Giải phương trình lượng giác sau : 

$\frac{sin^3 x -cos ^3 x}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cos x}}=2cos2x$

 

@MOD : chú ý cách đặt tiêu đề

$ĐK\left\{\begin{matrix} \cos x\geq 0\\ \sin \geq 0 \\ \sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}\neq 0 \end{matrix}\right.$

$PT\Leftrightarrow (\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x})(1+\sin x.\cos x)=2\cos 2x$

$\Rightarrow (\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x})(1+\sin x.\cos x)=2(\sqrt{\cos x}-\sqrt{\sin x})(\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x})(\sin x+\cos x)$

$\Rightarrow (\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x})(1+\sin x.\cos x+2(\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x})(\sin x+\cos x))=0(1)$

Vì $\sin x,\cos x\geq 0$ nên từ (1) suy ra :

$\sqrt{\sin x}= \sqrt{\cos x}$

$\Rightarrow \tan x=1$

$\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi $

Đối chiếu với điều kiện bài toán ta có nghiệm của phương trình là :$x=\frac{\pi }{4}+k2\pi $

Cho $a;b;c>0$.CMR:

 

a)  $\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(c+a)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{3}{2}$

 

b) $\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(c+a)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}}\geq 1$

Bài 1:

Áp dụng BĐT cô si ta có :

$\sum \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}\sum (\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})= \frac{3}{2}$

Bài 2: Tham khảo tại đây

 

Bài 4: Cho $a,b,c> 0$.

Cmr: $\sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}\leq 3$.

 

 

Áp dụng BĐT schwarz ta có :

$\sum \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}\leq \sum (\frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}})= 3$

Vậy ta được đpcm

Cho $a,b,c>0$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Cmr: $\sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{4}{4-(a+b)^{2}}\leq \frac{9}{2}$.

Áp dụng BĐT schwars ta có :

$\sum \frac{4}{4-(a+b)^{2}}= \sum (1+\frac{(a+b)^{2}}{4-(a+b)^{2}})=3+\sum \frac{(a+b)^{2}}{4-(a+b)^{2}}\leq 3+\sum \frac{(a+b)^{2}}{4(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2(a^{2}+b^{2})}= 3+\sum \frac{(a+b)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+2c^{2})}\leq 3+\frac{1}{2}\sum (\frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}})=3+\frac{3}{2}= \frac{9}{2}$

Vậy ta được đpcm

 

bài 2:

cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0\\x+y+z\leq \frac{3}{2} \end{matrix}\right.$

tìm giá trị nhỏ nhất cho $P=x+y+z+\frac{1}{x+2y}+\frac{1}{y+2z}+\frac{1}{z+2x}$

Áp dụng BĐT côsi và schwars ta có :

$\sum x+\sum \frac{1}{x+2y}\geqslant \sum x+\frac{9}{3(x+y+z)}= (\sum x+\frac{9}{4\sum x})+\frac{3}{4\sum x}\geqslant 2\sqrt{\sum x.\frac{9}{4\sum x}}+\frac{3}{4\sum x}\geqslant 3+\frac{1}{2}= \frac{7}{2}$

Vậy MinP=$\frac{7}{2}$ và dấu "="  xảy ra khi : $x=y=z=\frac{1}{2}$

Cho :  $\left\{\begin{matrix} x,y,z>1\\ x+y+z=xyz \end{matrix}\right.$ 

Chứng minh rằng : $\sum \frac{x-2}{z^{2}}\geq \sqrt{3}-2$

Cho x,y,z>0

       x+y+z=3

Tìm MinA= $\frac{x^{2}}{x+y^{2}}+\frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$

Áp dụng BĐT cô si ta có :

