Giải hệ pt:

 

$\begin{cases} &  x^3+3xy^2=-49 \\  &  x^2-8xy+y^2=8y-17x \end{cases}$

Ở đây 

http://diendantoanho...endmatrixright/

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} &y^{2}+x+xy-6y+1=0\\ &y^{3}x-9y^{2}+x^{2}y+x=0 \end{cases}$

Đây nhé bạn!!!!! Mới hôm qua thôi!!!

http://diendantoanho...endmatrixright/

Đây là mình và anh trai mình!

 

1, Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a^4+b^4+c^4=3$. Chứng minh:

 

$\dfrac{1}{4-ab}+\dfrac{1}{4-bc}+\dfrac{1}{4-ca} \le 1$

 

2, Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

 

$a, \dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3} \le \dfrac{1}{2}$

 

$b, \dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} \ge \dfrac{1}{3}$

 

Phần b câu 2 phải là:

Cho $abc=1$ Chứng minh:  $\dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} \ge \dfrac{3}{2}$

Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:

$\frac{(a+b+c)^3}{abc}+(\frac{ab+ac+bc}{a^2+b^2+c^2})^2\geq 28$

Em nghĩ đề là : 

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng  :

$\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}+(\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca})^{2}\geq 28$

Giải (theo đề sửa) : 

_ Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM, ta có : 

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^{3}}{27}\geq abc\Leftrightarrow \frac{1}{abc}\geq \frac{27}{(a+b+c)^{3}}\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^{3}}{abc}\geq 27$

_ Có đánh giá quen thuộc : 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca\Leftrightarrow \frac{1}{ab+bc+ca}\geq \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\Leftrightarrow \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}\geq 1$

_ Bình phương BĐT 2 lên rồi cộng lại, ta có điều phải chứng minh.

_ Dấu "=" khi : $a=b=c$

Đề đúng rồi đấy, không đơn giản dùng cosi ra luôn được đâu.

Tìm GTNN của

$P=\frac{\sqrt{3(2x^2+2x+1)}}{3}+\frac{1}{\sqrt{2x^2+(3-\sqrt{3})x+3}}+\frac{1}{\sqrt{2x^2+(3+\sqrt{3})x+3}}$

1.PNG2.PNG

Trong bộ ba câu phân loại

Nhưng có cách làm đại số không?

Cho các số thực dương x, y, z thoả mãm: $4(x+y+z)=3xyz$

Tìm max của
$\frac{1}{2+x+yz}+\frac{1}{2+y+zx}+\frac{1}{2+z+xy}$

Cho a, b, c dương.

Tìm min

$P=\frac{1}{4a+2b+4\sqrt{2bc}}-\frac{4}{a+2b+3c+8}+\frac{1}{b+2c+4}$

Cho a, b, c dương thỏa mãn: $ab+ac+bc=abc$

Chứng minh rằng $\frac{b}{a^2}+\frac{c}{b^2}+\frac{a}{c^2}\geq 3(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$

cho hình chóp SABCD. Một mặt phẳng ($ \ alpha $) cắt SA, SB, SC, SD lần lượt tại A ', B', C ', D'.xácđịnh conditions for A'B'C'D' is hình bình hành. on which chứng Minh that:

$ \ Frac {SA} {SA '} + \ frac {SC} {SC'} = \ frac {SB} {SB} + \ frac {SD} {SD '} $

http://diendantoanho...acsbsbfracsdsd/

Yêu cầu giống nhau nhưng dữ kiện khác nhau!

Đặt 

Giải phương trình:
$\frac{x(3-x)}{x+1}.\left(x+\frac{3-x}{x+1}\right)=2$

Đặt $\frac{3x-x^2}{x+1}=a$, $\frac{x^2+3}{x+1}=b$

Suy ra a+b=3 và a.b=2, suy ra (a,b)=(2,1), (1,2)

Từ đó dễ dàng tìm ra x,y

  . Bài này có trong nâng cao phát triển lớp 9.

