Mở rộng của bài trên: Cho $x,y,z$ dương và $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{x}{2+\sqrt{2x^{2}+4x-5}}+\frac{y}{2+\sqrt{2y^{2}+4y-5}}+\frac{z}{2+\sqrt{2z^{2}+4z-5}}$

Bài ....: Chứng minh rằng: $x+\sqrt{2(x^2-x+1)} \geq 1+\sqrt{x}$   $\forall x \geq 0$

Xét trường hợp $x\geqslant 1+\sqrt{x}$ thì BĐT hiển nhiên đúng

Trường hợp còn lại: $x\leqslant 1+\sqrt{x}$, đặt $\sqrt{x}=t\geqslant 0$, chuyển vế bình phương và rút gọn ta được:

$BDT\Leftrightarrow t^{4}+2t^{3}-t^{2}-2t+1\geqslant 0\Leftrightarrow (t^{2}+t-1)^{2}\geqslant 0$ (Luôn đúng), vậy trong cả hai trường hợp ta đều có ĐPCM

Bài 2: Theo mình thì đề là BP 3 số nguyên liên tiếp

Nhận xét $a_n$ là dãy tăng .Từ GT suy ra:$a_{n+1}^{2}-8a_{n}a_{n+1}+16a_{n}^{2}=15a_{n}^{2}-60$.

Thay n bởi n-1 suy ra:$a_{n}^{2}-8a_{n}a_{n-1}+16a_{n-1}^{2}=15a_{n-1}^{2}-60$

Trừ vế với vế của 2 pt ta được: $(a_{n+1}-a_{n-1})(a_{n+1}-8a_{n}+a_{n-1})=0\rightarrow a_{n+1}-8a_{n}+a_{n-1}=0$

Tìm đươc CTTQ là $a_{n}=(4+\sqrt{15})^{n}+(4-\sqrt{15})^{n}$

Mặt khác với mọi n luôn tồn tại k sao cho :$(4+\sqrt{15})^{n}-(4-\sqrt{15})^{n}=k\sqrt{15}$$\rightarrow (4+\sqrt{15})^{2n}+(4-\sqrt{15})^{2n}=15k^{2}+2\rightarrow a_{2n}=15k^{2}+2$$\rightarrow (4+\sqrt{15})^{2n}+(4-\sqrt{15})^{2n}=15k^{2}+2\rightarrow a_{2n}=15k^{2}+2$

Vậy $\frac{1}{5}(a_{2n}+8)=3k^{2}+2=(k-1)^{2}+k^{2}+(k+1)^{2}$(DPCM)

Ta chứng minh bằng quy nạp: ${1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = {\left[ {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right]^2}$ (n tự nhiên, n>0)
------------------
Dễ thấy mệnh đề đúng với n=1.
Gỉa sử mệnh đề đúng với n=k tức là:
${1^3} + {2^3} + ... + {k^3} = {\left[ {\frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}} \right]^2}$
Cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1 tức là chứng minh:
${1^3} + {2^3} + ... + {k^3} + {\left( {k + 1} \right)^3} = {\left[ {\frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}} \right]^2}$
$ \Leftrightarrow {\left[ {\frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}} \right]^2} + {\left( {k + 1} \right)^3} = {\left[ {\frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}} \right]^2}$ (*)
Ta có: ${\left[ {\frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}} \right]^2} + {\left( {k + 1} \right)^3} = {\left( {k + 1} \right)^2}\left[ {\frac{{{k^2}}}{4} + k + 1} \right] = {\left[ {\frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}} \right]^2}$
=> $(*):True$
Do đó mệnh đề cần chứng minh đúng, vậy ta có công thức tính như sau:
${1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = {\left[ {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right]^2}$ (n tự nhiên, n>0)

Có thể dùng khai triển : $(n+1)^{4}=n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1$

Viết n biểu thức như trên rồi cộng lại vẫn thu được kết quả như trên

Xét về tính năng thì máy casio fv-570VN plus hơn hết còn về tốc độ máy vinacal 570es plus II đứng thứ hai thì không có máy nào đứng thứ nhất đâu!!!!

Theo mình cả về tính năng và tốc độ, vinacal 570 es plus ii vẫn hơn

Máy hiện $x=2$ ý là nghiệm trên tập số phức, không phải nghiệm thực bạn à

Topic có tiêu đề sai quy định, bạn trả lời  bị nhắc nhở là đúng rồi

Câu 5: Ta có: $B=\frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}+\frac{3}{3xy}\geqslant \frac{(1+\sqrt{3})^{2}}{(x+y)^{2}}=(1+\sqrt{3})^{2}$

đề cho là $\frac{1}{x^{3}+y^{3}}$ mà bạn 

Thank bạn, tại đề hơi mờ, đã fix

B5,

áp dụng bđt schwars ta có:

$\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}= \frac{1}{x^{2}-2xy+y^{2}}+\frac{3}{3xy}\geqslant \frac{(1+\sqrt{3})^{2}}{(x+y)^{2}}=(1+\sqrt{3})^{2}$

dấu bằng xảy ra khi

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x^{3}+y^{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3xy}\\x+y=1 \end{matrix}\right.$

đến đây chỉ cần giải hệ là tìm ra x, y

chỗ này là xy chứ!

