PT vô nghiệm
_Nếu $x=2k+1(k\epsilon N^{*})$ thì
$PT\Leftrightarrow 3^{2k+1}+4^{y}=7^{z}\Leftrightarrow 3.9^{k}+4^{y}=7^{z}$
Dễ thấy $3.9^{k}+4^{y}\equiv 3(mod8)$ (chú ý $y\geq 2$)
còn $7^{z}\equiv (-1)^{z}= \pm 1(mod8)$
Vậy với $x=2k+1$ PT vô nghiệm
KL: $x=y=z=1$ là nghiệm nguyên dương duy nhất

Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình: $x^{3}-6x^{2}+11x+a-6=0 $ có 3 nghiệm nguyên phân biệt.

Mình nêu hướng, bạn tham khảo nhé :
$PT\Leftrightarrow x^{3}-6x^{2}+11x-6=a$
Khảo sát hàm số, lập bảng biến thiên biện luận :
$f(x)= x^{3}-6x^{2}+11x-6$

Cho h/s © : $y = - x^3 + 3x^2 - 2 $ tìm những điểm trên đường thẳng $ y = 2 $ mà từ đó kẻ đến © đúng 3 tiếp tuyến.

Lấy điểm $M(x_{0}; 2)$ thuộc đường thẳng $y=2$
Gọi PT đường thẳng $d$ qua $M$ là : $y=k(x-x_{0})+2$
$d$ tiếp xúc với $(C) $ khi HPT sau có nghiệm :
$\left\{\begin{matrix} -x^{3}+3x^{2}-2=k(x-x_{0})+2 (1) & \\ -3x^{2}+6x=k (2) & \end{matrix}\right.$
Thế $(2) $ vào $(1) $ ta được :
$-x^{3}+3x^{2}-2=(-3x^{2}+6x)(x-x_{0})+2$
$\Leftrightarrow 2x^{3} -(3+3x_{0})x^{2}+6x_{0}x-4= 0$
$\Leftrightarrow (x-2)\left [ 2x^{2} +(1-3x_{0})x+2\right ]= 0$ $(3)$
Để qua M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị $(C)$ thì PT $(3)$ phải có ba nghiệm phân biệt
hay PT :
$f(x)=2x^{2} +(1-3x_{0})x+2=0$ có hai nghiệm phân biệt $x\neq 2$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta > 0 & \\ f(2)\neq 0 & \end{matrix}\right.$
...............đến đây nhường bạn

Bài toán. Cho đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 8$ và điểm $A = \left( { - 3; - 2} \right)$. Tìm trên $\left( C \right)$ điểm $M$ sao cho $MA$ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Ta thấy : đường tròn $\left( C \right)$ có tâm$I(1;2)$ và bán kính $R = 2\sqrt{2}$.
$A(-3;-2)$ nên $IA = 4\sqrt{2}$, do đó : $A$ nằm ngoài đường tròn $\left( C \right)$.
Ta có : $MA^{2}= AI^{2}+MI^{2}-2AI.MI.cos\widehat{AIM}$
do đó :
$MA_{min}\Leftrightarrow cos\widehat{AIM}=1$, khi đó $M$ thuộc $AI$
$MA_{max}\Leftrightarrow cos\widehat{AIM}=-1$, khi đó $I$ thuộc $MA$

Tiếp nha

Bài 71.

$\left\{\begin{matrix} 2y=x(1-y^{2}) & \\ 3x-x^{3}=y(1-3x^{2}) & \end{matrix}\right.$
(Đề thi học sinh giỏi trường Đặng Thúc Hứa)

Xét $1-y^{2}= 0$ và $1-3x^{2}=0$ : ....
Xét $1-y^{2} \neq 0$ và $1-3x^{2} \neq 0$ :
Khi đó :
$HPT \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= \frac{2y}{1-y^{2}}\\ y= \frac{3x-x^{3}}{ 1-3x^{2}} \end{matrix}\right.$
Đặt $x= tan\alpha$, từ hệ ta có :
$y= tan 3\alpha \Rightarrow x= tan6\alpha$
Do đó : $tan \alpha = tan 6\alpha$

