Bài 2. (4 điểm)
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} = 4\\
{x^3} - {y^3} = 8
\end{array} \right.$
hinh nhu de nham. le ra phai la x^2-y^2=-4 chu

Cảm ơn bạn mình thấy chỗ sai rồi nhưng PT có 2 nghiệm phân biệt đều dương thì S>0 và P>0 chứ .

Cảm ơn bạn mình thấy chỗ sai rồi nhưng PT có 2 nghiệm phân biệt đều dương thì S>0 và P>0 chứ .

bạn thông cảm hen. cm luc đêm khuya buồn ngủ

hình như bài này nằm trong đề thi Giải toán qua MTCT quốc gia THCS vừa rồi phải ko bạn? mình thấy bài này có trong cuốn 1001 bài toán sơ cấp đấy. ngoài cách giải của bạn trên, bạn cũng có thể vẽ AE vuông góc voi AB, E thuộc đoạn BD. cách giải này cũng đưa ra kết quả tương tự

1 so chinh phuong chia du 0;1
gia su m^2 chia 4 du1, n^2 chia 4 du 1
=> k^2 chia 4 du 2 (vo lý)
=> it nhat 1 trong 2 so m,n chia het cho 4
=>mn chia het cho 4

1 so chinh phuong chia du 0;1
gia su m^2 chia 4 du1, n^2 chia 4 du 1
=> k^2 chia 4 du 2 (vo lý)
=> it nhat 1 trong 2 so m,n chia het cho 4
=>mn chia het cho 4

cách suy luận của bạn chỉ đưa về được là, trong 2 số m^2, n^2 có ít nhất 1 số chia hết cho 4, chu ko suy ra được 1 số chia hết cho 4 hay m, n cùng chẵn
ở đây, bạn chỉ mới xét được trường hợp m,n cùng lẻ=> vô lý
còn trường hợp m,n cùng chẵn hay m,n khác tính chẵn lẻ thi như thế nào?
đây là 1 bài toán khá quen thuộc nhưng cũng khá dễ nhầm lẫn.

Mình chém thử câu 4
Vì $P(x) : (x^2-1)$ được thương là x và có dư nên
$P(x)=x^3+\alpha x+\beta$
$P(x):(x-2)$ dư 2
$\Rightarrow P(x)=(x-2)(ax^2+bx+c)=x^3+x^2(a-2)+x(b-2a)-2b+2$
Vì hệ số của $x^2$ là 0 nên => a=2
$\Rightarrow P(x)=x^3+x(b-4)-2b+2$
Làm tương tự với x+2 ta có
$P(x)=x^3 +x (B-4)+2B-2$
Đồng nhất hệ số ta có hpt
$$\left\{\begin{matrix}
b-4=B-4
\\
-2b+2=2B-2
\end{matrix}\right.$$
Giải ta được b=B=1
Từ đó suy ra
$P(x)=x^3-3x$
Thử lại thấy thỏa mãn => dpcm

mình ngĩ không cần phải dồng nhất hệ số phức tạp nhu thế
khi bạn có P(x)=x^3+ax+b
Áp dụng định lí bezout, ta có P(2)=2, P(-2)=-2, từ đây ta sẽ được hpt là: 8+2a+b=2 và -8-2a+b=-2
Giải hpt ta được kết quả giống bạn

Bài tiếp theo (dành cho học sinh lớp 8, 9)

Bài toán 3
Đề bài: Giải phương trình $(x^2-6x-9)^2=x(x^2-4x-9)$ (1)

Lời giải:
Đặt $a^2-6x-9=t$
PT(1) trở thành
$t^2-x(t+2x)=0$
$\Leftrightarrow (t+x)(t-2x)=0$
$\Leftrightarrow t=-x$ hoặc $t=2x$
Xét $t=-x$
Từ (1) ta có $(-x)^2=x(x^2-4x-9)$
$\Leftrightarrow x(x^2-5x-9)=0$
$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\frac{5+\sqrt{61}}{2}$ hoặc $x=\frac{5-\sqrt{61}}{2}$
Xét $t=2x$
Từ (1) ta có: $4x^2=x(x^2-4x-9)$
$\Leftrightarrow x(x^2-8x-9)=0$
$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=9$ hoặc $x=-1$
Tóm lại phương trình có 5 nghiệm $x \in $ {$0;\frac{5+\sqrt{61}}{2};\frac{5-\sqrt{61}}{2};9;-1$}
_______________________________________________
Theo cách giải đó thì PT(1) là phương trình bậc 4 có tận 5 nghiệm, lẽ nào lời giải lại sai, bạn có thể giải thích không?

