Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a+b+c=6abc \Rightarrow \sum \frac{1}{ab}=6$ CMR

$\frac{bc}{a^3(c+2b)}+\frac{ca}{b^3(a+2c)}+\frac{ab}{c^3(b+2a)}\geq 2$

Cauchy 2 số dương: $\frac{bc}{a^3(c+2b)}+\frac{c+2b}{9abc} \geq 2.\frac{1}{3a^2} $

$\Leftrightarrow \frac{bc}{a^3(c+2b)} \geq \frac{2}{3a^2}-\frac{c+2b}{9abc}=\frac{2}{3a^2}-\frac{1}{9ab}-\frac{2}{9ca}$

$\Rightarrow \sum \frac{bc}{a^3(c+2b)} \geq \sum \Big(\frac{2}{3a^2}-\frac{1}{9ab}-\frac{2}{9ca}\Big)=\frac{2}{3}.\sum \frac{1}{a^2}-\frac{1}{3}.\sum \frac{1}{ab}$

Tiếp tục dùng Cauchy 2 số thì có được $\sum \frac{1}{a^2} \geq \sum \frac{1}{ab}$

$\Rightarrow \sum \frac{bc}{a^3(c+2b)} \geq \frac{2}{3}.\sum \frac{1}{ab}-\frac{1}{3}.\sum \frac{1}{ab}=\frac{1}{3}.\sum \frac{1}{ab}$

Từ $a+b+c=6abc \Rightarrow \sum \frac{1}{ab}=6 \Rightarrow \sum \frac{bc}{a^3(c+2b)} \geq \frac{1}{3}.6=2$

đpcm.

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. Điểm M chuyển động trên AD. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Vẽ NH vuông góc với PD tại H. Tìm vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất,

đây là câu hình trong đề thi HSG 9 tỉnh Nghệ An Năm học 2009-2010

Cho $x\neq 0$ . Tìm Min $T=\frac{(x^{2}+16\left | x \right |+48)(x^{2}+12\left | x \right |+27)}{x^{2}}$

Gọi vận tốc xuôi dòng và ngược dòng của ca nô lần lượt là t và u (km / h). Đk: 12< t; u. (*)

Ca nô xuôi và ngược dòng sông dài 60km hết 5h nên ta có $60.(\frac{1}{t}+\frac{1}{u})=5$ (1)

Thời gian xuôi dòng 6km bằng thời gian ngược dòng 4km nên $\frac{6}{t}=\frac{4}{v} \Rightarrow \frac{60}{t}=\frac{40}{v}$ (2)

Từ (1) và (2) ta tính được giá trị của t = 30; v = 20.

$\Rightarrow$ vận tốc nước là hiệu giá trị tb của t và v, tức $v_{nc}=5$ (km / h).

Cho $A$ là điểm chính giữa của nửa (O;R=2). Dây $BC$ vuông góc với $OA$ tại trung điểm của $OA$. $M$ là điểm chính giữa cung $AC$. Tính $MB+MC$

Vận dụng các t/c về cung trong đường tròn:

$BC=2.IB=2.\sqrt{OC^2-OI^2}=2.\sqrt{R^2-\dfrac{R^2}{4}}=\sqrt{3}.R$

Tam giác AOC có AO = OC và CI vừa là trung tuyến vừa là đ,cao nên AOC đều.

Như vậy tính được $\angle MBC=\dfrac{1}{2}\angle ABC$ (do M nằm chính giữa cung AC) $=\dfrac{1}{4}\angle AOC=\dfrac{1}{4}.60^o=15^o$

Và $\angle BMC=\angle BAC=2\angle OAC=120^o \\ \angle BMC=180^o-\angle BMC-\angle MBC=45^o$

Áp dụng đ/l hàm số sin vào tam giác MBC:

$\dfrac{MB}{\sin 15^o}=\dfrac{MC}{\sin 45^o}=\dfrac{MB+MC}{\sin 15^o+ \sin 45^o}=\dfrac{BC}{\sin 120^o}=\dfrac{\sqrt{3}.R}{\sin 120^o}=2R$