Bài 75 :
$\sqrt[3]{4x+2}+ \sqrt[3]{4-x}+ \sqrt[3]{2x-7}- \sqrt[3]{5x-1}=0$

Bài 79
Giải hệ phương trình: $
\left\{ \begin{array}{l}
x^3 - 3x = y (1) \\
y^3 - 3y = z(2) \\
z^3 - 3z = x(3) \\
\end{array} \right.
$

Đề thi HSG tỉnh Thái Bình 2009-2010

Ta thấy : khi thay $(3)$ vào $(1)$, ta được :
$(z^{3}-3z)^{3}-3(z^{3}-3z)=y$ $(4)$
Thế $(2)$ vào $(4)$ ta được :
$\left [ (y^{3}-3y)^{3}-3(y^{3}-3y) \right ]^{3}-3\left [ (y^{3}-3y)^{3}-3(y^{3}-3y)\right ]=y$
là một PT có số mũ cao nhất là $27$ nên HPT có tối đa $27$ nghiệm.
Xét $y\epsilon \left [ -2;2 \right ]\Rightarrow x,z \epsilon \left [ -2;2 \right ]$
Đặt : $y=2cos\alpha , \alpha \epsilon \left [ o;\pi \right ]$
$\Rightarrow z= y^{3}-3y = 8cos^{3}\alpha -6cos\alpha =2cos3\alpha$
$\Rightarrow x= z^{3}-3z = 8cos^{3}3\alpha -6cos3\alpha =2cos9\alpha$
$\Rightarrow y= x^{3}-3x = 8cos^{3}9\alpha -6cos9\alpha =2cos27\alpha$
$\Rightarrow cos\alpha = cos27\alpha$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \alpha = \frac{k\pi}{13}
\\
\alpha = \frac{k\pi}{14}
\end{array} \right.$ $k\epsilon Z$
Vì $\alpha \epsilon \left [ o;\pi \right ]$ nên $\left[ \begin{array}{l} \alpha = \frac{k\pi}{13} , k= \overline{0;12}
\\
\alpha = \frac{k\pi}{14} , k= \overline{1;14}
\end{array} \right.$
Do đó PT có 27 nghiệm phân biệt trên đoạn $[-2;2]$ và cũng chính là nghiệm của hệ trên tập $R$

TH1: $a=-b$, thì $4x+2=x-4\Leftrightarrow x=2$, không thoả mãn pt đầu
TH2: $b=-c$, thì $4-x=7-2x\Leftrightarrow x=3$,không thoả mãn pt đầu

Bạn nhầm một chút
TH1 : $x=-2 $ : thỏa mãn
TH2 : $x=3$ : thỏa mãn mà
Vậy PT có $3$ nghiệm.

Bài 72:

$15x^{5}+11x^{3}+28=\sqrt{1-3x}$
(Đề thi học sinh giỏi Hà Nội 06-07)

ĐKXĐ : $x\leq \frac{1}{3}$
Xét $f(x)= 15x^{5}+11x^{3}+28-\sqrt{1-3x}$
có $f'(x)= 75x^{4}+33x^{2}+\frac{3}{2\sqrt{1-3x}} > 0$ với mọi $x\leq \frac{1}{3}$
do đó : $f(x)$ đồng biến trên $(-\infty ; \frac{1}{3}]$
Mà $f(-1)= 0$ nên $x=-1$ là nghiệm duy nhất của PT

Cho $x>0$, tìm GTNN của biểu thức :
$P= 4x^{2}-3x +\frac{1}{4x}+2012$
( trích đề thi thử vào lớp 10- THCS Lê Hồng Phong- Yên Bái )

hướng dẫn giúp em bài này $\int_{0}^{1}x^{2}.\sqrt{4-3x^{2}}dx$

Bạn đặt $x=\frac{2 }{\sqrt{3}} cost$

Các bạn thử làm bài này.