Khi giải trường hợp $t=-x$, ta phải giải hpt sau để có nghiệm:

$\left\{\begin{matrix} x^2-6x-9=-x & \\(-x)^2= x(x^2-4x-9) & \end{matrix}\right.$

hệ này vô nghiệm

MOD: Học gõ Latex ở đây

Tìm Min T= $(x+y)(x+z)$ trong đó x,y,z >0 thỏa mãn $(x+y+z)xyz=1$

$(x+y+z)xyz=1$ nên $(x^2+xy+xz)yz=1$
$T=(x+y)(x+z)=(x^2+xy+xz)+yz\geq 2(AM-GM)$
$T_{Min}=2\Leftrightarrow (x+y+z)xyz=1$ và $x^2+xy+xz=yz$
Mod: Lần sau gõ $\LaTeX$ cẩn thận bạn nhé, học thêm ở đây:
http://diendantoanhoc.net/index.php?showtopic=63178

cho $\large \frac{n^{2}-1}{3}$ là tích 2 số tự nhiên liên tiếp ($\large n$ là số tư nhiên. chứng minh $\large n$ là tổng 2 số chính phương liên tiếp

đặt $\large x$ là cạnh hình vuông
áp dụng dịnh lý thales, ta có
$\large \frac{MQ}{AH}=\frac{BM}{AB}$
$\large \frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}$
$\large \frac{MN}{BC}+\frac{MQ}{AH}=1$
$\large \frac{x}{a}+\frac{x}{h}=1$
$\large x=\frac{ha}{h+a}$

cho $\large a\geq 1, b\geq 1,c\geq 1$
cm$\large \frac{1}{a^{3}+1}+\frac{1}{b^{^{3}}+1}+\frac{1}{c^{3}+1}\geq \frac{3}{1+abc}$

Áp dụng hằng đẳng thức
$\large a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$
cộng hai phương trình vế theo vế
$\large x^{3}+y^{3}+3xy=1$
$\large x^{3}+y^{3}+3xy-1=0$
$\large (x+y-1)(x^{2}+y^{2}+1-xy+x+y)=0$
$\large (x+y-1)((x-y)^{2}+(x+1)^{2}+(y+1)^{2})=0$
đến đây thì dơn giản rồi

bài 4
$\large a=3m+r ( r=0,1,2)$
$\large \Rightarrow a^{2}=3n$
hoặc $\large \Rightarrow a^{2}=3n+1$
$\large m,n\epsilon \mathbb{Z}$
Vậy số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1
Suy ra 3k+2 không là số chính phương

mình chưa hiểu cái dòng thứ 2 lắm... Bạn làm chi tiết 1 tí được không ?

bạn nhân 2 lên rồi nhóm lại được tổng 3 bình phương

bạn nhân 4 cho 2 vế
$\large 4x^{6}+12x^{3}+4=4y^4$
$\large (2x^{3} +3)^2-5=(2y^2)^2$
$\large (2x^{3} +3-2y^2)(2x^3+3+2y^2)=5$
tới đây thì đơn giản rồi

bạn tách 216 thành tích các số nguyên dương
$\large 216=1.216=2.108=3.72=9.24=27.8=54.4=...$
mà$\large x+2y\geq 3$
tới đây thì đơn giản rồi

Sao tớ lập bảng ra rồi mà lại không tìm ra giá trị nào của x, y nguyên cả, toàn là số vô tỉ thôi.

bạn kiểm tra lai đi
mình nghĩ không thể nào ra số vô tỉ được. bởi vì minh chỉ tách thành tích các số nguyên, các hệ số đi với ẩn cũng là số nguyên. trong quá trình giải: hoặc là tìm được nghiệm nguyên hoặc là số hữu tỉ và loại chúng thôi chứ

gọi$\large r$ là bán kính hình tròn
bán kính hình tròn lúc sau là $\large \frac{4}{5}r$
theo giả thiết ta có phương trình
$\large (\frac{4}{5}r)^2. x=r^{2}.x-113,04$
( x là số pi, xin lỗi mình khong biết gõ)
$\large \rightarrow (\frac{9}{25}r)^2.x=113,04$
$\large S=r^2.x=314(dvdt)$

$\large (\overline{ab})^3=\overline{abcde}$
$\large \Rightarrow (\overline{ab})^3=1000\overline{ab}+\overline{cde}$
$\large \Rightarrow (\overline{ab})^2=1000+\frac{\overline{cde}}{\overline{ab}}\leq 1000+\frac{999}{10} \Rightarrow \overline{ab}\leq 33$
$\large (\overline{ab})^2=1000+\frac{\overline{cde}}{\overline{ab}}\geq 1000+\frac{100}{99} \Rightarrow \overline{ab}\geq 32$
mà$\large \overline{ab}\epsilon \mathbb{N}\Rightarrow \overline{ab}=32,33$
thử vào ta thấy$\large \overline{ab}=32$ thỏa $\large \Rightarrow \overline{abcde}=32768$