$\sum \frac{x^{2}}{x+y^{2}}= \sum (x-\frac{xy^{2}}{x+y^{2}})\geq \sum (x-\frac{\sqrt{x}y}{2})\geqslant \sum (x-\frac{(xy+y)}{4})= \frac{3}{4}\sum x-\frac{\sum xy}{4}\geq \frac{3}{4}\sum x-\frac{(\sum x)^{2}}{12}=\frac{3}{2}$

Vậy $MinA=\frac{3}{2}$

 

2. CMR:

$cos^{8}x+sin^{8}x=\frac{1}{64}cos8x+\frac{7}{16}cos4x+\frac{35}{64}$

$\sin^{8} x+\cos ^{8}x$

$=(\sin ^{4}x+\cos ^{4}x)^{2}-2sin^{4}x.\cos ^{4}x$

$=(1-2\sin ^{2}x.\cos ^{2}x)^{2}-2\sin ^{4}x.\cos ^{4}x$

$=1-4\sin ^{2}x.\cos ^{2}x+2\sin ^{4}x.\cos ^{4}x$

$= 1-\sin ^{2}2x+\frac{1}{8}.\sin ^{4}2x$

$=1-\frac{1-\cos 4x}{2}+\frac{1}{8}(\frac{1-\cos 4x}{2})^{2}$

$=\frac{1+\cos 4x}{2}+\frac{1}{32}.(1-2\cos 4x+\cos ^{2}4x)$

$= \frac{1+\cos 4x}{2}+\frac{1}{32}.(1-2\cos 4x+\frac{\cos 8x+1}{2})$

$= \frac{35}{64}+\frac{7}{16}\cos 4x+\frac{\cos 8x}{64}$

CMR: Tam giác ABC đều khi thỏa mãn hệ thức:

$cos2A+cos2B+cos2C=-\frac{3}{2}$

Xét 

$P=cos2A+cos2B+cos2C+cos\frac{2\pi }{3}$

$=2cos(A+B).cos(A-B)+2\cos (C+\frac{\pi }{3})\cos (c-\frac{\pi }{3})$

$\leq 2(\cos(A+B)+\cos (C+\frac{\pi }{3}))$ ( Vì $0<\cos (A-B),\cos (C-\frac{\pi }{3})\leq 1$)

$= 4\cos \frac{A+B+C+\frac{\pi }{3}}{2}.\cos \frac{A+B-C-\frac{\pi }{3}}{2}$

$\leq  4\cos \frac{A+B+C+\frac{\pi }{3}}{2}$( Vì $0<\cos \frac{A+B-C-\frac{\pi }{3}}{2}\leq 1$)

$= 4\cos \frac{2\pi }{3}$

Vậy $P\leq 4\cos \frac{2\pi }{3}\Rightarrow \sum \cos 2A\leq 3\cos \frac{2\pi }{3}=\frac{-3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $A=B=C=\frac{\pi }{3}$ 

Mà theo đề bài ta có tam giác ABC thỏa mãn $cos2A+cos2B+cos2C=-\frac{3}{2}$ nên suy ra tam giác đó là tam giác đều

Giải phương trình:

 

$$\sqrt{(1+x) (2-x )} +\sqrt{1+x}=\sqrt{2-x} +3-3x$$

ĐK : $-1\leq x\leq 2$

Đặt : $\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{1+x}\\ b=\sqrt{2-x} \end{matrix}\right.$

$PT\Leftrightarrow ab+a+b=b+2b^{2}-a^{2}$

$\Rightarrow (b-a)(2b+a+1)=0(1)$

Do $a,b\geq 0$ nên $(1)\Rightarrow a=b\Rightarrow \sqrt{1+x}=\sqrt{2-x}\Rightarrow x=\frac{1}{2}$

So sánh với điều kiện bài toán ta có : Phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{1}{2}$

Tam giác ABC là tam giác gì nếu có

$cos\frac{A}{2}.cos\frac{B}{2}.cos\frac{C}{2}-sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}=\frac{1}{2}$

 

Mod: chú ý cách đặt tiêu đề 

Ta có :