Bài 30. Kí hiệu $a * b = ab + a + b\,\,\left( {\forall a,b \in \mathbb{N}} \right)$. Tính $1 * \left( {2 * \left( {3 * \left( {4 * ...\left( {99 * 100} \right)...} \right)} \right)} \right)$

Ta có :
$a*b= ab+a+b= (a+1)(b+1)-1$ Do đó :
$P_{99}= 99*100= 100.101 -1$
$P_{98}= 98* P_{99}= 99.100.101 -1$
$P_{97}= 97* P_{98}= 98.99.100.101 -1$
......................
$P_{1}= 1* P_{2}= 2.3... 98.99.100.101 -1 =101! -1$
hay
$1 * \left( {2 * \left( {3 * \left( {4 * ...\left( {99 * 100} \right)...} \right)} \right)} \right)=101! -1$

Bài 16 :
Giải HPT : $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{20y}{x}}= \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}\\ \sqrt{\frac{16x}{5y}}= \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y} \end{matrix}\right.$
Bài 17 :
Giải PT: $(4x-1)\sqrt{x^{2}+1}= 2x^{2}+2x+1$

Bài 11 :
Giải PT : $2(x^{2}+2)= 5\sqrt{x^{3}+1}$

Chị có tài liệu này, các em tham khảo

Nhờ bạn chứng minh cho mình mở rộng tầm mắt với ạ.

Chỗ đấy bạn ấy viết nhầm thôi. Phải là :
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

Logo quả táo khuyết của Apple thì ai cũng biết và rất nổi tiếng nhưng ít ai biết cách mà các nhà thiết kế đã tạo ra nó, hay nói cách khác là nó được vẽ ngẫu nhiên hay theo một tỉ lệ nào? Thật tuyệt vời khi người ta khám phá ra rằng logo quả táo được thiết kế theo tỉ lệ vàng được giới hội hoạ và kiến trúc áp dụng trên những tác phẩm kinh điển. Cụ thể, Rob Janoff đã tạo nên logo Apple dựa trên hình chữ nhật vàng và dãy số Fibonacci huyền ảo. Không chỉ có logo quả táo, logo iCloud mới đây, logo Mac OS Lion, iPhone 4 cũng chịu ảnh hưởng từ tỉ lệ vàng (Golden Ratio).


Tỉ lệ vàng trong toán học là một phát minh rất quan trọng và đã có từ lâu đời. Theo Wikipedia, "hai đại lượng được gọi là có tỷ số vàng hay tỷ lệ vàng nếu tỷ số giữa tổng của các đại lượng đó với đại lượng lớn hơn bằng tỷ số giữa đại lượng lớn hơn với đại lượng nhỏ hơn". Tỉ lệ vàng được ký hiệu bằng ký tự "phi" (φ) và 1 phi bằng 1,618033..., đó là một số vô tỷ. Tỉ lệ vàng được phát minh ra từ khi nào thì không ai biết chính xác, chỉ biết rằng nó đã tồn tại từ cách đây hàng ngàn năm và ứng dụng của nó cũng không hề nhỏ. Các kiến trúc kinh điển như đền thờ Parthenon, Hy Lạp; kim thự tháp Keop (Cheops) hay khuôn mặt nàng Mona Lisa cũng được vẽ theo tỉ lệ vàng... Tỉ lệ vàng trong những tác phẩm kể trên được diễn tả theo một hình chữ nhật vàng, hình có cạnh dài và cạnh ngắn là một tỷ số vàng. Không chỉ có các kiến trúc, hội hoạ áp dụng tỉ lệ vàng mà cơ thể con người, các bông hoa, sự sắp xếp cánh hoa, nhị hoa cũng có sự tồn tại của tỉ lệ vàng.

Bên cạnh đó, tỉ lệ vàng cũng có sự liên hệ với dãy số nguyên Fibonacci. Đây là một dãy số tự nhiên và vô hạn, bắt đầu từ số 0 với quy tắc số sau luôn bằng hai số trước cộng lại. Những số đầu trong dãy Fibonacci gồm: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Lấy ví dụ số 8 bằng số 3 và 5 cộng lại hay số 34 bằng hai số 13 và 21 cộng lại...