Cho a, b, c dương. Chứng minh rằng:

$(\frac{a}{a+b})^2 + (\frac{b}{b+c})^2 +(\frac{c}{a+c})^2 \geq \frac{3}{4}$

Chứng minh bất đẳng thức:

$(\frac{sinx}{x})^3\geq cos^{2}x$ với mọi $x\epsilon (0;\frac{\Pi }{2})$

$PT \Leftrightarrow \left ( \sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{4x^{2}+x+1} \right )\frac{3x^{2}}{\sqrt{5x^{2}+1}+\sqrt{2x^{2}+1}}=3x^{2}$

     $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{4x^{2}+x+1}=\sqrt{5x^{2}+1}+\sqrt{2x^{2}+1}$

     $\Leftrightarrow \sqrt{5x^{2}+1}-\sqrt{4x^{2}+x+1}+\sqrt{2x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x+1}=0$

     $\Leftrightarrow (x^{2}-x)\left ( \frac{1}{\sqrt{5x^{2}+1}+\sqrt{4x^{2}+x+1}}+\frac{1}{\sqrt{2x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}+x+1}} \right )=0$

       $\Leftrightarrow x^{2}-x=0$

Kết quả đúng nhưng mà trình bày thế này chưa ổn!

Sau khi nhân liên hợp thì phải suy ra x=0 chứ ko được rút gọn tương đương mất $3x^2$

Ta có

$a_2=\sum_{1\le i<j\le 2015}ij=\sum_{j=2}^{2015}j\sum_{i=1}^{j-1}i=\sum_{j=2}^{2015}\frac{j^2(j-1)}{2}=\sum_{j=1}^{2015}\frac{j^2(j-1)}{2}=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2015}j^3-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2015}j^2$

 

Do đó

$P=a_2+\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2015}j^2=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2015}j^3=\frac{1}{2}\left(\sum_{j=1}^{2015}j\right)^2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{(2015)^2(2016)^2}{4}=...$

Dạ thưa thầy!

Em đang học lớp 11 trường không chuyên nên cách làm của thầy e không hiểu!

Thầy có thể làm cách khác dễ hiểu hơn hay là trình bày lại cách kia rõ ràng hơn, dùng ít ký hiệu hơn không?

E cảm ơn thầy rất nhiều!!!

Cho:

$(1+x)(1+2x)(1+3x)....(1+2015x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+.....+a_{2015}x^{2015}$

Tính:

$P=a_{2}+\frac{1}{2}(1+2^2+3^2+4^2+.....+2015^2)$

Xét khai triển đa thức:

$P_n(x)=(1+x)(1+2x)...(1+nx)=a_{0,n}+a_{1,n}x+a_{2,n}x^2+...+a_{n-1,n}x^{n-1}+a_{n,n}x^n$

Ở đây $a_{k,n}$ là hệ số của $x^k$ trong khai triển của đa thức $P_n(x)$

Ta có:

$P_n=(1+x)(1+2x)...(1+(n-1)x)(1+nx)=P_{n-1}(x)(1+nx)$

$\quad =\left(a_{0,n-1}+a_{1,n-1}x+a_{2,n-1}x^2+...+a_{n-1,n-1}x^{n-1}\right)(1+nx)$

$\quad =a_{0,n-1}+$ $\left[na_{0,n-1}+a_{1,n-1}\right]$ $x+$ $\left[na_{1,n-1}+a_{2,n-1}\right]$ $x^2+...+na_{n-1,n-1}x^n \quad(1)$

Như vậy từ $(1)$ suy ra ta có: (phần tô đỏ)

$a_{2,n}=na_{1,n-1}+a_{2,n-1}\quad (*)$

Để tính được $a_{2,n}$ theo biểu thức truy hồi $(*)$, ta cần tìm công thức cho $a_{1,n}$ trước!

Cũng từ $(1)$ suy ra ta có: (phần tô xanh)

$a_{1,n}=na_{0,n-1}+a_{1,n-1}\quad (**)$

Mặt khác dễ dàng nhận thấy: hệ số tự do $a_{0,n}=1, \;\forall n$

Nên $(**)\Rightarrow a_{1,n}=a_{1,n-1}+n=a_{1,n-2}+(n-1)+n=...=1+2+...+(n-1)+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Thay vào $(*)$ ta được:

