1. Tìm max: $\frac{\sqrt{x - 2012}}{x+2} + \frac{\sqrt{x-2013}}{x}$

Bạn có thể tham khảo bài này http://diendantoanho...racsqrtx-2002x/

Chứng minh các bất đẳng thức sau đây
c)$\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}<1$

$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{(n-1)n}$
Áp dụng vào bài toán ta có:
$VT<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{(n-1)n}=1-\frac{1}{n}<1$ (đpcm)

Có ai có sách "Một số vấn đề chọn lọc trong môn tin học" (2 tập) thì cho mình xin nhé.
Xin cảm ơn trước!

e xin đóng góp mấy bài mong các anh vào đây cho ý kiến cùng lời giải :
Bài 1 :Tìm a $\epsilon Z$ để $\sqrt{a^{2}+a+23}$ thuộc Q

Theo mình, bài này có thể đổi đề thành "Tìm a để $\sqrt{a^{2}+a+23}$ thuộc Q" thì sẽ hay hơn. Các bạn làm thử nhé!

Chứng minh rằng nếu số nguyên dương n ko pải là số chính phương thì $ \sqrt{n} $ là số vô tỷ.

Bài này đã có ở đây, bạn vào thảo luận nhé.http://diendantoanho...tỉ/#entry354371

7) $x^2 +\sqrt{m+x}=m$

Đặt $a=\sqrt{m+x}\Rightarrow a^2=m+x\Leftrightarrow x=a^2-m\Leftrightarrow x^2=a^4-2a^2m+m^2$
Thay vào phương trình ta có
$a^4-2a^2m+m^2+a=m\Leftrightarrow m^2-m(2a^2+1)+a^4+a=0$
Coi phương trình trên là phương trình bậc 2 với ẩn m, tính m theo a rồi thay $a=\sqrt{x+m}$ để tìm ra x theo m.
Chú ý điều kiện.
P/s: Hình như bài dạng này đã có nhiều trên diễn đàn vs rất nhiều cách giải hay, bạn có thể tìm kiếm và tham khảo.

bạn ơi có thể giải đáp giúp mình tại sao lại suy ra được như trên không? $\sqrt{x-\sqrt{x^2 - 1}}.\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}} +1 = 2\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}$

Nhân cả 2 vế của đẳng thức với $\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}$ bạn ạ.

Cho tam giác $ABC$ gọi $h_a ; h_b ; h_c$ lần lượt là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A,B,C và $(\dfrac{h_a}{h_b})^{2}+(\dfrac{h_a}{h_c})^{2}=1$.Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là tam giác vuông.

Bài này đơn giản, xơi ngay kẻo mất
Ta có $S=a.h_a=b.h_b=c.h_c\Rightarrow \frac{h_a}{h_b}=\frac{b}{a},\frac{h_a}{h_c}=\frac{c}{a}$
Mặt khác $(\frac{h_a}{h_b})^2+(\frac{h_a}{h_c})^2=1\Leftrightarrow (\frac{b}{a})^2+(\frac{c}{a})^2= 1\Leftrightarrow b^2+c^2=a^2$
Từ đó, ta có đpcm.

4) $\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=2$

$\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=2\Rightarrow \sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}.\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}+1=2\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}\Leftrightarrow \sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}\sqrt[4]{(\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}})^2}-2.\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}+1=0\Leftrightarrow \sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}.\sqrt{\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}}-2\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}+1=0$
Đặt $\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}=a$ thì $a\sqrt{a}-2a+1=0$
Đặt tiếp $\sqrt{a}=b\Rightarrow b^3-2b^2+1=0\Leftrightarrow (b-1)(b^2-b-1)=0$
Từ đây ta tính được b, thay vào tính a, rồi lại thay vào tính x.
Bạn phải thêm vào điều kiện thích hợp của x,a,b để loại bỏ các trường hợp ko thỏa mãn.

