Tham khảo: http://diendantoanho...int-dfracdxx81/
Crystal nội dung
Có 72 mục bởi Crystal (Tìm giới hạn từ 24-05-2020)
#427745 $\int \frac{1}{x^{10}+1}dx$
Đã gửi bởi Crystal on 16-06-2013 - 00:16 trong Tích phân - Nguyên hàm
#426390 $\frac{x}{2-x-2\sqrt{1-x-2x^{_{2...
Đã gửi bởi Crystal on 12-06-2013 - 13:46 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Đề yêu cầu gì vậy em? Như trên thì sao biết đường nào mà làm ak.
#426678 Tìm m để bpt $log_{2}\sqrt{x^{2}+2}...
Đã gửi bởi Crystal on 13-06-2013 - 10:16 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Tìm m để bpt $log_{2}\sqrt{x^{2}+2} < log_{2}(mx - m)$ có nghiệm thực
Hướng dẫn:
Từ phương trình đã cho suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l} mx - m > 0\\ \sqrt {{x^2} + 2} < mx - m \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} mx - m > 0\\ {x^2} + 2 < {m^2}{x^2} - 2{m^2}x + {m^2}\,\,\,\,\,\left( * \right) \end{array} \right.\]
#428115 Các bài tập về phép biến hình
Đã gửi bởi Crystal on 17-06-2013 - 09:22 trong Hình học phẳng
Xin gửi bạn tài liệu về phép biến hình.
#447241 $\sqrt {5x^2 + 14x + 9} - \sqrt {x^2 - x - 2...
Đã gửi bởi Crystal on 02-09-2013 - 13:59 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải phương trình:
$\sqrt {5x^2 + 14x + 9} - \sqrt {x^2 - x - 20} = 5\sqrt {x + 1} $
Ví dụ 21: Giải phương trình
$$\sqrt{5x^2 - 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5\sqrt{x + 1}, \ \ (1)$$Lời giải:ĐK : $ x \geq 5$Chuyển vế rồi bình phương hai vế, ta được:$$ (x + 1)(5x + 9) = x^2 + 24x + 5 + 10\sqrt{(x + 4)(x - 5)(x + 1)}$$$\Leftrightarrow 2(x^2 - 4x - 5) + 3(x + 4) - 5\sqrt{(x^2 - 4x - 5)(x + 4)} = 0,\ \ \ (2)$Đặt $ u = \sqrt{(x^2 - 4x - 5)}$ và $ v = \sqrt{x + 4} , u,v \geq 0 .$ Thì:$$(2)\Leftrightarrow 2u^2 + 3v^2 - 5uv = 0 \Leftrightarrow (u - v)(2u - 3v) = 0$$* $ u = v$ ta có :$ x^2 - 5x - 9 = 0$* $ 2u = 3v$ ta có : $ 4x^2 - 25x - 56 = 0$Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn: $ x = \dfrac{5 + \sqrt{61} }{2} , x = 8$
Trích Phương pháp đặt ẩn số phụ trong giải phương trình vô tỉ
#485156 Giải phương trình: $\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2...
Đã gửi bởi Crystal on 28-02-2014 - 19:30 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Giải phương trình:
$\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}$
Ví dụ 21: Giải phương trình
$$\sqrt{5x^2 - 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5\sqrt{x + 1}, \ \ (1)$$
Lời giải:
ĐK : $ x \geq 5$
Chuyển vế rồi bình phương hai vế, ta được:
$$ (x + 1)(5x + 9) = x^2 + 24x + 5 + 10\sqrt{(x + 4)(x - 5)(x + 1)}$$
$\Leftrightarrow 2(x^2 - 4x - 5) + 3(x + 4) - 5\sqrt{(x^2 - 4x - 5)(x + 4)} = 0,\ \ \ (2)$
Đặt $ u = \sqrt{(x^2 - 4x - 5)}$ và $ v = \sqrt{x + 4} , u,v \geq 0 .$ Thì:
$$(2)\Leftrightarrow 2u^2 + 3v^2 - 5uv = 0 \Leftrightarrow (u - v)(2u - 3v) = 0$$
* $ u = v$ ta có :$ x^2 - 5x - 9 = 0$
* $ 2u = 3v$ ta có : $ 4x^2 - 25x - 56 = 0$
Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn: $ x = \dfrac{5 + \sqrt{61} }{2} , x = 8$
Bạn xem thêm tại đây.