$a_{2,n}=a_{2,n-1}+n\cdot \dfrac{n(n-1)}{2}$

Hay

\begin{align*}a_{2,n}-a_{2,n-1}&=\dfrac{n^3}{2}-\dfrac{n^2}{2}\\ \Rightarrow a_{2,n-1}-a_{2,n-2}&=\dfrac{(n-1)^3}{2}-\dfrac{(n-1)^2}{2}\\ \Rightarrow a_{2,n-2}-a_{2,n-3}&=\dfrac{(n-2)^3}{2}-\dfrac{(n-2)^2}{2}\\ ...&=...\\ \Rightarrow a_{2,2}-a_{2,1}&=\dfrac{2^3}{2}-\dfrac{2^2}{2} \end{align*}

Cộng tất cả lại theo vế, ta được:

$a_{2,n}-a_{2,1}=\dfrac{2^3+...+n^3}{2}-\dfrac{2^2+...+n^2}{2}=\dfrac{1^3+2^3+...+n^3}{2}-\dfrac{1^2+2^2+...+n^2}{2}$

Để ý rằng $P_1(x)=1+x$ nên $a_{2,1}=0$

Do đó tổng cần tính là:

$P=a_{2,n}+\dfrac{1^2+2^2+...+n^2}{2}=$ $\dfrac{1^3+2^3+...+n^3}{2}=\dfrac{n^2(n+1)^2}{8}$

Phần tô đỏ cuối cùng xin dành lại như một bài tập cho em!

Yeah!!

E cảm ơn thầy!! Cảm ơn thầy rất nhiều!!

cho a, b, c là 3 cạnh tam giác. Cmr:

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+3\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{abc}\geq 9$

Làm mạnh bài số 1:

Ta chứng minh BĐT: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geqslant 3(a+b+c)^{2}$

Thật vậy:

Theo Cauchy-Schwartz: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)=(a^{2}+1)(b^{2}+1)+a^{2}+b^{2}+3\geqslant (a+b)^{2}+\frac{1}{2}(a+b)^{2}+3=\frac{3}{2}\left [ (a+b)^{2} +2\right ]\Rightarrow VT\geqslant \frac{3}{2}\left [ (a+b)^{2}+2 \right ](c^{2}+2)\geqslant \frac{3}{2}(\sqrt{2}(a+b)+\sqrt{2}c)^{2}=VP(DPCM)$

? Đề bài có yêu cầu vậy đâu bạn?

http://cuoichutdi.wo...thuc-apmo-2004/

vì là tam giác không nhọn nên ta có

$a^2\geq b^2+c^2$

ta có: $Ans=(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\geq (a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{4}{b^2+c^2})$

= $5+\frac{4a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}\geq 7+\frac{3a^2}{b^2+c^2}\geq 7+3=10$

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$(a^2+b^2+c^2)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq abc(ab+ac+bc)$

$(x+2)(\sqrt{2x+3}-2\sqrt{x+1})+\sqrt{2x^2+5x+3}=1$

Đặt 2x+3=a, x+2=b , phương trình tương đương với

$(a-b)(\sqrt{a}-2\sqrt{b})+\sqrt{ab}=1\Leftrightarrow (a-b)(\sqrt{a}-2\sqrt{b})+\sqrt{ab}=a-2b\Leftrightarrow (a-b)(\sqrt{a}-2\sqrt{b})=a-2b-\sqrt{ab}\Leftrightarrow (a-b)(\sqrt{a}-2\sqrt{b})=(\sqrt{a}-2\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$

Suy ra $\sqrt{2x+3}=2\sqrt{x+1}$ hoặc $\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1$

Cho $x+y=\sqrt{10}$.

Chứng minh: $(x^4+1)(y^4+1)\leq 101$.

Bài này cần thêm DK x, y không âm 

Bdt tương đương với:

$x^4y^4+x^4+y^4+1\leq 101\Leftrightarrow x^4y^4+(x^2+y^2)^2-2x^2y^2\leq 100\Leftrightarrow x^4y^4+((x+y)^2-2xy)^2-2x^2y^2\leq 100\Leftrightarrow x^4+y^4+2x^2y^2-40xy\leq 0\Leftrightarrow xy(x^3y^3+2xy-40)\leq 0$

Áp dụng cosi: $xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{5}{2}$

Suy ra$x^3y^3+2xy-40<0\Leftrightarrow xy(x^3y^3+2xy-40)\leq 0$(Vì x, y không âm)

Vậy bđt được chứng minh