Chỗ nào chứng minh sao vậy bạn?Vì mình thấy BĐT 2 ''trâu'' quá nên mình trình bày cách khác như sau:
Đặt $a = \dfrac{x}{y}, b = \dfrac{y}{z}, c = \dfrac{z}{x}$ với x, y, z > 0
Ta cần chứng minh:
$\dfrac{x^3}{2yz^2 + yx^2} + \dfrac{y^3}{2zx^2 + y^2z} + \dfrac{z^3}{2xy^2 + xz^2} \geq 1$
Theo BĐT Schwarz:
$\dfrac{x^3}{2yz^2 + yx^2} + \dfrac{y^3}{2zx^2 + y^2z} + \dfrac{z^3}{2xy^2 + xz^2}$
$= \dfrac{x^4}{2xyz^2 + x^3y} + \dfrac{y^4}{2yzx^2 + y^3z} + \dfrac{z^4}{2xzy^2 + z^3x}$
$\geq \dfrac{(x^2 + y^2 + z^2)^2}{2xyz(x + y + z) + x^3y + y^3z + z^3x}$
Ta sẽ chứng minh $(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\geq 2xyz(x+y+z)+x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x (*)$
Thật vậy, dễ thấy $x^{4}+y^{4}+z^{4}\geq x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x$
$2(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2})\geq 2xyz(x+y+z)$
Cộng vế theo vế 2 bđt trên, ta được bđt (*).
Ta có ĐPCM.
$x^{4}+y^{4}+z^{4}\geq x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x$