#447826 [03]_ $(x+y)(f(x)-f(y)) = (x-y)f(x+y)$
Đã gửi bởi Crystal on 04-09-2013 - 19:15 trong Phương trình hàm
Bài toán : Giải phương trình hàm : (Singapore IMO TST 2008, Problem)
$(x+y)(f(x)-f(y)) = (x-y)f(x+y)\,\,\,(*)$
Lời giải 1:
Giả sử tồn tại hàm số $f\left( x \right)$ thoả mãn bài toán.
Trong $(*)$ cho $y=2$, ta được: $$f\left( {x + 2} \right) = \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}\left( {f\left( x \right) - f\left( 2 \right)} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Trong $(*)$ cho $y=1$, ta được: $$f\left( {x + 1} \right) = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\left( {f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \right)$$
Suy ra: $$f\left( {x + 2} \right) = \dfrac{{x + 2}}{x}\left( {f\left( {x + 1} \right) - f\left( 1 \right)} \right) = \dfrac{{x + 2}}{x}\left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\left( {f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \right) - f\left( 1 \right)} \right)$$
Do đó: $$ \Leftrightarrow f\left( {x + 2} \right) = \dfrac{{x + 2}}{x}\left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}f\left( x \right) - 2f\left( 1 \right)\dfrac{x}{{x - 1}}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$$
Từ (1) và (2), ta được: $$\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}\left( {f\left( x \right) - f\left( 2 \right)} \right) = \dfrac{{x + 2}}{x}\left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}f\left( x \right) - 2f\left( 1 \right)\dfrac{x}{{x - 1}}} \right)$$
$$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 2}}\left( {f\left( x \right) - f\left( 2 \right)} \right) = \dfrac{{x + 1}}{{x\left( {x - 1} \right)}}f\left( x \right) - 2f\left( 1 \right)\dfrac{1}{{x - 1}}$$
$$ \Leftrightarrow 2f\left( 1 \right)\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x - 2}}f\left( 2 \right) = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x\left( {x - 1} \right)}} - \dfrac{1}{{x - 2}}} \right)f\left( x \right)$$
$$ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{f\left( 2 \right)}}{2}\left( {x - 1} \right)x - f\left( 1 \right)\left( {x - 2} \right)x = \left( {\dfrac{{f\left( 2 \right)}}{2} - f\left( 1 \right)} \right){x^2} + \left( {2f\left( 1 \right) - \dfrac{{f\left( 2 \right)}}{2}} \right)x$$
Suy ra: $f\left( x \right) = a{x^2} + bx,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại thấy thoả phương trình $(*)$.
Vậy hàm số cần tìm là $f\left( x \right) = a{x^2} + bx\,\,\,\,\left( {\,a,b \in \mathbb{R}} \right)$
________________________________________________________________
Lời giải 2:
Giả sử tồn tại hàm số $f\left( x \right)$ thoả mãn bài toán.
