Bài 5  $\int \frac{dx}{1+x+\sqrt{1+x^2}}$

đặt $\sqrt{1+x^2}= -x+t$

$\Rightarrow x^2+1= x^2-2xt+t^2$

$\Rightarrow x=\frac{t^2-1}{2t}$

$\Rightarrow dx= \frac{t^2+1}{2t^2}dt$

Từ đó ta có:

$I= \frac{1}{2} \int \frac{t^2+1}{t^2(t+1)}dt$

$=\frac{1}{2}(\frac{1}{t^2}+\frac{2}{t+1}-\frac{1}{t})$

$=\frac{1}{2}( -\frac{1}{t} +2 \ln|t+1|-\ln|t|)$

Cho $x,y,z$ không âm, thỏa mãn: $2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=1$.

Tìm GTNN của $P=\frac{3yz}{x}+\frac{4zx}{y}+\frac{5xy}{z}$

Cho $a,b,c >0;abc=1$Chứng minh:

$1+\frac{3}{a+b+c} \geq \frac{6}{ab+bc+ac}$

 

1. 
   
2. $5^x+1=2.3^x$
3. 
   

 

$5^x+1=2.3^x$

$\Leftrightarrow 5^x-3^x=3^x-1^x$

Giả sử phương trình có nghiệm $\alpha$ khi đó:

$5^{\alpha}-3^{\alpha}=3^{\alpha}-1^{\alpha}$

Xét hàm số $f(t)= (t+2)^{\alpha}-t^{\alpha}(t>0)$

Ta có $f(3)=f(1)$, theo định lí $Lagrange$  tồn tại $c \in (1;3)$ sao cho

$f'( c )=0 \Leftrightarrow \alpha [ (c+2)^{\alpha -1}-c^{\alpha-1}]=0$

$\Leftrightarrow \alpha=0; \alpha=1$

$\Rightarrow x=0;x=1$.

Nghiệm là $x=1$. Nhưng cách tính đạo hàm của bạn thì hơi khó để nhận ra nó lớn hơn 0.

Ta biến đổi một chút nhé. $f(x)=\left ( \frac{5}{2} \right )^x+\left ( \frac{2}{5} \right )^{\frac{1}{x}}=\left ( \frac{5}{2} \right )^x+\left ( \frac{5}{2} \right )^{-\frac{1}{x}}$

Bây giờ ta mới tính đạo hàm $f'(x)=\left ( \frac{5}{2} \right )^x.\ln\left ( \frac{5}{2} \right )+\frac{1}{x^2}.\left ( \frac{5}{2} \right )^{-\frac{1}{x}}.\ln\left ( \frac{5}{2} \right )>0$

$f(x)$ bị gián đoạn tại $x=0$?!!

Giải phương trình:

$\left ( \frac{5}{2} \right )^{x}+\left ( \frac{2}{5} \right )^{\frac{1}{x}}=\frac{29}{10}$

Tìm nguyên hàm:

$\int \frac{1- sinx}{(1+ cosx)e^x}dx$

Giải phương trình:

$3x^2-2x^3=\log_{2}{(x^2+1)}-\log_2x$

 

Bài toán. Giải hệ phương trình 

 

$$\begin{cases} \sqrt{x-\frac{1}{4}}+\sqrt{y-\frac{1}{4}}=\sqrt{3} \\ \sqrt{y-\frac{1}{16}}+\sqrt{z-\frac{1}{6}}=\sqrt{3} \\ \sqrt{z-\frac{9}{16}}+\sqrt{x-\frac{9}{16}}=\sqrt{3}\end{cases}$$

 

Bài T7 báo THTT tháng 2, giải ở tháng 6, bạn tự xem nhé!

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$

Chứng minh rằng : $\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{c}{c+ab}\geqslant \frac{3}{2}$

$\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{c}{c+ab}\geqslant \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{1+\frac{bc}{a}} +\frac{1}{1+\frac{ac}{b}}+\frac{1}{1+\frac{ab}{c}} \geq \frac{3}{2}(1)$

Đặt $x=\frac{bc}{a}, y=\frac{ac}{b}, z=\frac{ab}{c}$

Do $a+b+c=3 \Rightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=3$

ta có (1) trở thành:

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \geq \frac{3}{2}$

Xét hàm số $f(t)=\frac{1}{1+t}(t>0)$

Phương trình tiếp tuyến của hs trên tại $t=1$ là :

$y=\frac{-1}{4}(x-1)+\frac{1}{2}$

Ta có $f(t)-y=\frac{1}{1+t}+\frac{1}{4}(x-1)-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.(\frac{4+(t+1)^2}{t+1}) \geq 0$

Theo BBT tiếp tuyến ta có:

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \geq \frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c=1$

P/s: làm bừa.

Cho hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ có đồ thị (C); Một nhánh của (C) cắt hai trục Ox, Oy tại A và B.Tìm điểm M trên nhánh còn lại của (C) để diện tích tam giác MAB bằng $\frac{3}{2}$

Ta có $A(1;0),B(0;-1)$

$AB:x-y-1=0$

Gọi $M(x_0,\frac{x_0-1}{x_0+1})$

Ta có: $S_{MAB}=\frac{1}{2}.d(M;AB).AB=\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{x^2_0-x_0}{x_0+1}=\pm 3$

$\Leftrightarrow x_0=2 \pm \sqrt{5} \Rightarrow y_0$

Hiện tại em không ở Hà Nội,nhưng BTC có thể gửi đến chị em được không ạ!

Địa chỉ: Nguyễn Thị Hải Yến, số 3 ngõ 521/36/15, Cổ Nhuế, huyện Từ Liêm.

Em đăng kí cuốn :"Những tư tưởng cơ bản ẩn chứa trong toán học phổ thông",tác giả TS.Dương Quốc Việt.

