• Bài này tách hết ra rồi biến đổi tương đương

Áp dụng thêm bất đẳng thức phụ a³+b³>=ab(a+b) là làm ra ngay

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c hoặc a=0

$\sum \frac{x²}{1+x(x+\sqrt{x²+1})}\geq \sum \frac{x²}{1+x(x+\frac{2x+y+z}{2})}

\Leftrightarrow\sum \frac{x²}{1+x(x+\sqrt{x²+1}))}\geq \frac{x²}{1+2x²+\frac{xy+xz}{2}} (tách 1+xy+yz+xz)

\Leftrightarrow \sum \frac{x²}{1+x(x+\sqrt{x²+1}))}\geq \frac{(x+y+z)²}{2(x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz)} theo bđt X.Vac

\Leftrightarrow\sum \frac{x²}{1+x(x+\sqrt{x²+1}))}\geq\frac{1}{2}

$\sum \frac{x^2}{1+x(x+\sqrt{x^2+1})}\geq \sum \frac{x^2}{1+x(x+\frac{2x+y+z}{2})}

\Leftrightarrow\sum \frac{x^2}{1+x(x+\sqrt{x^2+1}))}\geq \frac{x^2}{1+2x^2+\frac{xy+xz}{2}} (tách 1=xy+yz+xz)

\Leftrightarrow \sum \frac{x^2}{1+x(x+\sqrt{x^2+1}))}\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz)} theo bđt X.Vac

\Leftrightarrow\sum \frac{x^2}{1+x(x+\sqrt{x^2+1}))}\geq\frac{1}{2}

Cho hình chữ nhật ABCD với AB=a, AD=b. Đường thẳng qua D vuông góc với AC cắt đường thẳng BC tại điểm E.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD,CE. Gọi P là giao điểm của AC và DN, Q là giao điểm của AM và DE

a. CMR: AM vuông góc với DN

b.Tính độ dài PQ theo a,b 

Khai triển rồi biến đổi tương đương, rút gọn ta được

$12a^3+3b^3+3c^3\geq 3bc(b+c)-6ab^2-6ac^2+12a^2b+12a^2c \Leftrightarrow 4a^3+b^3+c^3\geq bc(b+c)-2ab^2-2ac^2+4a^2b+4a^2c \Leftrightarrow 4a^3+b^3+c^3-bc(b+c)+2ab^2+2ac^2-2a^2b-4a^2c\geq 0 \Leftrightarrow 4a^3+2ab^2+2ac^2-4ab^2-4ac^2+(b^3+c^3-bc(b+c))\geq 0 \Leftrightarrow 2a(a-c)^2+2a(a-b)^2+(b^3+c^3-bc(b+c))\geq 0$

Điều này luôn đúng với a,b,c>0

2+U_n=$(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^n+(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^n$

(2+U_n)$(\frac{3+\sqrt{5}}{2})=(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^(n+1)+(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^(n-1)$ (1)

(2+U_n)$(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^(n-1)+(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^(n+1)$  (2)

Cộng theo từng vế (1) và (2)

=>3(2+U_n)=U_n+1+2+U_n-1+2

$\Leftrightarrow$ 3U_n=U_n+1+U_n-1-2

$\Leftrightarrow$ U_n+1=3U_n+2-U_n-1

$3 ^n+4\equiv (-1)^n(mod 4) \Leftrightarrow n=2k \Leftrightarrow 3^n+4=3^(2k)+4\equiv (-1)^k-1(mod 5) \rightarrow k=2m \rightarrow 3^n+4=3^(4m)+4\equiv 1+4=5(mod8)$$3 ^n+4\equiv (-1)^n(mod 4) \Leftrightarrow n=2k \Leftrightarrow 3^n+4=3^(2k)+4\equiv (-1)^k-1(mod 5) \rightarrow k=2m \rightarrow 3^n+4=3^(4m)+4\equiv 1+4=5(mod8)$

(vô lí vì 3^n+4 là scp)

Vậy không tìm được n thỏa mãn

Ta có:

u₁ = 1; u₂ = 5; u₃ = 16; u₄ = 45; u₅ = 121

Gọi công thức truy hồi cần tìm là u_{n + 2} = au_{n + 1} + bu_n + c

Ta có hệ phương trình:

$\LARGE \left\{\begin{matrix} u_{3} = au_{2} + bu_{1} + c \\ u_{4} = au_{3} + bu_{2} + c \\ u_{5} = au_{4} + bu_{3} + c \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 16 = 5a + b + c \\ 45 = 16a + 5b + c \\ 121 = 45a + 16b + c \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = 3 \\ b = -1 \\ c = 2 \end{matrix}\right.$

Vậy công thức truy hồi là: 

u_{n + 2} = 3u_{n + 1} - u_n + 2

bạn làm thế không sai nhưng thầy mình bảo làm vậy chưa được chặt chẽ!

Nhân liên hợp rồi rút gọn chứ không xét chỉ với một số giá trị của n

Bạn nào giỏi giải phương trình làm giùm mình bài này.