Đặt $P\left( {x,y} \right)$ là hàm của $\left( {x + y} \right)\left( {f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right) = \left( {x - y} \right)f\left( {x + y} \right)$
Khi đó: $$P\left( {x + 1, - x} \right):\,\,f\left( {x + 1} \right) - f\left( { - x} \right) = \left( {2x + 1} \right)f\left( 1 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
$$P\left( { - x,x - 1} \right):\,\, - f\left( { - x} \right) + f\left( {x - 1} \right) = \left( {1 - 2x} \right)f\left( { - 1} \right)\,\,\,\,\,\,(2)$$
$$P\left( {x + 1,x - 1} \right):\,\,2x\left( {f\left( {x + 1} \right) - f\left( {x - 1} \right)} \right) = 2f\left( {2x} \right) \Leftrightarrow f\left( {x + 1} \right) - f\left( {x - 1} \right) = \dfrac{{f\left( {2x} \right)}}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$$
Lấy $(1) - (2) - (3)$, ta được: $$0 = \left( {2x + 1} \right)f\left( 1 \right) - \left( {1 - 2x} \right)f\left( { - 1} \right) - \dfrac{{f\left( {2x} \right)}}{x}$$
$$ \Leftrightarrow f\left( {2x} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {f\left( 1 \right) + f\left( { - 1} \right)} \right){\left( {2x} \right)^2} + \dfrac{1}{2}\left( {f\left( 1 \right) - f\left( { - 1} \right)} \right)2x$$
Suy ra: $f\left( x \right) = a{x^2} + bx,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại thấy thoả phương trình $(*)$.
Vậy hàm số cần tìm là $f\left( x \right) = a{x^2} + bx\,\,\,\,\left( {\,a,b \in \mathbb{R}} \right)$
_______________________________________________________________
Lời giải 3:
Giả sử tồn tại hàm số $f\left( x \right)$ thoả mãn bài toán.
Từ phương trình $(*)$ suy ra: $$f\left( x \right) - f\left( y \right) = \dfrac{{x - y}}{{x + y}}f\left( {x + y} \right)$$
Ta có: $$f\left( x \right) - f\left( y \right) = f\left( x \right) - f\left( z \right) + f\left( z \right) - f\left( y \right) = \dfrac{{x - z}}{{x + z}}f\left( {x + z} \right) + \dfrac{{z - y}}{{z + y}}f\left( {z + y} \right)$$
Từ đó cho ta: $$\dfrac{{x - y}}{{x + y}}f\left( {x + y} \right) = \dfrac{{x - z}}{{x + z}}f\left( {x + z} \right) + \dfrac{{z - y}}{{z + y}}f\left( {z + y} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Đặt: $y + z = a;z + x = b;x + y = c$, khi đó $(1)$ trở thành:
$$\dfrac{{b - a}}{c}f\left( c \right) = \dfrac{{c - a}}{b}f\left( b \right) + \dfrac{{b - c}}{a}f\left( a \right)$$
Cố định $a,b \Rightarrow f\left( a \right),f\left( b \right)$ không đổi, ta được:
$$f\left( c \right) = \left( {\dfrac{1}{{a - b}}\left( {\dfrac{{f\left( a \right)}}{a} - \dfrac{{f\left( b \right)}}{b}} \right)} \right){c^2} + \left( {\dfrac{1}{{a - b}}\left( {\dfrac{a}{b}f\left( b \right) - \dfrac{b}{a}f\left( a \right)} \right)} \right)c$$
Suy ra: $f\left( x \right) = A{x^2} + Bx,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại thấy thoả phương trình $(*)$.
Vậy hàm số cần tìm là $f\left( x \right) = A{x^2} + Bx\,\,\,\,\left( {\,A,B \in \mathbb{R}} \right)$
Trích tại đây
#485162 $lim(\frac{u_1}{u_2}+\frac{u_2}...
Đã gửi bởi Crystal on 28-02-2014 - 19:50 trong Dãy số - Giới hạn
$\left\{\begin{matrix} u_{1}=1 & \\ u_{n+1}=\frac{u_n^2}{2014}+u_n & \end{matrix}\right.$
Tìm: $lim(\frac{u_1}{u_2}+\frac{u_2}{u_3}+...+\frac{u_n}{u_{n+1}})$
Ta có: \[{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{u_n^2}}{{2014}} \Leftrightarrow \frac{{{u_n}}}{{{u_{n + 1}}}} = 2014\left( {\frac{1}{{{u_n}}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right)\]
Suy ra: \[\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{{u_k}}}{{{u_{k + 1}}}}} \right)} = 2014\left( {\frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right) = 2014\left( {1 - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right)\]
Từ công thức của $\left\{ {{u_n}} \right\}$ ta dễ dàng suy ra đây là dãy đơn điệu tăng.