Các thầy ký cho em thì càng tốt ạ.

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 \frac{(x+1)^2}{x^2+1}dx$

$I = \int\limits_0^1 \frac{(x+1)^2}{x^2+1}dx$

$=\int\limits_0^1 (1+\frac{2x}{x^2+1})dx$

$=x\mid_0^1+ \int\limits_0^1 \frac{d(x^2+1)}{x^2+1}$

$=1+\ln|x^2+1|\mid_0^1$

$=1+\ln2$

Cho tập A={1;2;3;4;5;6;7}.từ A viết được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số.trong đó chữ số hàng nghìn là 1 và nhất thiết phải có chữ số 7.

Ta có chữ số $7$ có $4$ cách sắp xếp,chữ số hàng nghìn có $1$ cách ,các vị trí còn lại có $6$ cách chọn.

Kết quả :$ 4.6.6.6=864$

Cho 3 số $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$P=(xy+yz+2xz)^2-\frac{8}{(x+y+z)^2-xy-yz+2}$

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} & x^{2}+y^{2}-3x+4y=1(1) & \\ & 3x^{2}-2y^{2}-9x-8y=3(2) & \end{matrix}\right.$

 

Ta có : $2.(1)+(2)$ ta được 

$x^2-3x-1=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{3 \pm \sqrt13}{2}$....

Giải các phương trình sau:

 

4.) $\sqrt{(5-2\sqrt{6})^x}+\sqrt{(5+2\sqrt{6})^x}=10$

 

5.) $x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}$

4,$\sqrt{(5-2\sqrt{6})^x}+\sqrt{(5+2\sqrt{6})^x}=10$

$\Leftrightarrow \frac{1}{(\sqrt{5+2\sqrt{6})^x}}+\sqrt{(5+2\sqrt{6})^x}=10$

Đặt $(\sqrt{5+2\sqrt{6})^x}=t$

ta được phương trình $ t+\frac{1}{t}=10.........$

5,$VP=\sqrt{1(x-\frac{1}{x})}+\sqrt{\frac{1}{x}(x-1)}$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có :$VP \leq (1+x-\frac{1}{x}=\frac{1}{x}+x-1):2=x$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x-\frac{1}{x}=1$..........

Tính tích phân I=$\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{1}{sinxsin(x+\frac{\pi }{6})}dx$

Ta có:

$sinx sin(x+\frac{\pi}{6})=sin^2x(1+\sqrt{3}cotx)$

$I=\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{1}{sinxsin(x+\frac{\pi}{6})}dx$

$=\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{1}{sin^{2}x (1+\sqrt{3}cotx})dx$

$=-\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{d(cotx)}{1+\sqrt{3}cotx}dx$

$= - \ln|1+\sqrt{3}cotx|\bigg|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}$

$=\ln\frac{1}{2}$

P/s:latex của diễn đàn bị sao không biết,trong cái $f(x)$ thì chạy được,mà ở đây thì không

Do $abc=1$ và a,b,c không âm nên tồn tại 3 số dương x,y,z sao cho:$a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}$

Khi đó VT=$\frac{y\sqrt{z}}{x\sqrt{z}+2y\sqrt{x}}+\frac{z\sqrt{x}}{2z\sqrt{y}+y\sqrt{x}}+\frac{x\sqrt{y}}{z\sqrt{y}+2x\sqrt{z}}$

AD bdt Sacvo có :VT$\geq$$\frac{(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})^{2}}{(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})^{2}}=1$

Dấu = xảy ra khi x=y=z hay a=b=c=1

Đề bài có vấn đề không nhỉ,trên là $\leq$ ,lời giải là $\geq$.

BĐT Sacvo là thế nào vậy,nếu là $\text{Schwarz}$ thì sao  dòng bôi đỏ trên!

Giải phương trình:

$3^x=\frac{2x+1}{2x-1}$

1.Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $(a+b)(a+c)(b+c)=1$.Chứng minh:

$ab+bc+ac \geq \frac{3}{4}$

2. Cho $a,b,c >0$.Chứng minh:

$\frac{a^3-11b^3}{a+4b}+\frac{b^3-11c^3}{b+4c}+\frac{c^3-11a^3}{c+4a}\geq ab+bc+ac -3(a^2+b^2+c^2)$

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c \leq 3$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$P=\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}-\frac{(a+b+c)^3}{8}$

$\left\{ \begin{array}{l} 2x + y + \sqrt {{x^2} - {y^2}} = 17(1)\\ y\sqrt {{x^2} - {y^2}} = 12 (2)\end{array} \right.$

Giải giúp em nha

 

$(1) \Leftrightarrow y+\sqrt{x^2-y^2}=17-2x$

$\Rightarrow y^2+2y\sqrt{x^2-y^2}-y^2=(17-x)^2$

Thế (2) vào pt trên ta được $17-x=\pm 12$ .......

viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) y = ( 2x + 3)/(x + 1) tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng cách tới 3x + 4y – 2 = 0 bằng 2.

Gọi điểm thỏa mãn là $M_0(x_0;\frac{2x_0+3}{x_0+1})$.Từ giả thiết ta có:

$\frac{|3x_0+\frac{8x_0+12}{x_0+1}-2|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2$

$\Leftrightarrow x_0=0;x_0=\frac{1}{3}$,

suy ra có 2 điểm M thỏa mãn $M_0(0;3),M_1(\frac{1}{3};\frac{11}{4})$

Phương trình tiếp tuyến qua $M_0$ là : $y=-x+3$

Phương trình tiếp tuyến qua $M_1$ là:$y=\frac{9}{16}(x-\frac{1}{3})+\frac{11}{4}$ hoặc $y=-\frac{81}{49}(x-\frac{1}{3})+\frac{11}{4}$.