cho a, b, c là các số thực không âm có tổng bằng 2, chứng minh rằng:

$a^4+b^4+c^4+abc\geq a^3+b^3+c^3$

Ta thấy x=0 hoặc y=0 ko là nghiệm

Chia hai vế của phương trình dưới cho xy ta được:

$\frac{12\sqrt{y-4}}{y}+\frac{4\sqrt{2}\sqrt{x-2}}{x}=5$

mà ta lại có: $\frac{12\sqrt{y-4}}{y}+\frac{4\sqrt{2}\sqrt{x-2}}{x}=\frac{6.2\sqrt{y-4}}{y}+\frac{4\sqrt{2}\sqrt{x-2}}{x}\leq 3+2=5$

suy ra dấu = phải xảy ra suy ra $x=4 , y=8$

Thay và hệ bên trên ta thấy thoả mãn

Vậy x=4, y=8

cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$

Cho $a;b;c$ là các số thực dương,Chứng minh rằng
$abc\leq \frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}$

Cosi ra luôn, nhưng chắc là ý bạn là đưa về cái $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$

$(x+2)(\sqrt{2x+3}-2\sqrt{x+1})+\sqrt{2x^2+5x+3}=1$

Đặt 2x+3=a, x+2=b , phương trình tương đương với

$(a-b)(\sqrt{a}-2\sqrt{b})+\sqrt{ab}=1\Leftrightarrow (a-b)(\sqrt{a}-2\sqrt{b})+\sqrt{ab}=a-2b\Leftrightarrow (a-b)(\sqrt{a}-2\sqrt{b})=a-2b-\sqrt{ab}\Leftrightarrow (a-b)(\sqrt{a}-2\sqrt{b})=(\sqrt{a}-2\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$

Suy ra $\sqrt{2x+3}=2\sqrt{x+1}$ hoặc $\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1$

Cho hệ phương trình:

$x.sint+ycost+cost+2=0$

$x^2+y^2+2y-3=0$

Chứng minh rằng: $x^2+y^2\leq 9$

VT=$a^{4}+b^4+c^2\geq 2a^2b^2+c^2\geq 2\sqrt{2}abc$

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh:$\sum \frac{a}{7+b^3+c^3}\leq \frac{1}{3}$

Có thể đề bài cho thiếu Đk. Nếu ko thì không thể làm được

Bài toán đúng mà bạn.Bạn không nên spam là đề sai bạn thử $a=b=c=1$ xem bất đẳng thức đúng không

Với a=10, b=c=1 thì bđt hiển nhiên sai

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{2}=2y^{2}-y+3x-5\\ y^{2}=x^{2}+x-3y-2 \end{matrix}\right.$

Phương trình 2 tương đương với: 

$(x-y-1)(x+y+2)=0$ Suy ra $x=y+1$ và $x=-y-2$

Thay vào pt 1 được phương trình bậc 2 và tìm ra các nghiệm!!

Tìm GTNN, GTLN của:

A=$\left ( x^{2}+x+\frac{1}{2} \right )^{2}$

Giá trị lớn nhất bằng vô cùng

Cách làm cua cậu rất hay chỉ cho mình cách dùng  bđt cô-si cái 

Bđt côsi là một bđt quen thuộc và hay sử dụng nhất 

Để sử dụng bđt này thì chỉ cần để ý đến dâu = xảy ra rồi từ đó mà có cách tách phù hợp

Và để sử dụng thành thạo nó thì vẫn cần phải luyện tập nhiều   

Từ giả thiết ta có:

$1\geq \frac{1}{y}+x\geq 2\sqrt{\frac{x}{y}} \Leftrightarrow \frac{x}{y}\leq \frac{1}{4}$$\Leftrightarrow \frac{y}{x}\geq 4$

ta có

 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x}{y}+\frac{y}{16x}+\frac{15y}{16x}\geq \frac{1}{2}+\frac{15}{4}=\frac{17}{4}$

dấu = xay ra khi :

$x=\frac{1}{y}$

$x+\frac{1}{y}=1$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}, y=2$

Áp dụng bđt Schur:

$a^3+b^3+c^3\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$

Đến đây thì ngược dấu             

Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+x-\frac{1}{y}=2 & & \\ y-y^{2}x-2y^{2} =-2& & \end{matrix}\right.$

Y=0 Không phải là nghiệm của hệ

Chia cả hai vế của pt 2 cho $y^2$ ta có:

                                     $x+2=\frac{2}{y^2}+\frac{1}{y}$

Pt1 tương đương với    $\frac{1}{y}+2=2x^2+x$

Đến đây ta thấy hệ trở thành hệ đối xứng loại 2!! ^^

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$(a^2+b^2+c^2)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq abc(ab+ac+bc)$

Tìm Min $A=\frac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}+\frac{xy+x+y}{(x+y+1)^2}$ với $x;y>0$

 

Đặt $\frac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}=t$, ta chứng minh $t\geq 3$. Tại sao nhỉ ?

ta có bđt quen thuộc: 

