Tính tích phân sau $\int_{1}^{2}\frac{xlnx-x+e^xlnx+1}{x+e^x}dx$

Cho hình chóp SABCD có đáy là  hình thang vuông tại A và  B , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, biết AB=BC=2a, gọi H là trung điểm AB , biết $d\left ( C;\left ( SHD \right ) \right )=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$. Tính thể tích SAHCD và cosin của SC và DH.

Cho x, y là số thực dương thoả mãn xy=(x+1)(y+1) Tìm giá trị lớn nhất : 

$P=\cfrac{3x}{y(x+1)}+\cfrac{3y}{x(y+1)}-\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{1}{y^2}$

Cho hai số dương thoả mãn $x^2y+y^2x=x+y+3xy$. Tìm giá trị  nhỏ nhất của $P=x^2+y^2+\cfrac{(1+2xy)^2-3}{2xy}$

Cho ba số dương thoả mãn $x+y+z\leq \cfrac{3}{2}$. Tìm $MinP=x+y+z+\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}$

Cho ba số dương thỏa mãn : $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của 

$$P=\cfrac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\cfrac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+c+a}}+\cfrac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+a+b}}$$

Vì $c$ không có trên tử và $a,b$ đối xứng ( vai trò như nhau)

Nhưng mà  cơ sở nào để chọn a=b=1? c=2? 

Bạn xem lại đề xem có thiếu điều kiện không nhé, nếu đề như thế này thì bài toán hiển nhiên quá

ta luôn có $P \geq 0$

$MinP = 0$ khi $a=b=0$ , $c$ tuỳ ý thoả mãn điều kiện

Mình nhầm số 1 là  số 0 bạn ạ.

Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi $a=b=1, c=2$

ta có $c^2+4(ab+bc+ca) \leq 4+4(ab+2a+2b) $

$\Rightarrow P \geq \frac{(a+b)^2}{4+4(ab+2a+2b)}$

Ta chứng minh  $\frac{(a+b)^2}{4+4(ab+2a+2b)} \geq \frac{1}{6}$ (1)

Thật vậy  (1)  tương đương với

$ 2(a-1)^2+2(b-1)^2+(a^2-1)+(b^2-1)+4(ab-1)\geq 0 $   ( luôn đúng với điều kiện của $a,b$)

Vậy $MinP= \frac{1}{6}$ khi $a=b=1, c=2$

Bạn có thể  nêu cơ sở  dự  đoán điểm rơ rõ hơn được không?

Cho $a,b,c\epsilon \left \lceil 1;2 \right \rceil$. Tìm $Min P=\cfrac{\left ( a+b \right )^2}{c^2+4\left ( ab+bc+ca \right )}$

Đổi dấu -7 thành +7

Giải phương trình : $\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{3x+3}-x+7=\cfrac{\sqrt[3]{3x+3}\left ( \sqrt[3]{x-1}+2 \right )}{x-5}$

Cho các số thực dương thay đổi thoả mãn $x+2y-z\geqslant 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{x}{10y+z}+\dfrac{y}{x+y+z}+\dfrac{x+2y}{2x+3y}$

Cho các số thực không âm thoả mãn $x^2+y^2+z^2=3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: $P=\cfrac{16}{\sqrt{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}}+\cfrac{xy+yz+zx+1}{x+y+z}$

Cho ba số thực dương thỏa mãn $5\left ( x^2+y^2+z^2 \right )=9\left ( xy+2yz+zx \right )$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: $P=\dfrac{x}{y^2+z^2}-\dfrac{1}{\left ( x+y+z \right )^3}$

Giải phương trình sau : $2x^2+5x-1=7\sqrt{x^3-1}$

Giải phương trình sau $x^2-3x+1+\sqrt{2x-1}=0$

 Giải phương trình $x^4+x+ln(x^2+x+1)=0$

Giải phương trình $x^3-5x^2+12x-6=2\sqrt[3]{x^2-x+1}$

Giải phương trình $x^2+16x-16=(2x+1)\sqrt{3x^2+4}$

Giải phương trình $7^x+9^x=6^x+10^x$

Dễ cm được: x chia cho 4 dư 1

*TH1: x=1 là nghiệm của phương trình

*TH2: x=5 không là nghiệm

*TH: $x\geq 7$

Ta có: $10^{x}=(9+1)^{x}=9^{x}+x.9^{x-1}+...+1>9^{x}+x.9^{x-1}>9^{x}+x.7^{x-1}\geq 9^{x}+7^{x}$ ( vô lý)

Vậy S={1}

Giải vậy sai rùi bạn còn nghệm x=0 mà

Giải phương trình $3^x=1+x+\dfrac{ln(2x+1)}{ln3}$

Giải phương trình $2\sqrt{2}cotx+8cos2x=6\sqrt{2}+\dfrac{5}{sinxcosx}$

Giải phương trình $\sqrt{2x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}=3x$