Cho a,b,c>0. CMR: $\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 3$

Cho a,b,c>0. CMR: $\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}+\frac{ca}{b(b+c)}\geq \frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$

Cho a,b,c>0 và abc=1. CMR: $\frac{1}{a^{3}+b^{3}+1}+\frac{1}{b^{3}+c^{3}+1}+\frac{1}{c^{3}+a^{3}+1}\leq 1$

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+2b+3c=3. CMR: $\frac{a^{2}}{a+2b+\sqrt{2ab}}+\frac{4b^{2}}{2b+3c+\sqrt{6bc}}+\frac{9c^{2}}{3c+a+\sqrt{3ac}}$$\geq 1$

$\lceil\,\,'\text{AM-GM}'\,\,\rfloor$ 

 

$a- \frac{a}{ab+ 1}= \frac{ba^{\,2}}{ab+ 1}\geqq \frac{ba^{\,2}}{2\,\sqrt{ab}}= \frac{a\,\sqrt{ab}}{2}$

 

Tương tự và ta có bất đẳng thức mới cần chứng minh:

 

$\sum\limits_{cyc}\frac{a}{ab+ 1}\geqq \frac{3}{2}\,\,\Leftrightarrow \,\,\frac{a\,\sqrt{ab}+ b\,\sqrt{bc}+ c\,\sqrt{ca}}{2}\leqq a+ b+ c- \frac{3}{2}= \frac{1}{2}\,\frac{\left ( a+ b+ c \right )^{2}}{3}$

 

Đây là bất đẳng thức quen thuộc của $\lceil$ Vasile Cirtoaje $\rfloor$ , : 

 

$\lceil$ https://diendantoanh...11338 $\rfloor$

Cho e hỏi nếu GT đổi thành abc=1 thì làm ntn ạ?

Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=3. CMR: $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$

$\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}=\frac{a^{2}}{a^{2}b+a}+\frac{b^{2}}{b^{2}c+b}+\frac{c^{2}}{c^{2}a+c} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+a+b+c} \geq \frac{3^{2}}{3+3}=\frac{3}{2}$

Đặt A=..... Ta cần cm A<=2

$A=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+3b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+3a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b+3a}}$

Với a,b>0 có:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+3b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+b}}.\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+3b}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a+3b})$

$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}=\frac{\sqrt{2b}}{\sqrt{a+3b}}.\frac{1}{\sqrt{2}}\leq \frac{1}{2}.(\frac{1}{2}+\frac{2b}{a+3b})$

Do đó $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+3b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{3}{2})$

Làm tương tự => đpcm

$P=(t+1)\frac{1}{\sqrt{1+3t^{2}}}+(t+1)\frac{1}{\sqrt{t^{2}+3}}; t=\sqrt{\frac{b}{a}}$;

Đạo hàm là xong

bạn có thể nói rõ hơn k, mình mới học lớp 9 

Cho a,b>0 và a+b=1. CMR: $\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{b}{b^{2}+1}\leq \frac{4}{5}$

MOD: Chú ý cách gõ nhé

Số xấu quá, coi lại đề bài phần giả thiết.

Cho a là 1 nghiệm dương của pt: $4x^{2}+\sqrt{2}.x-\sqrt{2}=0$. Tính giá trị của biểu thức A=$\frac{a+1}{\sqrt{a^{4}+a+1}-a^{2}}$

cho 3 số dương a,b,c. CMR: $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb}$

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. CMR: $\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ca}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\geq 2$

Cho 3 số a,b,c không âm thỏa mãn $a+b+c= \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2$. CMR: $\frac{\sqrt{a}}{1+a} +\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{(1+a)(1+b)(1+c)}}$

Cho 2 số dương x,y thỏa mãn $xy+\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}=\sqrt{2014}$. Tính giá trị biểu thức $B= x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}$

Cho $x,y>0$. Tìm GTNN của $A=\frac{(x+y)^{3}}{xy^{2}}$

Cái này không có GTNN nhé bạn. Để ý trên tử là bậc 2, dưới mẫu là bậc 3. 

Cho $x=y$ thì $A=\dfrac{4x^2}{x^3}$. Khi cho $x$ càng lớn thì $A$ càng nhỏ. bạn xem lại đề nhé 

mình sửa lại đề rồi

Cho $S=5+5^{2}+5^{3}+...+5^{2016}$

CMR: S chia hết cho 6 ;31;26;126 

P/S:toán lớp 6->giải bằng cách lớp 6

Cho $a,b,c,d>0$. Tìm GTNN của $S=(1+\frac{2a}{3b})(1+\frac{2b}{3c})(1+\frac{2c}{3d})(1+\frac{2d}{3a})$

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.CMR $P=a(b-c)^{4}+b(c-a)^{4}+c(a-b)^{4}\leq \frac{1}{12}$

Cho $a\geq 3, b\geq 4, c\geq 2$. Tìm GTLN của$S=\frac{ab\sqrt{c-2}+bc\sqrt{a-3}+ca\sqrt{b-4}}{2\sqrt{2}}$ 

Cho $0< a\leq \frac{1}{2}$. Tìm GTNN của $S=2a+\frac{1}{a^{2}}$

Cho $0\leq x;y;z\leq 2$ và x+y+z=3. Tìm GTNN và GTLN của $H=x^{4}+y^{4}+z^{4}+12(1-x)(1-y)(1-z)$

Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ a+b+c\leq \frac{3}{2} & \end{matrix}\right.$. Tìm GTNN của $S=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$