$\left\{\begin{matrix} \prod cos\frac{A}{2}=\frac{\sum sinA}{4}\\ \prod sin\frac{A}{2}=\frac{\sum cosA+1}{4} \end{matrix}\right.$

Từ đó suy ra 

$VT= \frac{\sum sinA-\sum cosA+1}{4}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \sum sinA-\sum cosA=1$

$\Rightarrow 2sin(\frac{A+B}{2}).cos(\frac{A-B}{2})+sinC-2cos(\frac{a+b}{2}).cos(\frac{A-B}{2})-cosC=1$

$\Rightarrow 2cos\frac{C}{2}.cos(\frac{A-B}{2})-2sin\frac{C}{2}.cos(\frac{A-B}{2})+sinC-cosC=1$

$\Rightarrow 2cos(\frac{A-B}{2}).(cos\frac{C}{2}-sin\frac{C}{2})+2.sin\frac{C}{2}.cos\frac{C}{2}-2cos^{2}\frac{C}{2}=0$

$\Rightarrow 2(cos(\frac{A-B}{2})-cos\frac{C}{2})(cos\frac{C}{2}-sin\frac{C}{2})=0$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} cos\frac{C}{2}=sin\frac{C}{2}\\ cos(\frac{A-B}{2})=cos\frac{C}{2} \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} A=90^{\circ}\\ B=90^{\circ} \\ C=90^{\circ} \end{bmatrix}$

Vậy tam giác thỏa mãn điều kiện bài toán là tam giác vuông

Cho : $\left\{\begin{matrix} a,b>0\\ a+b\geq 6 \end{matrix}\right.$

Tìm Min của : $P=\frac{3a^{2}+4}{4a}+\frac{2+b^{3}}{b^{2}}$ 

@chardhdmovie : Đề đúng rồi đó em , câu bất đề thi năm ngoái trường anh mà 

Cho $a, b, c$ dương thỏa mãn $a+b+c=ab+bc+ca$

 

Chứng minh rằng $\sum {{{a + b} \over {{a^2} + {b^2}}}}  \le 3$

Áp dụng BĐT cô si ta có :

$\sum \frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}\leq \sum \frac{2(a+b)}{(a+b)^{2}}= \sum \frac{2}{a+b}= \frac{2\sum (b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leqslant \frac{2.\frac{1}{3}(2a+2b+2c)^{2}}{\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)}= \frac{3.(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}}=3$

Vậy ta được đpcm

1. Cho a,b,c>0 và $a+b+c=3$. Cm $\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{a+c}+\frac{3+c^2}{b+a}\geq 6$

 

Áp dụng BĐT schwars ta có :

$\sum \frac{3+a^{2}}{b+c}= \sum (\frac{3}{b+c}+\frac{a^{2}}{b+c})=\sum \frac{3}{b+c}+\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geqslant \frac{27}{2(a+b+c)}+\frac{a+b+c}{2}=\frac{9}{2}+\frac{3}{2}=6$

 

5)cho x,y,z>0 và$x+y+z\leq \frac{3}{2}$ . tìm GTNN của $M=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
 

 

@MOD : Học cách đặt tiêu đề đúng quy định tại đây

Áp dụng BĐT cô si ta có :

$M\geq \sum x+\frac{9}{\sum x}\geq 5\sqrt[5]{\sum x.\frac{9^{4}}{4^{4}(\sum x)^{4}}}= 5\sqrt[5]{\frac{9^{4}}{4^{4}.(\sum x)^{3}}}\geq 5\sqrt[5]{\frac{9^{4}}{4^{4}.(\frac{3}{2})^{3}}}=\frac{15}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi : $x=y=z=\frac{1}{2}$

P/s: Đóng góp thêm 1 bài anti đạo hàm nữa 

Cho $x,y,z>0$ tìm GTNN : $A=(xyz+1)(\sum \frac{1}{y})+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-x-y-z$