GPT:

$\frac{1}{(x-1)^3}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{(x+1)^3}=\frac{1}{3x(x^2+2)}$

Cho x,y>0 và x+y=1

Tìm Min của biểu thức P= $\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}$

Vậy dấu bằng xảy ra khi nào?

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

$\sum \frac{a^2}{c(3a+b)}\geq \sum \frac{a}{2a+b+c}$

Ta có:

Áp dụng bđt $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

VP$\leq \frac{1}{4}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b})$

$\Leftrightarrow$ VP$\leq \frac{3}{4}$

Áp dụng Bunhiacopxki

VT$\geq \frac{(a+b+c)^2}{4(ab+bc+ca)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{4}{3}(a+b+c)^2}=\frac{3}{4}$

Suy ra đpcm

Gọi số người được thưởng loại 150000đ là a

       số người được thưởng loại 350000đ là b

Ta có hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 150000a+350000b=2650000 & \\ a+b=11& \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3a+7b=53 & \\ a+b=11& \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4b+3(a+b)=53 & \\ a+b=11& \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình đơn giản trên tìm được b=5,a=6

Em cũng xin đóng góp 1 bài:

Cho hình thoi ABCD. Hai đường chéo AB và CD  cắt nhau tại O.Đường trung trực của AB tại H cắt AC tại N và BD tại M .Biết NA=2013 dm, MB=20134,56 dm.Tính diện tích hình thoi

Bạn nói rõ tại sao lại ra S như vậy không??

Ơ bảo là abc=8 mà tại sao lại đặt a,b,c như thế kia???

Áp dụng $a^n+b^n\vdots a+b$ với n lẻ ta có:

2(1²⁰¹³+2²⁰¹³+....+n²⁰¹³)=$(1^{2013}+n^{2013})+(2^{2013}+(n-1)^{2013})+....+(n^{2013}+1^{2013})\vdots n+1$

2(1²⁰¹³+2²⁰¹³+....+n²⁰¹³)=$(1^{2013}+(n-1)^{2013})+(2^{2013}+(n-2)^{2013})+....+((n-1)^{2013}+1^{2013})\vdots n$

Mà (n,n+1)=1 nên suy ra đpcm

cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn $a+b+c=\sqrt{3}$ . Tìm GTNN của :

A=$\sum \frac{1}{\sqrt{a(b+2c)}}$

Theo bất đẳng thức S.Vácxơ

$\sum \frac{1}{\sqrt{a(b+2c)}}\geq \frac{9}{\sum \sqrt{a(b+2c)}}$

Áp dụng bđt Bunhiacopxki

$(\sum \sqrt{a(b+2c)})^2\leq (a+b+c)(b+2c+c+2a+a+2b) \Leftrightarrow (\sum \sqrt{a(b+2c)})^2\leq 3(a+b+c)^2=9 \Leftrightarrow \sum \sqrt{a(b+2c)}\leq 3$

Suy ra A$\geq \frac{9}{3}=3$

Dấu = xảy ra khi a=b=c=$\frac{1}{\sqrt{3}}$

Cho hình vuông ABCD. M,N theo thứ tự là trung điểm của AB,BC.Giao điểm của CM và DN là P

CMR AP=AB

a+b+c=3a+b+c thì suy ra a=0 (trái với giả thiết a>0)

Hình như đề bài sai rồi đó bạn

Đặt $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$$x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$

VT bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

$A=\sum \frac{a^4}{bc(a^2+b^2)}$$A=\sum \frac{a^4}{bc(a^2+b^2)}$

Áp dụng bđt S.vác có

$A\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{abc(a+b+c)+b^3c+c^3a+a^3b}$

Dế thấy $a^3b+b^3c+c^3a\leq \frac{a^4+b^4+c^4+\sum a^2b^2}{2}$ (theo côsi)

             và $abc(a+b+c)\leq \sum a^2b^2$  

Suy ra $A\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^2b^2+\frac{a^4+b^4+c^4+\sum a^2b^2}{2}}$ 

$A\geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2+\sum a^2b^2}\geq \frac{6(a^2+b^2+c^2)^2}{4(a^2+b^2+c^2)^2}=\frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1  

1. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BD, CA và Q là giao điểm của MN với CD.

a/ Chứng minh MN = NQ

b/ Chứng minh NP // CD

a,

Dễ chứng minh $\triangle DNQ\sim \triangle BNM \Rightarrow \frac{NQ}{NM}=\frac{DN}{BN}=1$ suy ra đpcm

b,

Kéo dài MP cắt CD tại K

Tương tự phần a ta có MP=PK suy ra N ,P là trung điểm của MQ và MK

Xét $\triangle MQK$ có NP là đường trung bình nên  NP//QK hay NP//CD

Hình vuông ABCD cạnh 1.Lấy M,N,L,K thuộc đoạn CD,DA,AB,BC sao cho AK,BM,CN,DL chia hình vuông thành 4 tam giác với diện tích $S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$ và 5 tứ giác $S_{0},S_{5},S_{6},S_{7},S_{8}$ với $S_{0}$ là diện tích tứ giác ở giữa

CMR nếu $S_{0}=S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}$ thì$AL+BK+CM+DN =2$