Mình xin đóng góp một bài: 

Cho a, b >0. Xét dãy: $(u_{n}):0<u_{1}<b;u_{n+1}=\sqrt{\frac{ab^{2}+u_{n}^{2}}{a+1}}$

CM dãy $(u_{n})$ hội tụ và tìm giới hạn

Cho mình hỏi bài này với 

Cho x thay đổi thỏa mãn điều kiện $x^{2} + (3-x)^{2} \geq 5$ .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= $x^{4} + (3-x)^{4} +6x^{2}(3-x)^{2}$

Xem tại đây

Bài 33: Cho a,b,c >0. CMR:

$\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}} - \frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}\leq \frac{1}{4}$

Bài 34: Cho a,b,c>0. CMR:

$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Bài 34: $\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\leqslant \sqrt{3\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=\sqrt{3(3-\sum \frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}})}\leqslant \sqrt{3(3-\frac{3}{2})}=\frac{3}{\sqrt{2}}(DPCM)$

Bây giờ thì đúng thật, nhưng có lẽ chỉ chứng minh tồn tại giá trị của a trong khoảng (0;1/3] này thay cho việc chỉ cụ thể giá trị của x,y,z bạn nhỉ. Bài làm vậy liệu có được điểm tối đa không bạn! 

Có

Có ai hiểu tại sao $m=1$ không ạ?

Đây là một bài trong chuyên đề số học của VMF, các bạn có thể xem cách giải chi tiết trong đó (Tương tự như trên)

9+3=12 mất rồi bạn ơi

Đã fix

$\frac{1}{\sum x^{2}}+\frac{1}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}$ $\ge \frac{9}{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}$ và 1/(xy+yz+zx)>=3 thì mình hiểu, nhưng 1/(x^2+y^2+z^2)>=3 thì chưa hiểu bạn à

Sửa lại : 

Ta có: $A=\frac{3}{\sum xy}+\frac{2}{\sum x^{2}}=\frac{3}{\sum xy}+\frac{2}{1-2\sum xy}$; đặt $\sum xy=a$

Tới đây dùng miền giá trị để giải, đáp số là $8+4\sqrt{3}$

Cái này khó quá, bạn giải chi tiết cho tớ với

$\frac{3}{a}+\frac{2}{1-2a}=A\rightarrow 3-4a=Aa-2Aa^{2}\rightarrow 2Aa^{2}-a(A+4)+3=0\rightarrow \Delta =A^{2}-16A+16\geqslant 0\rightarrow A\geqslant 8+4\sqrt{3}$

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN của $A=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$

$A=\frac{1}{\sum x^{2}}+\frac{1}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}$$+\frac{1}{\sum x^{2}}$$\geqslant \frac{9}{(x+y+z)^{2}}+6=15$

Mình xin làm:

Chia cả 2 vế cho $5^{z }$ ta có:

$(\frac{3}{5})^{x}+(\frac{4}{5})^{y}=1$

Xét x>2 $\Rightarrow$ vô lí (loại)

Xét x<2 $\Rightarrow$ vô lí (loại)

Vậy x=2, y=2,z=2

Nếu đề là $3^{x}+4^{x}=5^{x}$ thì mới làm được như vậy bạn à!

1/$2A=2x^2-10x+2y^2+2xy-8y+4028=(x^2+2xy+y^2)+(x^2-10x+25)+(y^2-8y+16)+3987=(x+y)^2+(x-5)^2+(y-4)^2+3897$

Vì $\left\{\begin{matrix} (x+y)^2\geq 0 & & & \\ (x-5)^2\geq 0 & & & \\ (y-4)^2\geq 0& & & \end{matrix}\right.\\ (x+y)^2+(x-5)^2+(y-4)^2+3987\geq 3987\Rightarrow 2A\geq 3987\Rightarrow A\geq 1993,5\Rightarrow A_{min}=1993,5\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=5 & & \\ y=4 & & \end{matrix}\right.$

$x=-y$ nữa, sai rồi

$A=(x+\frac{y}{2}-\frac{5}{2})^{2}+\frac{3y^{2}}{4}-\frac{3y}{2}+2007,75=(x+\frac{y}{2}-\frac{5}{2})^{2}+\frac{3}{4}(y-1)^{2}+2007\geqslant 2007$

các bạn à nên nhớ chúng ta cần phải nói x-1 khác 0 trước rồi mới nhân chia

Chia thì mới cần còn nhân không cần

Chứng minh rằng đa thức sau vô nghiệm : $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

 

Giả sử phương trình đã cho có nghiệm

$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0\rightarrow(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)=0\rightarrow x^{5}-1=0\rightarrow x=1$

Thay vào phương trình ban đầu thì vô lý do đó ta có $DPCM$

P/s: Đây là một bài trong sách nâng cao phát triển toán 8 (nếu mình nhớ không nhầm)

Anh ơi:

$x^{5}-1=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x-1=0 & \\ x^{4}+x^{3}+x^{3}+x+1=0& \end{bmatrix}$

Em có nhầm không

$x^{5}-1=0\rightarrow x=\sqrt[5]{1}=1$

phần nào?

Phần nào thì bạn phải tự tìm đi chứ, mình nhớ thế thôi

Đương nhiên là không từ TH bạn vi phạm quy định trong việc post bài