Áp dụng BĐT cô si ta có :

$VT \geq \sum xy+\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{x}{y}-\frac{1}{2}\sum (xy+\frac{x}{y})= \frac{1}{2}(\sum xy+\sum \frac{x}{y})+\sum \frac{1}{x}\geq \frac{1}{2}\sum (xy+\frac{x}{y})+\frac{9}{x+y+z}\geq \sum x+\frac{9}{\sum x}\geqslant 6$

1> Viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A(-1;0); B(1;2) và tiếp xúc với đường thẳng d:x-y-1=0

3> Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d:3x-5y-8=0 và tiếp xúc với các trục tọa độ.

Câu 1 : 

Đặt $I(a,b )$ là tâm đường tròn và R là bán kính của đường tròn $(I)$

Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là :

 $\frac{\begin{vmatrix} a-b-1 \end{vmatrix}}{\sqrt{2}}=R\Rightarrow \frac{(a-b-1)^{2}}{2}=R^{2}(1)$

Do A và B là 2 điểm thuộc đường tròn nên ta có :

Giải các hệ phương trình sau :

1.$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x-1} - \sqrt{2y} =-1\\ \sqrt{x+2} + \sqrt{2y+5} =5\end{matrix}\right.$

3. $\left\{\begin{matrix}x+y+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=12\\ y\sqrt{x^{2}-y^{2}}=4\end{matrix}\right.$

 

Câu 1:

ĐK :....

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{x-1}\\ b=\sqrt{2y} \end{matrix}\right.$

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a-b=-1(1)\\ \sqrt{a^{2}+3}+\sqrt{b^{2}+5}=5 (2) \end{matrix}\right.$

$PT(1)\Rightarrow a^{2}+2a+1=b^{2}\Rightarrow a^{2}-b^{2}=-2a-1$

$PT(2)\Rightarrow \frac{a^{2}-b^{2}-2}{\sqrt{a^{2}+3}-\sqrt{b^{2}+5}}=5\Rightarrow -2a-3=5(\sqrt{a^{2}+3}-\sqrt{b^{2}+5})$

Từ đó ta có hệ sau :

$\left\{\begin{matrix} 5(\sqrt{a^{2}+3}-\sqrt{b^{2}+5})=-2a-3\\ \sqrt{a^{2}+3}+\sqrt{b^{2}+5}=5 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 10\sqrt{a^{2}+3}=-2a-22$

$\Rightarrow 24a^{2}+22a-46=0$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} a=1\\ a=\frac{-23}{12} \end{bmatrix}$

Do $a\geq 0$ nên suy ra  : $a=1\Rightarrow \sqrt{x-1}=1\Rightarrow x=2$

Từ đó suy ra $b=2\Rightarrow \sqrt{2y}=2\Rightarrow y=2$

Vậy nghiệm của hệ phương trình ban đầu là : $\left\{\begin{matrix} x=2\\y=2 \end{matrix}\right.$

Câu 3:

ĐK:...

$HPT\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (12-x)^{2}=(y+\sqrt{x^{2}-y^{2}})^{2}\\ 2y\sqrt{x^{2}-y^{2}}=8 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 144-24x=2y\sqrt{x^{2}-y^{2}}\\ 2y\sqrt{x^{2}-y^{2}}=8 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x=\frac{17}{3}$

Thay vào PT(2) là tìm ra y ( nghiệm y lẻ quá nên ngại ghi  )

2) $\frac{4(ab+ac+bc)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{8abc}\geq 12$

3) $\frac{8(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{ab+ac+bc}+\frac{9(a+b)(a+c)(b+c)}{(a+b+c)^{2}}\geq \frac{2}{3}.(a+b+c)$

 

Câu 2 : BĐT sai với a=1 , b=2 , c=3

Câu 3:

Hình như đề câu này phải là : $\frac{8(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{ab+ac+bc}+\frac{9(a+b)(a+c)(b+c)}{(a+b+c)^{2}}\geq \frac{16}{3}.(a+b+c)$ chứ nhỉ ?