Suy ra $MB+MC=2R.(\sin 15^o+ \sin 45^o)=\sqrt{6}+\sqrt{2}$

Đã có chủ đề tại đây

Cho biết thức : $A = (\frac{6x+4}{3\sqrt{3x^{3}}-8}-\frac{\sqrt{3x}}{3x+2\sqrt{3x}+4})(\frac{1+3\sqrt{3x^{3}}}{1+\sqrt{3x}}-\sqrt{3x})$

a)Rút gọn A
b)Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

a/ ĐKXĐ: x khác $\frac{4}{3}$; x > 0

$A = (\frac{6x+4}{3\sqrt{3x^{3}}-8}-\frac{\sqrt{3x}}{3x+2\sqrt{3x}+4})(\frac{1+3\sqrt{3x^{3}}}{1+\sqrt{3x}}-\sqrt{3x}) \\ =\frac{6x+4-\sqrt{3x}(\sqrt{3x}-2)}{(\sqrt{3x}-2)(3x+2\sqrt{3x}+4)}. \Big( \frac{(1+\sqrt{3x})(1-\sqrt{3x}+3x)}{1+\sqrt{3x}}-\sqrt{3x} \Big) \\ =\frac{3x+2\sqrt{3x}+4}{(\sqrt{3x}-2)(3x+2\sqrt{3x}+4)}. (1-\sqrt{3x}+3x-\sqrt{3x}) \\ =\frac{3x-2\sqrt{3x}+1}{\sqrt{3x}-2}$

b/ G/s A = m ( $m \in \mathbb{Z}$ ) $\Rightarrow 3x-(2+m)\sqrt{3x}+1+2m=0$ Do $x \in \mathbb{Z}$ nên xét:

- Xét $\sqrt{3x} \in \mathbb{I}$ mà $\sqrt{3x}=\dfrac{3x+1+2m}{2+m} \in \mathbb{Q}$ (vô lí)

- Xét $\sqrt{3x} \in \mathbb{Z}$ thì có:

$$A=\frac{3x-2\sqrt{3x}+1}{\sqrt{3x}-2}=\sqrt{3x}+\dfrac{1}{\sqrt{3x}-2}$$

Từ đó thấy $\sqrt{3x}-2$ là ước nguyên của 1.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) $y= x^{2}$ và đường thẳng (d) $y= mx+2$.

a) CMR với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía trục tung.

b) Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại $A(x_{1};y_{1})$ và $B(x_{2};y_{2})$. Tìm giá trị của m để $\left | y_{1} -y_{2}\right |=\sqrt{24-x_{2}^{2}-mx_{1}}$

a/

Pt hoành độ giao điểm: $x^2=mx+2 \Leftrightarrow x^2-mx-2=0 (1)$

Xét 1 . (-2) = -2 < 0 nên (1) luôn có hai nghiệm $x_1;x_2$ trái dấu.

Tức là với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Bạn xem cụ thể  tại đây bài này cũng tương tự vậy!

Giả sử sau khi khai triển thì A(x) có dạng:

$A(x)=a_{8018}x^{8018}+a_{8017}x^{8017}+a_{8016}x^{8016}+...+a_2x^2+a_1x+a_0$

Lúc này tổng các hệ số của A(x) cần tìm chính là

$a_{8018}+a_{8017}+a_{8016}+...+a_2+a_1+a_0=A(1)=(3-4.1+1^2)^2004.(3+4.1+1^2)^2005=0$

Ta có $(x-\sqrt{1+y^2})(y-\sqrt{1+x^2})=xy-y\sqrt{1+y^2}-x\sqrt{1+x^2}+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}$

$=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-xy-\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-y\sqrt{1+y^2}-x\sqrt{1+x^2}$

$=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-y(x+\sqrt{1+y^2})-\sqrt{1+x^2}(\sqrt{1+y^2}+x)$

$=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-(x+\sqrt{1+y^2})(y+\sqrt{1+x^2})$

$=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-1.$ (*)

Nhân theo vế của (*) với đẳng thức cho ta được:

$$(x^2-1-y^2)(y^2-1-x^2)=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-1.$$

$\Leftrightarrow 1-(x^2-y^2)^2=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-1.$

$\Leftrightarrow 2(1-xy)=2\sqrt{(xy-1)^2+(x+y)^2}+(x^2-y^2)^2.$

Nên $1-xy\geq \sqrt{(xy-1)^2+(x+y)^2}\geq \sqrt{(xy-2)^2}=|1-xy|.$ (**)

Lại có $|1-xy| \geq 1-xy$ nên dấu = ở (**) xảy ra khi x + y = 0. Tức x = -y.

