Xét dãy số nguyên
$\{u_n\}:\;\begin{cases}u_1=1 \\ u_2=5 \\ u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n,\quad n\ge 1\end{cases}$

Dễ thấy dãy này toàn số lẻ
Mà ta dễ dàng chứng minh được $u_n=\dfrac{(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}}{2^n}$

Cái trên có phải để chứng minh cái này không anh?
$\begin{cases}(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}\;\vdots\;2^n\\ (\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}\;\not {\vdots}\;2^{n+1}\end{cases}$

Thế này nhé!
$\{u_n\}$ xác định như trên bao gồm các số nguyên lẻ phải không nào?
$u_1$ lẻ $\Rightarrow u_3$ lẻ $\Rightarrow u_5$ lẻ $...$
$u_2$ lẻ $\Rightarrow u_4$ lẻ $\Rightarrow u_6$ lẻ $...$
hơn nữa
$u_n=\dfrac{(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}}{2^n}$ là số lẻ
Thế chẳng phải là $\begin{cases}(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}\;\vdots\;2^n\\ (\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}\;\not {\vdots}\;2^{n+1}\end{cases}$

Anh ơi, thế mình làm thế nào để lập được cái dãy số đó??? Trong bài làm chỉ cần nói xét dãy số đó ak?

Cho dãy số: $6; 42; 285; 1044; 3150; 7806; 16842; 32808; 59094; 100050; 161106; 248892;.....$ Tìm số hạng thứ $23$ của dãy.

Tìm một số có bốn chữ số vừa chia hết cho 9, vừa chia hết cho 5. Biết rằng chữ số hàng nghìn bằng $\frac{2}{3}$ chữ số hàng chục, chữ số hàng chục gấp 2 lần chữ số hàng trăm.

Bài này "xưa" rồi em!

Ta có: $\sqrt[k]{\dfrac{k}{k-1}} < \dfrac{\dfrac{k}{k-1}+k-1}{k}=1+\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\quad\text{(Theo AM GM)}$

Lấy tổng hai vế BĐT trên từ $k=2$ đến $k=2010$, ta được

$A=\sum\limits_{k=2}^{2010} \sqrt[k]{\dfrac{k}{k-1}}<2009+1-\dfrac{1}{2010}<2010$

Mặt khác dễ thấy $A>2009$ do $\sqrt[k]{\dfrac{k}{k-1}}>1$

Vậy $\lfloor A \rfloor =2009$

Anh ơi, anh giải thích kĩ hơn chỗ này dùm em được không? Em không hiểu lắm
Ta có: $\sqrt[k]{\dfrac{k}{k-1}} < \dfrac{\dfrac{k}{k-1}+k-1}{k}=1+\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\quad\text{(Theo AM GM)}$
và $\sqrt[k]{\dfrac{k}{k-1}}>1$

Gọi $x_{1}$ và $x_{2}$ là những nghiệm của phương trình: $3x^2-(3k-2)x-(3k+1)=0$. Tìm những giá trị của $k$ để các nghiệm của phương trình thoả mãn $3x_{1}-5x_{2}=6$

$PT<=>(y-2)x^2+(y-2)(y-4)-(y-2)(y-3)=56<=>(y-2)(x^2-1)=56=1.56=2.28=4.14=7.8$
Đến đây có pt ước số.chỉ việc thay các ước vào và giải hệ

Đến chỗ $(y-2)(x^2-1)=56$ không cần lập luận gì nữa hả bạn. Mà sao mình không thấy bạn phân tích $56$ thành tích hai số âm nhỉ?

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$(y-2)x^2+(y^2-6y+8)x=y^2-5y+62$
--------------------------
p/s: mọi người giải chi tiết dùm mình tí nha!

$PT<=>(y-2)x^2+(y-2)(y-4)-(y-2)(y-3)=56<=>(y-2)(x^2-1)=56=1.56=2.28=4.14=7.8$
Đến đây có pt ước số.chỉ việc thay các ước vào và giải hệ

Bạn nhầm rồi bạn ơi, bạn thiếu $x$ rồi!

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$\left [ \frac{x}{1!} \right ]+\left [ \frac{x}{2!} \right ]+...+\left [ \frac{x}{10!} \right ]=1001$
(Thi vô địch toán Liên Xô, 1990, lớp 10, ngày thứ hai)

Tìm một số tự nhiên có tính chất: Nếu viết liên tiếp bình phương và lập phương của nó, sau đó đảo ngược số nhận được thì ta được số là luỹ thừa bậc sáu của số ban đầu.

Tìm Min của $C = x² + 2y² + 3z² - 2xy + 2xz - 2x - 2y - 8z + 2000$

Cho $\left\{\begin{matrix} x,y>0\\ x+y=1 \end{matrix}\right.$. Tìm Max; Min của:
$S=(4x^2+3y)(4y^2+3x)+25xy$

Bạn ơi, chủ đề này đã có tại đây rồi, đề nghị mod xoá topic dùm.
http://diendantoanho...-pmnq-va-s-apq/

Cho $a,b,c,d>0$ và $d-\frac{bc}{a}>0$. Tìm max của $y=\frac{\sqrt{ax+b}}{cx+d}$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$A=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}$$
Với $x, y, z > 0$ và $xyz=1$

Cách nhẩm dễ nhất là giả sử $f(x)=ax$ với $a \ne 0$.
Vì đề bài không cho giả thiết $f$ liên tục hoặc $f$ đơn điệu nên mình không thể trình bày cách để chứng minh không còn hàm nào khác ngoài 2 hàm số trên thỏa đề.

Nếu bài toán cho thêm điều kiện là $f$ liên tục thì bạn chứng minh hai hàm trên là duy nhất dùm mình với

Có thể chỉ ra 2 hàm là
\[
\begin{array}{l}
\forall x:f\left( x \right) = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}x \\
\forall x:f\left( x \right) = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}x \\
\end{array}
\]
Nếu bài toán cho thêm điều kiện là đơn điệu hay liên tục, thì đáp số chỉ 2 hàm số trên.

ban co the chi cho minh cach tim khong. the nay thi tat qua. dong thoi con tim $f(2012)$ nua

Tìm hai hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn $f(f(x))=f(x)+x$. Tính $f(2012)$

Tìm GTNN: $A = x² + 2y² - 2xy + 2x - 10y$

Lấy đâu ra hằng số hả bạn ? Đề cho $xy;yz;xz$ thì ghép hết rồi còn đâu ?

Nếu thế thì A nhỏ nhất bằng 0, còn không thì phải cộng hoặc trừ hằng số

Bài này không có điều kiện sao ? Vậy cho $x \to +\infty$ thì $A \to +\infty$ nên không có giá trị nhỏ nhất

Bài này theo cách làm của nó thì phải đưa được về bình phương cộng hằng số, nhưng mình nhóm mãi mà không được, Nhân vào rồi nhóm cũng không xong. Mà thầy mình bảo là không sai đề. hix hix...

Tìm GTNN của: $A=x^2+6y^2+14z^2-8yz+6zx+4xy$

Tìm GTNN của: $\frac{2}{9x^2+6x-5}$

Hình như bạn nhầm rồi, phải là GTLN chứ

Mình cũng nghĩ vậy, nhưng đề thầy giao cho là như vậy, botay.com luôn. Mình còn 1 bài hình nữa ở box hình học bạn vào xem thử coi.