$\large x\leq y\leq z\Rightarrow \frac{1}{x}\geq \frac{1}{y}\geq \frac{1}{z}$$\large \Rightarrow \frac{3}{x}\geq \frac{1}{2}\Rightarrow x\leq 6$
giả sử$\large x\leq 5\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3.\frac{1}{5}> \frac{1}{2}$ (vô lí)
Vậy $\large x> 5$ mà$\large x\leq 6,x\epsilon \mathbb{N}\Rightarrow x=6$
suy ra$\large \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}$
$\large \Leftrightarrow y+z=3yz$
$\large \Leftrightarrow 3(y+z)=yz \Leftrightarrow (y-3)(z-3)=9$
tới đây thì đơn giản rồi

Mình nghĩ như bạn henry0905 thì lập luận y,z tương tự là được rồi! Cảm ơn bạn nhé!!!

được nhưng mình nghĩ là phả xét x tới 6 trường hợp thì quá dài và mất thời gian nữa

đặt $a=\frac{1}{x}+x\Rightarrow a^2=x^2+(\frac{1}{x})^2+2\Rightarrow a^2\geq 4\Rightarrow \left | a \right |\geq 2\Rightarrow a\geq 2$ hoặc$a\leq -2$
phương trình trở thành $a^2 -2ma+2m-2=0$
phương trình vô nghiệm khi
xảy ra 2 trường hợp
TH1 $\Delta < 0$
TH2 phương trình không có nghiệm thỏa $\left | a \right |\geq 2$
lúc đó nghiệm phương trình se thỏa $-2< a< 2$
$\Rightarrow (a_{1}+2)(a_{2}-2)< 0$ và$-4< a_{1}+a_{2}< 4$
$\Delta \geq 0$
lúc này xài Viet se xac dinh được điều kiện m sao cho pt co ngiệm thỏa $-2< a< 2$
vậy để pt vô nghiệm thì m không thuộc điều kiện đó
Kết hợp 2 trường hợp, ta se xác định được m

Bài 2:
$\overline{ab}=(a+b)\sqrt{a+b}$
$\Rightarrow \sqrt{a+b}=\frac{\overline{ab}}{a+b}\epsilon \mathbb{Q}$
$a+b\epsilon \mathbb{N}\Rightarrow a+b$ là số chính phương
$1\leq a+b \leq 18$
$a+b=4,9,16$
thử lần lượt các trường hợp, ta thấy $\overline{ab}=27$ thỏa

bài 5
$M=\frac{n}{x+y}=\frac{10x+y}{x+y}=1+\frac{9x}{x+y}=1+\frac{9}{1+\frac{y}{x}}\geq 1+\frac{9}{1+\frac{9}{1}}= \frac{19}{10}$
GTNN của $M=\frac{19}{10}\Leftrightarrow n=19$

bài 2
áp dụng BDT bunhiakovski cho các số $\frac{1}{\sqrt{a}},\sqrt{\frac{2}{b}},\sqrt{a},\sqrt{2b}$
$((\frac{1}{\sqrt{a}})^{2}+(\sqrt{\frac{2}{b}})^2)((\sqrt{a})^2+(\sqrt{2b})^2)\geq 9$ (*)
ta có $\frac{a+2b}{c}\leq 3$ (1)
thật vậy (1)$\Leftrightarrow a+2b\leq 3c$
$\Leftrightarrow (a+2b)^2\leq 9c^2$
$\Leftrightarrow b^2+2ab\leq 3c^2$ (luôn dúng vì $b^2+2ab\leq a^2+2b^2\leq 3c^2$)
vậy $( a+2b)\frac{3}{c}\leq 9$(**)
(*). (**) $(\frac{1}{a}+\frac{2}{b})(a+2b)\geq (a+2b)\frac{3}{c}\Rightarrow$ dpcm

không mất tính tổng quát: $\large m< n< p$
nếu $\large m=3\Rightarrow n=5,p=7\Rightarrow m^2+n^2+p^2=83\epsilon \mathbb{P}$
nếu $\large m> 3\Rightarrow n,p> 3;m,n,p\epsilon \mathbb{P}$ $\large \Rightarrow m,n,p$ không chia hết cho 3
$\large \Rightarrow m^2,n^2,p^2$ chia 3 dư 1$\large \Rightarrow m^2+n^2+p^2 \vdots 3$ mà $\large m^2+n^2+p^2 > 3\Rightarrow m^2+n^2+p^2$ không phải số nguyên tố
vậy$\large (m,n,p)=(3,5,7)$ và các hoán vị