$(a+b+c)^2\geqslant 3(ab+ac+bc)$

suy ra ta có: $(x+y+1)^2\geqslant 3(xy+1.x+1.y)$

suy ra :$\frac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}\geq 3$

Kẹp $ vào đầu và cuối công thức

Chứng minh rằng:

với a,b,c không âm, m,n,k là các số tự nhiên thỏa mãn m>n>k ta có

$\frac{a^m}{a^{m-k}}+\frac{b^m}{b^{m-k}}+\frac{c^m}{c^{m-k}} \geq \frac{a^n}{a^{n-k}}+\frac{b^n}{b^{n-k}}+\frac{c^n}{c^{n-k}}$

p/s. bài này do bọn mình tự sáng tạo ra, có gì sơ suất mong mọi người góp ý

Ta có

$\frac{a^{m}}{a^{m-k}}=\frac{a^{m}}{a^{m}.a^{-k}}=\frac{1}{a^{-k}}=a^k$

Tương tự ta có $VT=VP=a^k+b^k+c^k$

Có một chút sơ suất

Từ giả thiết ta có: $abc\leq 1$\

Suy ra: $\frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \frac{1}{abc+a^2(b+c)}=\frac{1}{a(ab+ac+bc)}=\frac{1}{3a}$

Tương Tự cộng vào ta có: $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3c}=\frac{ab+ac+bc}{3abc}=\frac{1}{abc}$

Suy ra dpcm

 

1. ABC nội tiếp (O). I chính giữa cung BC kg chứa A. Vẽ đường tròn $(O_1)$ đi qua I và tiếp xức vs AB tại B. $(O_2)$ đi qua I tiếp xúc vs AC tại C. K là giao điểm của $(O_1);(O_2)$. a/ B,K,C thẳng hàng. b/ D thuộc AB. E tia đối CA: BD=CE. CM đường tròn ngoại tiếp tg ADE đi qua 1 điểm khác A.
2. Tứ giác ABCD nội tiếp (O). I,J trđiểm AC,BD. CMR: I,O,J thằng hàng.

 

Bài này có trong toán nâng cao và phát triển của Vũ Hữu Bình mà!

Trang mấy vậy bạn

chỉ giùm trang sách vs

HIện giờ mình đang học lớp 11,

cũng chỉ nhớ mang máng bài làm rồi nên nghĩ là trong nâng cao phát triển vậy thôi. Nếu không phải thì cho mình sorry nhé!

lấy Pt (1)-(2), ta được:

x+y=8.Sau đó thế vào pt(1) thì nó sẽ ra một pt đối xứng giữa x,y

sau đó,thế y=8-x rồi giải pt hệ quả là ra.

(Đang gặp vấn đề về việc viết căn)

Tìm max của:

a)$\frac{\sqrt{x-2010}}{x+2}+\frac{\sqrt{x-2011}}{x}$

b)$\frac{\sqrt{x-2011}}{x+1}+\frac{\sqrt{x-2012}}{x-1}$

$\frac{\sqrt{x-2010}}{x+2}=\sqrt{\frac{x+2-2012}{(x+2)^2}}=\sqrt{\frac{1}{x+2}-\frac{2012}{(x+2)^2}}$

Nhóm thành hằng đẳng thức là ra max

Những phần khác hoàn toàn tương tự

Bài 1: Cho $a,b,c>0$ sao cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=6$. Tìm $P_{min}$ với $P=\dfrac{a}{bc}+\dfrac{2b}{ca}+\dfrac{5c}{ab}$

Bài 2: Cho $a,b,c \geq0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh $\left (ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}  \right )\left ( ab+bc+ca \right )\leq 16$

Bài 3: Các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh $\dfrac{a}{\sqrt{b^{2}+2c}}+\dfrac{b}{\sqrt{c^{2}+2a}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^{2}+2b}}\geq \sqrt{3}$

Bài 1

ta có: $P^2=\frac{a^2}{b^2c^2}+\frac{4b^2}{a^2c^2}+\frac{25c^2}{a^2b^2}+\frac{4}{c^2}+\frac{10}{b^2}+\frac{20}{a^2}$

Theo AM-GM: 

$P^2\geq \frac{4}{c^2}+\frac{10}{b^2}+\frac{20}{a^2}+\frac{4}{c^2}+\frac{10}{b^2}+\frac{20}{a^2}=2(\frac{4}{c^2}+\frac{10}{b^2}+\frac{20}{a^2})\geq 2\frac{(2+\sqrt{10}+\sqrt{20})^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{(2+\sqrt{10}+\sqrt{20})^2}{3}$

Từ đó suy ra $P\geq \frac{2+\sqrt{10}+\sqrt{20}}{\sqrt{3}}$

dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} 2b^2=a^2 & & \\ 5c^2=a^2 & & \\ 2b^2=5c^2 & & & \\ a^2+b^2+c^2=6 & & & \\ \end{matrix}\right.$

Ta dùng phương pháp chọn điểm rơi

Đặt $a=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}$,suy ra $a\geqslant 2$

Bdt tương đương với:$a+\frac{1}{a}=\frac{1}{a}+\frac{a}{4}+\frac{3a}{4}\geqslant 1+\frac{6}{4}=\frac{5}{2}$

dấu = xảy ra khi a=2 hay x=y