Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp (O). Gọi BC=a,AB=c,AC=b. Từ 1 điểm N trên cung BC (N và A khác phía đối với BC) kẻ NK,NL,NM lần lượt vuông góc với BC,CA,AB. Gọi độ dài các đoạn NK,NL,NM lần lượt là x,y,z.Tính giá trị nhỏ nhất của tổng $S=\frac{a}{z}+\frac{b}{x}+\frac{c}{y}$

Tìm các số nguyên x,y,z thỏa mãn:

Tính $x^3,y^3,z^3$ theo a,b,c

Cho hai tia Ox và Oy tạo với nhau một góc $45^o$ và tự quay quanh O cố định. Từ điểm A cố định, hạ đường vuông góc với AB xuống Ox và AC xuống Oy.

a) Chứng minh rằng: đoạn thẳng BC có độ dài không đổi.

b) Tìm điểm cố định cố định mà các đường tròn đường kính BC đi qua.

c) Gọi D,E lần lượt là giao điểm của AB và AC với Oy và Ox. Tam giác ACD là tam giác gì ? Chứng minh DE có độ dài không đổi. 

Cho đường tròn (O). H là 1 điểm cố định trong đường tròn. Kẻ 2 dây AHC, BHD của đường tròn sao cho 2 dây trên vuông góc  với nhau. Tìm vị trí của  2 dây AHC, BHD để $S_{ABCD}$ nhỏ nhất.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình $x^{4}-4x^{3}+8x+m=0$ có 4 nghiệm phân biệt. (Thanh Hóa - 2013)

Tìm số nguyên dương a,b,c thoả mãn: a+b+c+ab+bc+ca=abc+1 với $a \leq b \leq c$

Tìm số có 3 chữ số $\overline{abc}$ thoả mãn $\overline{abc}$=$(a+b)^2.4c$

Tìm số có ba chữ số $\overline{abc}$ thoả mãn $\overline{abc}$=$(a+b)^2$.4c

Tìm số chính phương $\overline{abcd}$ biết $\overline{ab}$-$\overline{cd}$=1

Đề thi HSG toán 9 huyện Yên Dũng-Bắc Giang (29-4-2011) 

Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R và một điểm M di động trên một nửa đường tròn( M không trùng với A,B). Người ta vẽ một đường tròn tâm E tiếp xúc với đường tròn (O) tại M và tiếp xúc với đường kính AB. Đường tròn (E) cắt MA,MB lần lượt tại các điểm thứ hai là C,D. Tìm quỹ tích điểm E.

3)Tìm nghiệm nguyên dương của pt:$ x^3+y^3+z^3=2xyz$

Cho hai số x,y thoả mãn 1$\leq$x$\leq$3 và $\frac{1}{2}$$\leq$y$\leq$$\frac{2}{3}$

Tìm Max M=$6x^2y^2-7x^2y-24xy^2+2x^2+18y^2+28xy-8x-21y+6$

 Cho các số $a,b,c \in \left [ 0;2 \right ]$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
$$P=a^2+2b^2+3c^2-2a-24c+2060$$

Tìm GTNN của biểu thức  sau : P = x + $\sqrt{\frac{1}{x} + x^2}$

Tìm giới hạn sau:$\lim_{x\rightarrow 0}$ $\frac{tan 2x}{sin 5x}$

Cho hàm số $f(x)=cos\frac{1}{x}$ và hai dãy số $(x'_n),(x''_n)$ với:

 $x'_n=\frac{1}{2n\pi}$ và $x''_n=\frac{1}{(2n+1)\frac{\pi}{2}}$

a) Tìm giới hạn của các dãy số $(x'_n),(x''_n),(f(x'_n)) và (f(x''_n))$.

b) Tồn tại hay không $\overset{lim}{x\rightarrow0} cos\frac{1}{x}$?

Tìm các số nguyên x,y,z thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} x+y+z=6\\ x^2+y^2+z^2=14\\ x^3+y^3+z^3=36 \end{matrix}\right.$ 

Tìm các số nguyên dương thỏa mãn : 2(y+z)= x(yz - 1)

Tìm các số nguyên $a, b, c$ để $a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$ là 1 số nguyên tố

Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn:$x^3+(x+1)^3+(x+2)^3+...+(x+7)^3=y^3$

Tìm các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn: $x^2y^2-x^2-8y^2=2xy$