Với đề  trên ta sẽ giải như sau :

Ta sẽ sử  BĐT phụ sau : 

$\left\{\begin{matrix} 9(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b+c)^{3} \\ (a+b)(b+c)(c+a)\geqslant \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac) \end{matrix}\right.$

Ta có :

$VT\geq \frac{8(a+b+c)^{3}}{9(ab+bc+ac)}+\frac{8(a+b+c)(ab+bc+ac)}{(a+b+c)^{2}}\geqslant 2\sqrt{\frac{64(a+b+c)^{3}.(ab+bc+ca)}{9(ab+bc+ac).(a+b+c)}=\frac{16}{3}(a+b+c)}$

Vậy ta được đpcm

 

$2)$

Cho $x;y;z>0$. Cmr:

$$\sum \frac{x}{(x+y)(x+z)}\leq \frac{9}{4\sum x}$$

Áp dụng BĐT phụ : $(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)$

Ta có :

$\sum \frac{x}{(x+z)(x+y)}= \frac{2(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq \frac{2(xy+z+zx)}{\frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)} = \frac{9}{4\sum x}$

Vậy ta được đpcm

Cho a,b,c dương có tổng bằng 1.

Tìm GTLN của biểu thức S=$\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{\sqrt{abc}}{c+ab}$.

Bạn tham khảo tại đây

Cho $a,b,c$ dương thoả mãn: $a+b+c=1$. CMR: $\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{\sqrt{abc}}{c+ab}\geqslant 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$

BĐT , thay $a=\frac{1}{2} ;b=c=\frac{1}{4}$ là thấy ngay

Bạn tham khảo tại đây  

Em chỉ đưa ra bình luận là cách của bạn hơi dài và một bài toán khác:hướng giải bạn làm sai em trích ra chỉ chỗ sai mà điều hành viên coi là spam,phạt em 5 điểm.Em hỏi tại sao điều hành viên chỉ bảo là Spam.Nhưng thật ra em thấy cái em chỉ chỗ sai của bạn đấy đâu coi là Spam,với cả câu Bài toán được thi chuyên Sư Phạm một lần nhưng em không tìm thấy đề trên này không dẫn được link mà cũng bị coi là Spam,mà điều hành viên này không nhắc nhở em,phạt em điểm luôn.Tại sao lại vô lý như vậy???                

Ý anh là topic này hả vâng mời anh chụp ảnh em vi phạm topic này lên,xin chỉ giáo hay topic em post trên.Em chỉ rõ lời giải bạn lằng nhằng thật.Em không hiểu một số chỗ.Anh có thể post ảnh topic kia lên

Bạn kia dùng BĐT Bunhia mà không xét dấu bằng lời giải sai rõ!!Rất nhiều thành viên chỉ trích lời giải sai của bạn đấy mà anh xóa đi anh chụp đúng hình ảnh lên thì em mới phục!

Dạ xin lỗi anh cho em hỏi topic này ai xóa hết bài của mọi người vậy.Topic bunhia đang tranh luận mà,anh thì nhắc nhở nhưng một số ĐHV không inbox mà phạt điểm em luôn!!

 

Nếu như thế cho em hỏi có topic nào chỉ rõ xem những câu nào là Spam trong bài viết những câu nào không?Mong các BQT chỉ dẫn em

Em không nên  phóng ta phông chữ lên cũng như thay đổi màu chữ làm gì cả , em thấy nó giúp ích gì cho việc này à ? Anh nhìn thôi cũng đủ mất thiện cảm chứ chưa cần biết nội dung là gì rồi 

Giải các BĐT sau: 

 

$3$     Cho $a,b,c>0$. CMR: $\sum \frac{a^3}{(a+b)^3}\geq \frac{3}{8}$

 

Tham khảo tại đây