Nếu $\left\{ {{u_n}} \right\}$ bị chặn trên, khi đó tồn tại giới hạn hữu hạn: $L = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}$. Hay $L = \frac{{{L^2}}}{{2014}} + L \Rightarrow L = 0$.
Điều nay mâu thuẫn với điều ta đã suy ra: $\left\{ {{u_n}} \right\}$ là dãy đơn điệu tăng với ${u_1} = 1$.
Nếu $\left\{ {{u_n}} \right\}$ không bị chặn trên, do đó ta có $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty $. Từ $\left( * \right)$ suy ra:
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\left( {\frac{{{u_1}}}{{{u_2}}} + \frac{{{u_2}}}{{{u_3}}} + ... + \frac{{{u_n}}}{{{u_{n + 1}}}}} \right) = 2014\]
#664215 Tìm $limu_{n}$
Đã gửi bởi Crystal on 08-12-2016 - 22:07 trong Dãy số - Giới hạn
Cho $u_{1} = 1993, u_{n+1} = \frac{u_{n}^2 + 6}{2u_{n} + 1}$. Tìm $limu_{n}$
Psss : không biết có chứng minh được $u_{n} \geq 2$ không nhỉ ? Mắc mãi chỗ đó @@
Hi bạn,
Dạng bài này bạn có thể tham khảo thêm tại topic này.
#511644 $I=\int_{0}^{\pi }sin^{11}xdx$
Đã gửi bởi Crystal on 08-07-2014 - 12:25 trong Tích phân - Nguyên hàm
Tính tích phân : $I=\int_{0}^{\pi }sin^{11}xdx$
Xét bài toán tổng quát:
\[\boxed{{I_n} = \int\limits_0^\pi {{{\sin }^n}x} dx,\,\,\,\,n \in \mathbb{N}}\]
GIẢI BÀI TOÁN TỔNG QUÁT.
Ta có: ${I_n} = \int\limits_0^\pi {{{\sin }^{n - 1}}x} \sin xdx$.
Tích phân từng phần:
#511114 Giải các hệ $\left\{\begin{matrix} x^...
Đã gửi bởi Crystal on 06-07-2014 - 00:02 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Bài 1: Giải hệ
$$\left\{\begin{matrix}x^{y+1}=(y+1)^{x}\\ \sqrt{-4x^{2}+18x-20}+\dfrac{2x^{2}-9x+6}{2x^{2}-9x+8}=\sqrt{y+1}\end{matrix}\right.$$
Bài 2: Giải hệ
$$\left\{\begin{matrix}log_{3}\left ( -2y-2 \right )+4x^{2}-\sqrt{4x^{2}+1}=1-\sqrt{2}\\ log_{3}\left ( \dfrac{2x+1}{x-y} \right )+1=\sqrt{4x^{2}+4x+2}-\sqrt{\left ( x-y \right )^{2}+1}+\left ( x-y \right )^{2}-4x\left ( x+1 \right )\end{matrix}\right.$$
Bài 3: Giải hệ
$$\left\{\begin{matrix}4^{x^{2}-16}+3\sqrt{x}+\sqrt{x^{2}+1}=4^{y^{2}-8y}+3\sqrt{y-4}+\sqrt{y^{2}-8y+17}\\ y(x^{2}-1)-4x^{2}+3x-8+ln\left ( x^{2}-3x+3 \right )=0\end{matrix}\right.$$
Gợi ý:
Bài 1: Với điều kiện để phương trình có nghĩa, lấy $ln$ 2 vế của phương trình thứ nhất, ta được:
\[\left( {y + 1} \right)\ln x = x\ln \left( {y + 1} \right) \Rightarrow \frac{{\ln x}}{x} = \frac{{\ln \left( {y + 1} \right)}}{{y + 1}}\]
Đến đây xét hàm số: $f\left( t \right) = \frac{{\ln t}}{t}$
Bài 2: Biến đổi bằng phương pháp tương tự cho phương trình thứ 2.