hỏi về tâm tỉ cự trong toán vecto
mọi người chỉ cho em cái
VD20 tài liệu chuyên toán hh 10:tam giác ABC có trong tâm G ,M bấtkì,A',B',C' dối xứng với M qua trung điểm BC,CA,AB chứng minh AA',BB',CC' đồng quy tại trung điểm mõi đoạn
lời giải trong TL như sau
GỌI K lầ tâm tỉ cự của hệ(A,B,C,M) với hệ số(1,1,1,-1) từ đẳng thức
$\vec{KA}+\vec{KB}+\vec{KC}-\vec{KM}=0$(1)
CHÚ Ý
$\vec{A'B}+\vec{A'C}+-\vec{A'M}=0$(2)
SUY RA (theo công thức thu gọn)
$\vec{KA}+(1+1-1)\vec{KA'}=0$(3)
CHO EM HỎI TAI SAO TỪ (1)VÀ(2)lại suy ra (3)
(sẵn cho em hỏi luôn $\sum_{i=1}^{n}$ có nghĩa là gì,có phải nhất thiết phải là i=1 không,nếu i= số khác thì sao)
em xin cảm ơn

Bạn trừ (1) cho (2) thì có (3) thôi. .Mà hình như vế phải phải là Vetor 0 chứ nhỉ?

Bài này dùng biểu đồ Ven là dễ nhất hoặc có thể làm như sau
$$A=(A\cap B)\cup (A\setminus B); B=(A\cap B)\cup (B\setminus A)$$
Ta sẽ tìm ra được
$$A=\begin{Bmatrix} 0;1;2;3;4;-3;-2 \end{Bmatrix}; B=\begin{Bmatrix} 0;1;2;3;4;6;9;10 \end{Bmatrix}$$

Cho x,y,z > 0 . Cmr [attachment=11686:CodeCogsEqn.gif]

Cảm ơn đã quan tâm ^^~

Chém thử phát
$x+\frac{x}{1+xy}+\frac{4}{y+2z}=x(\frac{1}{1}+\frac{1}{1+xy}+\frac{4}{xy+2zx})\geq x.\frac{(1+1+2)^2}{2(1+xy+xz)}=\frac{8x}{1+xy+xz}$

Cho a,b,c là 3 số dương.
CM : $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}+\sqrt{c^{2}-ac+a^{2}}$

Bạn tham khảo ở đây nhé
http://diendantoanho...sum-fracab2geq/

BÀI TOÁN : Chứng minh rằng nếu $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1}+\frac{c}{m}$ $(m>0)$ thì phương trình $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $(a\neq 0)$ luôn có nghiệm $x\in \begin{pmatrix} 0;1 \end{pmatrix}$

Bạn xem lại đề đi, phần đk nếu đó.

bài 3:cho m và $m^{2}+8$ là 2 số nguyên tố.CHứng minh $m^{3}+4$ cũng là số nguyên tố

Ta dễ dàng nhận thấy
$m=2$ không thoả mãn.
$m=3$ thoả mãn.
Xét trường hợp $m> 3$ thì $m^2\equiv 1(mod 3)\Rightarrow m^2+8\equiv 0(mod 3)$ nên ta loại trường hợp này.
Vì vậy ta có đpcm.

với a,b,c là các số thực thỏa mãn: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$
chứng minh:$\frac{1}{a^{11}}+\frac{1}{b^{11}}+\frac{1}{c^{11}}=\frac{1}{a^{11}+b^{11}+c^{11}}$
---------------------
Chú ý cách đặt tiêu đề:
http://diendantoanho...i-khong-bị-xoa/
Mà em kiểm tra lại đề xem :| Sao lại p0st vào b0x BĐT thế này?

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Rightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=1\Leftrightarrow \frac{a}{a}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=0\Leftrightarrow (a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{c}{ab})=0\Rightarrow a+b=0$$

(do biểu thức còn lại khác 0, các bạn biến đổi hộ mình nhé! )
Từ đây ta dễ dàng có đpcm.

Bài 3
Vẽ hình ngũ giác đều nội tiếp đường tròn đã cho.
Ta có thể dễ dàng nhận thấy 3 điểm bất kì từ 5 đỉnh của ngũ giác đều tạo thành tam giác cân.
Mặt khác, theo định lí Đi-rích-lê, ta có ít nhất 3 điểm trong 5 điểm trên có cùng màu.
Ta có đpcm

P/s: Bài 4 đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu vậy?

Bài 1 và bài 2 quá cơ bản.
Bài 1
Xét 2003 số có dạng 6, 66, 666, 6666, 66666, ...., 666....6666 (2003 chữ số 6)
nếu có 1 số chia hết cho 2003 thì có đpcm.
nếu ko có số nào chia hết cho 2003 thì có 2 số có cùng số dư khi chia cho 2003. trừ 2 số đó cho nhau ta đc 666...666000...000 chia hết cho 2003.
từ đó ta cũng có đpcm.