Như vậy chúng ta đã hiểu tỉ lệ vàng quan trọng và độc đáo tới mức nào, đặc biệt là trong thiết kế. Apple là một trong số những hãng sản xuất ứng dụng tỉ lệ vàng vào thiết kế các sản phẩm của mình nhất. Người ta tìm thấy sự hiện diện của tỉ lệ vàng trong logo Apple, logo iCloud, thiết kế iPod, thiết kế iPhone và máy Mac... Đầu tiên hãy khám phá logo Apple, logo iCloud và sau đó là thiết kế iPhone 4/4S theo tỉ lệ vàng, hình chữ nhật vàng và dãy số nguyên Fibonacci.

1. Logo Apple

Ban đầu logo Apple là một hình chữ nhật được thiết kế với hình ảnh Newton ngồi dưới gốc cây táo nhưng sau đó Apple quyết định đổi logo nhận diện thương hiệu thành hình ảnh quả táo khuyết một miếng ở bên phải. Logo này được sử dụng từ những năm 1976 và hình dáng của nó không thay đổi từ khi đó tới bây giờ, dù màu sắc có khác.

Logo quả táo không phải được vẽ một cách ngẫu nhiên trên máy tính mà nó tuân theo hình chữ nhật vàng và dãy số nguyên Fibonacci. Hình chữ nhật được sử dụng để tạo nên kích thước và kiểu dáng của quả táo khuyến Apple có các hình vuông nhỏ bên trong được phân chia theo dãy số Fibonacci (hình dưới). Hình dáng của quả táo, các đường cong ở hai đầu của quả táo, "vết cắn" bên phải, lá của quả táo đều được tạo hình từ hình chữ nhật vàng với kích thước tuân thủ dãy Fibonacci.


Với các hình tròn trong thiết kế logo Apple, giả sử chúng có đường kính là các số trong dãy Fibonacci (hình trên) thì chiếc lá táo được tạo thành từ hai hình tròn với đường kính là 8. Vết cắn trên thân táo cũng tạo nên bởi một phần của hình tròn đường kính 8. Đường cong phía dưới đáy được tạo thành từ hai hình tròn 5, một hình tròn 8 và một hình tròn với đường kính là 1. Sự cân đối trong logo Apple có được cũng là do tỉ lệ vàng này.

2. Logo iCloud



iCloud là một dịch vụ đám mây mới được Apple giới thiệu và logo của dịch vụ này mô tả một đám mây bồng bềnh trôi. Hình dáng của đám mây đó nằm trong một hình chữ nhật vàng và các gợn mây được tạo nên bởi những hình tròn theo tỉ lệ 1,6 (tỉ lệ vàng). Nếu hình chữ nhật để tạo nên logo iCloud có tỉ lệ hai cạnh là 1:1,6 thì bốn hình tròn bên trong cũng theo tỉ lệ 1:1,6 này.

Không chỉ Apple mà logo của những thương hiệu nổi tiếng khác cũng được cho là sử dụng tỉ lệ vàng để thiết kế. Người ta còn nhìn thấy tỉ lệ vàng với các đường xoắn ốc trong biểu tượng của HĐH Mac OS X Lion (hình đầu con sử tử). Hãy quan sát và suy nghĩ với hình minh hoạ phía dưới.



3. Thiết kế iPhone 4/4S

Không chỉ có logo mà Apple còn được cho cũng sử dụng tỉ lệ vàng vào thiết kế phần cứng, hãy lấy ví dụ với iPhone 4. Hình dáng của iPhone 4 là một hình chữ nhật vàng với các chi tiết bên trong tuân theo quy luật này. Tỉ lệ vàng còn được tìm thấy ở việc sắp xếp vị trí jack tai nghe, ăng-ten sóng gần đó, micro phụ và cụm camera/đèn flash phía sau máy.







Thậm chí là cả bố cục trang web của Apple


Nguồn: Wikipedia, Buzzfeed, TYWKIWDBI, Stam-Design-Stam, Paul Martin Blog