Bài 3: Tương tự cho phương trình thứ nhất.
#511032 Tìm hàm f thoả $xf(y)-yf(x)=f(\frac{y}{x})$
Đã gửi bởi Crystal on 05-07-2014 - 18:59 trong Phương trình hàm
Tìm tất cả các hàm số f: R->R thoả mãn:
$xf(y)-yf(x)=f(\frac{y}{x})$ $\forall x,y \in R$
Tham khảo ở đây.
#447239 Tìm m để phương trình có nghiệm:$\sqrt{1+x}+\sqrt...
Đã gửi bởi Crystal on 02-09-2013 - 13:54 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Tìm m để phương trình có nghiệm:$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-m\sqrt{1-x^{2}}+m+2=0$
Gợi ý:
Điều kiện: $1 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 1 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 1;1} \right]$
Đặt $t = \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \Rightarrow {t^2} = 2 + 2\sqrt {1 - {x^2}} \Rightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = \frac{{{t^2} - 2}}{2}$. Dựa vào $x$ để tìm điều kiện của $t$.
Khi đó: \[t - m\left( {\frac{{{t^2} - 2}}{2}} \right) + m + 2 = 0\]
Tham khảo tiếp tại đây.
#427746 $\int \frac{m\sin x + n\cos x + p}{a...
Đã gửi bởi Crystal on 16-06-2013 - 00:19 trong Tích phân - Nguyên hàm
Tìm nguyên hàm :
$$\int \frac{m\sin x + n\cos x + p}{a\sin x + b\sin x + c}\text{dx}$$
trong đó $m,n,p,a,b,c$ là các hằng số.
Phải là $b\cos x$ chứ nhỉ!
#426261 $\left\{\begin{matrix} (x+2y)x^3=8\...
Đã gửi bởi Crystal on 12-06-2013 - 01:19 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} (x+2y)x^3=8\\x(y^3-2)=6 \end{matrix}\right.$
Đề này hơi quái :-), bạn có chế không vậy.
Spam xí để xem sao.
@912: có người hỏi em bài này, thấy đề lạ quá nên đem lên diễn đàn hỏi ạ
#426255 Cho hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}$
Đã gửi bởi Crystal on 12-06-2013 - 00:36 trong Hàm số - Đạo hàm
Chứng minh rằng với moi m khác 0 đường thẳng y=mx-3m cắt hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}$
tại hai điểm phân biệt trong đó ít nhất một giao điểm có hoành độ lần 2
Hướng dẫn:
Điều kiện: $x \ne 1$
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y=mx-3m$ với hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}$ là:
\[\frac{{x - 2}}{{x - 1}} = mx - 3m \Rightarrow m{x^2} - 3mx - mx + 3m - x + 2 = 0\]
\[ \Leftrightarrow m{x^2} - \left( {4m + 1} \right)x + 3m + 2 = 0\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\]
Với mọi $m \ne 0$, ta có $\Delta = 4{m^2} + 1 > 0$ nên phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt. Điều này chứng tỏ đường thẳng $y=mx-3m$ cắt hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}$ tại hai điểm phân biêt.
* Vế sau bạn có thể nêu rõ hơn.
#426673 Biện luận theo m số nghiệm thuộc (-1;1) của phương trình: $x^2(4 - x^2)...
Đã gửi bởi Crystal on 13-06-2013 - 09:55 trong Hàm số - Đạo hàm
$y = x^2(4 - x^2)$.
Biện luận theo m số nghiệm thuộc (-1;1) của phương trình: $x^2(4 - x^2) = m$
Hướng dẫn:
Đặt $t = {x^2} \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)$. Phương trình trở thành:
\[t\left( {4 - t} \right) = m \Leftrightarrow {t^2} - 4t + m = 0\,\,\left( * \right)\]
Tìm $m$ để phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm thuộc $\left( {0;1} \right)$: có thể áp dụng tam thức bậc hai hoặc khảo sát hàm.