Bài 2 làm tương tự và câu trả lời là có.

Tại sao lại có điều trên vậy cậu? Với lại cậu làm có thể giải thích không chứ tớ nhìn vào không hiểu được câu chứng minh b) của cậu.

Bài này làm như Selena là chuẩn rồi đó , nhưng mỗi tội là làm tắt quá .
Thực chất bài này cũng khá đơn giản.
Ta có thể dễ dàng CM $\Delta POQ$ vuông tại O, cùng với đó, dựa vào tính chât tiếp tuyến cắt nhau, ta cũng có được AP = PM và MQ = QB.
$AP.BQ=PM.MQ=MO^2$(hệ thức lượng trong tam giác vuông $b'.c'=h^2$)
$\frac{1}{OM^2}=\frac{1}{PO^2}+\frac{1}{OQ^2}$ (áp dụng cái $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$ đó)
rồi mấy cái sau thì áp dụng Py-ta-go thôi.

Đóng góp cho topic 1 bài:
CMR: Phương trình $x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\frac{3}{4}=0$ không có nghiệm.

Chào mọi người. Mình có link này không biết có giúp ích được gì không, mọi người cứ tham khảo nhé!
http://vietabroader....-ôn-thi-NTU-NUS

Mình xin đóng góp:
1/Cho a,b,c$\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca> 0$ .CMR:
$\frac{a}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+ca+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$

$$\sum \frac{a}{b^2+bc+c^2}=\sum \frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}= \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$$
Ta có đpcm

Chào mọi người, mình rất thích môn toán học nhất là môn hình học nhưng hồi trước do mình ham chơi nên khi lên cấp 3 học và quyết định sau này thi vào ngành kiến trúc nhưng khổ nỗi là mình mất gốc căn bản hình học ở lớp dưới khi lên cấp 3 này thì thầy cô giảng bài hình học và cố gắng lắm nhưng thật sự là không hiểu được và làm bài tập hình học được, riêng đại số thì may ra có thể mình hiểu sơ sơ và làm bài được. Rất mong anh chị ở diễn đàn cho lời khuyên làm sao có thể lấy được căn bản và học tốt hình học ạ, thật sự là mình hiểu lý thuyết lớp 10 nhưng khi làm bài tập thì không thể ứng dụng được và chứng minh ra làm sao cả, rất mong mọi người góp ý mình nên làm gì bây giờ, hiện tại mình không thể chứng minh và ứng dụng công thức vào bài tập được. Rất mong mọi người giúp mình nhé

Mình cũng đang học lớp 10. Thực sự thì hình học lớp 10 có rất nhiều kiến thức mới, lạ và thậm chí là khó. Chính vì vậy, có lẽ bạn sẽ cần thêm thời gian luyện tập thì mới có thể vận dụng thành thạo các kiến thức được. Theo mình thì bạn không phải lo.
Nếu phần kiến thức lớp dưới bạn thấy hổng phần nào thì có thể tự ôn tập lại. Đã học qua rồi thì chắc chắn học lại sẽ nhanh thôi. Có gì vướng mắc bạn có thể đăng lên diễn đàn để cùng thảo luận.
Chúc bạn luôn học tập tốt và thực hiện được những ước mơ của mình.

$\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}$

Ta áp dụng bđt Schawz
$$\sum \frac{1}{16a}+\frac{1}{16a}+\frac{1}{16b}+\frac{1}{16c}\geq \sum \frac{4^2}{32a+16b+16c}=\sum \frac{1}{2a+b+c}$$
$$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{8a}+\frac{1}{16b}+\frac{1}{16b}\geq \sum \frac{1}{2a+b+c}$$
Ta có đpcm.

phần 2 có lẽ là dễ nhất.
Đặt $\left [ \frac{x}{2} \right ]=a; \left [ \frac{x}{3} \right ]=b (a;b\in \mathbb{Z})$
Ta sẽ có $a+b=17$ và $a\leq \frac{x}$\Rightarrow a+b\leq \frac{x}{2}+\frac{x}{3}< a+b+2\Leftrightarrow 17\leq \frac{5}{6}x< 19\Leftrightarrow 102\leq 5x< 114${2}< a+1; b\leq \frac{x}{3}< b+1$
Mà $x\in \mathbb{Z}$ nên ta có thể dễ dàng tìm ra $x$