Nên $(x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=(x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+x^2})=1.$

Ta có $A=x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}$.

$\Rightarrow A^2=x^2.(y^2+1)+y^2.(x^2+1)$

$=x^2y^2+x^2+x^2y^2+y^2+1+2xy\sqrt{(x^2+2)(y^2+1)}-1$

$=x^2y^2+(x^2+1)(y^2+1)+2xy\sqrt{(x^2+2)(y^2+1)}$

$=[xy+\sqrt{(x^2+2)(y^2+1)}]^2-1$

$=m^2-1.$

Do không có điều kiện của x, y nên $A=+/-\sqrt{m^2-1}.$

1/

$M=\frac{x-1}{\sqrt[3]{x^2}-1} - \frac{\sqrt[3]{x}+2}{\sqrt[3]{x}+1} (x\neq \pm 1)$

$=\frac{x-1}{\sqrt[3]{x^2}-1} - \frac{(\sqrt[3]{x}+2)(\sqrt[3]{x}-1)}{\sqrt[3]{x^2}-1}$

$=\frac{x-1-(\sqrt[3]{x}+2)(\sqrt[3]{x}-1)}{\sqrt[3]{x^2}-1}$

$=\frac{x-1-\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+2}{\sqrt[3]{x^2}-1}$

$=\frac{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x^2}-1)}{\sqrt[3]{x^2}-1}$

$=\sqrt[3]{x}-1.$

2/

Theo câu 1 trên ta có $M=\sqrt[3]{x}-1$ nên M = -3 khi $\sqrt[3]{x}-1=-3$ <=> x = -8.

Chứng minh pt $x^2-y^2=k$ có nghiệm nguyên $\Leftrightarrow$ k $\not\equiv$ 2 (mod 4).

Chứng minh rằng:

$S=\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{6}}-\frac{1}{2^{8}}+...+\frac{1}{2^{2002}}-\frac{1}{2^{2004}}<0,2$

Ta có $S=\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}-...+\frac{1}{2^{2002}}-\frac{1}{2^{2004}} \\ =\frac{1}{4}-\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}-...+\frac{1}{4^{1001}}-\frac{1}{4^{1002}}$

$\Rightarrow 4S=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}-...+\frac{1}{4^{1000}}-\frac{1}{4^{1001}}$

$\Rightarrow 5S=...=1-\frac{1}{4^{1002}}<1$

Ta có $\frac{x}{x+y+z+t}<\frac{x}{x+y+z}<\frac{x+t}{x+y+z+t}$ (do x, y, z, t > 0)

Tương tự ta có được $\sum \frac{x}{x+y+z+t}<\sum \frac{x}{x+y+z}<\sum \frac{x+t}{x+y+z+t}$ 

Hay 1 < M < 2.

Nên M không là số tự nhiên.

Ta áp dụng công thức $\frac{k}{n(n+k)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}$

Khi đo ta được $VT=\frac{3}{1^2.2^2}+\frac{5}{2^2.3^2}+...+\frac{19}{9^2.10^2} \\ = \frac{3}{1.4}+\frac{5}{4.9}+...+\frac{19}{81.100} \\ = \frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+...+\frac{1}{81}-\frac{1}{100} \\ =1-\frac{1}{100} < 1$

đpcm.

Ta đặt $f(x)=x^{2005}-2006x^{2004}+2006x^{2003}-...-2006x^2+2006x-1$

$\Rightarrow f(x).x=x^{2006}-2006x^{2005}+2006x^{2004}-...-2006x^3+2006x^2-x$

$\Rightarrow f(x).(x+1)=x^{2006}-2005x^{2005}+2005x-1=x^{2005}(x-2005)+2005x-1$

a/

$P=( \dfrac{ \sqrt{x}-2 }{x-1} - \dfrac{ \sqrt{x}+2 }{x+2 \sqrt{x}+1 } ). \dfrac{(1-x)^2}{2}$

$=( \dfrac{ \sqrt{x}-2 }{x-1} - \dfrac{ \sqrt{x}+2 }{(\sqrt{x}+1)^2} ). \dfrac{(1-x)^2}{2} $

b/

Theo a ta có $P=\dfrac{-2\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{2}$ nên P > 0 khi $\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)$ < 0.

Giải BPT trên được o < x < 1.

c/

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm ta tìm được max P.