#408060 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - cosxcos2x...cosn...
Đã gửi bởi Crystal on 26-03-2013 - 14:28 trong Hàm số - Đạo hàm
Bạn xem tại đây.
#427740 $\left\{\begin{matrix} x^{3}-2y^{3}=x+4y & &...
Đã gửi bởi Crystal on 16-06-2013 - 00:07 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
$\left\{\begin{matrix} x^{3}-2y^{3}=x+4y & & \\ 6x^{2}-19xy+15y^{2}=1& & \end{matrix}\right.$
Thay $1 = 6{x^2} - 19xy + 15{y^2}$ vào phương trình thứ nhất, ta được:
\[{x^3} - 2{y^3} = \left( {x + 4y} \right)\left( {6{x^2} - 19xy + 15{y^2}} \right)\]
Nhân vô rồi rút gọn ta thu được phương trình:\[5{x^3} + 5{x^2}y - 61x{y^2} + 62{y^3} = 0\]
Từ phương trình thứ nhất, nếu $y=0$ thì $x=0$. Điều này mâu thuẫn với phương trình thứ hai.
Xét $y \ne 0$. Chia hai vế của phương trình trên cho ${y^3} \ne 0$, ta được:
\[5{\left( {\frac{x}{y}} \right)^3} + 5{\left( {\frac{x}{y}} \right)^2} - 61\frac{x}{y} + 62 = 0 \Leftrightarrow 5{t^3} + 5{t^2} - 61t + 62 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\,\,\,\,\left( {t = \frac{x}{y}} \right)\]
#428117 $u_{n+1}=24u_{n}^{3}-12\sqrt{6...
Đã gửi bởi Crystal on 17-06-2013 - 09:28 trong Dãy số - Giới hạn
Cho dãy số $(u_{n})$ xác định như sau:
$u_{1}=\frac{3}{\sqrt{6}}$;($u_{n+1}=24u_{n}^{3}-12\sqrt{6}u_{n}^{2}+15u_{n}-\sqrt{6}, n=1,2,...$
Tìm công thức số hạng tổng quát $u_{n}$ của dãy trên.
Đặt $u_{n}=xv_{n}+y$.Thay vào công thức truy hồi của dãy biến đổi
và rút gọn ta được:
$xv_{n}+y=24x^{3}v^{3}_{n-1}$+$12(6x^{2}y-\sqrt{6}x^{2})v^{2}_{n-1}$+$3(24xy^{2}-8\sqrt{6}xy+5x)v_{n-1}+24y^{3}$-$
12\sqrt{6}y^{2}+15y-\sqrt{6}$
Ta chọn y:$\left\{\begin{matrix} 6x^{2}y-\sqrt{6}x^{2}=0 & \\ 24y^{3}-12\sqrt{6}y^{2}+15y-\sqrt{6=y} & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow y=\frac{1}{\sqrt{6}}$
Khi đó $x.v_{n}=24x^{3}v^{3}_{n-1}+3xv_{n-1} \Leftrightarrow v_{n}=24x^{3}v^{3}_{n-1}+3v_{n-1}$
Ta chọn x=$\frac{1}{\sqrt{6}}$
$\Rightarrow v_{n}=4v^{3}_{n-1}+3v_{n-1};v_{1}=2 $
$\Rightarrow v_{n}=\frac{1}{2}[(2+\sqrt{5})^{3^{n-1}}+(2-\sqrt{5})^{3^{n-1}}]$
Vậy $u_{n}=\frac{1}{2\sqrt{6}}[(2+\sqrt{5})^{3^{n-1}}+(2-\sqrt{5})^{3^{n-1}}]+\frac{1}{\sqrt{6}} ;\forall n=1,2,...$
p\s mọi thắc mắc xem ở đây
- Diễn đàn Toán học
- → Crystal nội dung