liệu có thể đặt 12 số 1,2,..12 theo 1 đường tròn sao cho với 3 số liền nhau a,b,c bất kì số b²-ac chia hết cho 13

cho a,b là 2 số nguyên lớn hơn 1, dãy (x_n) xác định bởi;;
x₀=0,x₁=1;x_2n=ax_2n-1-x_2n-2;x_2n+1 =bx_2n-x_2n-1 n>=1
cmr với mọi STN m,n thì x_n+mx_n+m-1...x_n+1 chia hết cho x_mx_m-1

ta gọi 1 tập hợp các số nguyên dương C là tốt nếu với mọi số nguyên dương k thị tồn tại a,b khác nhau trong C sao cho (a+k,b+k)>1.giả sử ta có 1 tập tốt mà tổng các phần tử trong đó bằng 2003.cmr ta có thể loại đi 1 phần tử c trong C sao cho tập còn lại vẫn là tập tốt.

cho số nguyên tố p,p=4k+1,K={$1\leq r<p l r\equiv x^{2}$(mod p),x nguyên dương}.tính tổng $S=\sum_{r\in K}r$

tìm tất cả cặp SNT (p,q) thỏa 2p^q -q^p =7

cm với mọi số nguyên dương n ta có $\sum_{k=0}^{n}\frac{(\binom{n}{k})^{2}}{(2k+1)\binom{2n}{2k}}=\frac{2^{4n}(n!)^{4}}{(2n)!(2n+1)!}$

Cho tam giác ABC.(M) bất kì qua B,C cắt AB,AC ở EF,2 đường tròn qua E,F tiếp  xúc với BC ở M,N,Giả sử tiếp tuyến tại A của (AMN) đi qua trung điểm BC.CMR tam giác ABC vuông

 

Cho dãy $(c_{n})$ dương.CM
$\prod_{k=1}^{n}(1+c_{k})\leq (1+\frac{\sum_{k=1}^{n}c_{n}}{n})^{n}$

Cho dãy $ a_{o},a_{1},a_{2},...$ thỏa mãn
$a_{n+m}+a_{m-n}=1/2(a_{2m}+a_{2n})$
với mọi m,n tự nhiên ,$m\geq n$ và $a_{1}=1$,tìm $a_{n}$

Show that there are infinitely many prime numbers p having the following property: there exists a natural number n, not dividing p-1, such that p l n!+1.

 

 

 

p là 1 số nguyên tố,k là 1 số tự nhiên thỏa mãn 2k$\leq$p-1.cm:
a)tử số của phân số:
1+$\frac{1}{2^{2k-1}}+...+\frac{1}{(p-1)^{2k-1}}$ chia hết cho p²
b)tử số của phân số:
1+$\frac{1}{2^{2k}}+...+\frac{1}{(p-1)^{2k}}$ chia hết cho p

Cho x,y,z>0,xyz=1.CM
$\frac{x^{5}-x^{2}}{x^{5}+z^{2}+y^{2}}+\frac{y^{5}-y^{2}}{y^{5}+z^{2}+x^{2}}+\frac{z^{5}-z^{2}}{z^{5}+x^{2}+y^{2}}\geq 0$

Trong các ô của 1 bảng cỡ n.n đặt 1 cách tuỳ ý các số nguyên từ 1 đến $n^{2}$ .Xét khẳng định sau:

'Luôn tìm được hai ô có cạnh chung sao cho hiệu của 2 số nằm ở 2 ô đó lớn hơn 5'
1)CMR khẳng định đúng với n=10
2)CMR khẳng định đúng với n>10

3)CMR khẳng định đúng với n =9

4)CMR khẳng định sai với n=5

5)Xét tính đúng sai với n=6,7,8.

 

Cho ${x_{n}}$,$n\geq 0$,và $x_{0}$,
$x_{n}= x_{n-1}+\frac{3^{r+1}-1}{2} $nếu $n=3^{r}(3k+1)$
$x_{n}= x_{n-1}+\frac{3^{r+1}+1}{2} $nếu $n=3^{r}(3k+2)$
với k,r tự nhiên,CMR mọi số nguyên xuất hiện đúng 1 lần trong dãy

cho k =0 là ta tính theo biểu thức thứ nhất,k là số tự nhiên mà

cho (RR) là số các cặp (n,n+1) trong tập 1,2,..p-1 sao cho n,n+1 đều là thặng dư toàn phương mod p.cho (NR) là số các cặp (n,n+1) trong tập 1,2,..p-1 sao cho n là phi thặng dư toàn phương mod p,n+1 là thặng dư toàn phương mod p.tương tự ta định nghĩa cho (RN), (NN).
cm
a) (RR)+ (NN)-(NR)-(RN)=$\sum_{n=1}^{p-1}\frac{n(n+1)}{p}$
từ đó suy ra tổng này bằng -1
b)(RR)=$\frac{1}{4}(p-4-e)$ trong đó e=$(-1)^{\frac{p-1}{2}}$

Cho đường tròn (O) tiếp xúc với 2 đường thẳng d1,d2.Một đường tròn (X) tiếp xúc d1 tại A và tiếp xúc ngoài (O) tại C.Đường tròn (Y) tiếp xúc d2 tại B,tiếp xúc ngoài (O) tại D và tiếp xúc ngoài (X) tại E.AD cắt BC tại Q.
CMR Q là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CDE

 

 

Cho tam giác ABC,I là tâm đường tròn nội tiếp.Đường tròn (X) tiếp xúc với AB,AC.Đường tròn (Y) đi qua B,C tiếp xúc với  (X) ở T.CMR phân giác trong góc BTC đi qua I.

 

Bài toán đúng khi (X) nằm trong tam giác ABC  và (Y) tiếp xúc ngoài với (X)...Còn khi (X) nằm trong tam giác ABC và (X) tiếp xúc trong với (Y) thì phân giác góc  BTC đi qua tâm đường tròn bàng tiếp góc A .  ,thanh that xin lỗi

Cho dãy thực $(x_{n})$ được xác định như sau:
$x_{1}=a>1;x_{n+1}=\frac{2^{x_{n}}(x_{n}ln2-1)+1}{2^{x_{n}}ln2-1}$ với mọi n$\geq $1
tìm a để dãy số có giới hạn khác 0.tìm giới hạn đó

tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để $100^{100^{...^{100}}} $(gồm n số 100) lớn hơn $3^{3^{...^{3}}}$(có 100 số 3)

Cho số nguyên dương thỏa mãn:
$1+1^{n-1}+2^{n-1}+...+(n-1)^{n-1}\equiv 0(mod n)$. Chứng minh rằng n không có ước chính phương khác $1$.
___
NLT: Viết hoa đầu dòng để tăng tính thẩm mĩ bạn nhé !

cmr với mọi số nguyên tố p>7 ,tồn tại số nguyên dương n và các số nguyên$ x_{1};x_{2};....x_{n};y_{1};y_{2};...;y_{n}$ không chia hết cho p thỏa hệ
$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\equiv x_{2}^{2}(mod p)
x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\equiv x_{3}^{2}(mod p)
......
x_{n}^{2}+y_{n}^{2}\equiv x_{1}^{2}(mod p)$

tìm công thức tổng quát của dãy:(a_n)
a₀=a₁=1,a₂=2,a$_{n}$=$\sum_{i=1}^{n}(2i-1)a_{i-1}a_{n-i}$

Cho m,n là các số nguyên dương lẻ và $n^{2}+1\vdots \left |m^{2}-n^{2}+1\right |$
CMR $\left |m^{2}-n^{2}+1\right |$ là số chính phương